人教B版高中数学必修第三册第8章8-2-2第2课时两角和与差的正切学案

这是一份人教B版高中数学必修第三册第8章8-2-2第2课时两角和与差的正切学案，共10页。

第2课时　两角和与差的正切如图所示，每个小正方形的边长为1，tan α＝eq \f(1,2)，tan β＝eq \f(1,3)，∠COD＝α－β．问题　能否求出tanα－β和tanα＋β的值？[提示]　能；利用两角和与差的正切公式可求．知识点　两角和与差的正切公式(1)在两角和与差的正切公式中，角α，β，α＋β，α－β均不等于kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，这是由正切函数的定义域决定的．(2)公式的结构特征及符号特征如下：①公式Tα±β的右侧为分式形式，其中分子为tan α与tan β的和或差，分母为1与tan αtan β的差或和．②符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．你能举出几个两角和与差的正切公式的变形式吗？[提示]　(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)．(2)1－tan αtan β＝eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)．(3)tan α＋tan β＋tan αtan β tan(α＋β)＝tan(α＋β)．(4)tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)．1．思考辨析(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan α＋tan β成立． (　　)(2)对任意的α，β∈R，tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)都成立． (　　)(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)))能根据公式tan(α＋β)直接展开． (　　)[提示]　(1)√．令α＝eq \f(π,4)，β＝0，则有tan(α＋β)＝tan α＋tan β＝1．(2)×．两角和的正切公式的适用范围是α，β，α＋β≠kπ＋eq \f(π,2)，(k∈Z)且tan αtan β≠1．(3)×．eq \f(π,2)的正切值不存在．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×2．tan 255°＝(　　)A．－2－eq \r(3)　 B．－2＋eq \r(3)　C．2－eq \r(3)　 D．2＋eq \r(3)D　[tan 255°＝tan(180°＋75°)＝tan 75°＝tan(45°＋30°)＝eq \f(tan 45°＋tan 30°,1－tan 45°tan 30°)＝eq \f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝2＋eq \r(3)．故选D．]3．若cos θ＝－eq \f(4,5)，且θ为第三象限角，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))的值等于(　　)A．eq \f(1,7)　 B．－eq \f(1,7)　C．－7　 D．7D　[若cos θ＝－eq \f(4,5)，且θ为第三象限角，则sin θ＝－eq \r(,1－cos2θ)＝－eq \f(3,5)，所以tan θ＝eq \f(sin θ,cos θ)＝eq \f(3,4)，taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(tan θ＋1,1－tan θ)＝7，故选D．] 类型1　利用公式化简求值【例1】　(对接教材P94例5改编)求下列各式的值：(1)tan 15°；(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)；(3)tan 23°＋tan 37°＋eq \r(3)tan 23°tan 37°．[解]　(1)tan 15°＝tan(45°－30°)＝eq \f(tan 45°－tan 30°,1＋tan 45°tan 30°)＝eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋\f(\r(3),3))＝eq \f(3－\r(3),3＋\r(3))＝2－eq \r(3)．(2)eq \f(1－\r(3)tan 75°,\r(3)＋tan 75°)＝eq \f(\f(\r(3),3)－tan 75°,1＋\f(\r(3),3)tan 75°)＝eq \f(tan 30°－tan 75°,1＋tan 30°tan 75°)＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－tan 45°＝－1．(3)因为tan(23°＋37°)＝tan 60°＝eq \f(tan 23°＋tan 37°,1－tan 23°tan 37°)＝eq \r(3)，所以tan 23°＋tan 37°＝eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)，所以原式＝eq \r(3)(1－tan 23°tan 37°)＋eq \r(3)tan 23°tan 37°＝eq \r(3)．给角化简求值的策略(1)分析式子的结构，正确选用公式形式．Tα±β是三角函数公式中应用灵活程度较高的公式之一．因此在应用时先从所化简(求值)的式子的结构出发，确定是正用、逆用还是变形用，并注意整体代换．(2)化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用．当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换．eq \o([跟进训练])1．求下列各式的值：(1)eq \f(cos 75°－sin 75°,cos 75°＋sin 75°)；(2)tan 36°＋tan 84°－eq \r(3)tan 36°tan 84°．[解]　(1)原式＝eq \f(1－tan 75°,1＋tan 75°)＝eq \f(tan 45°－tan 75°,1＋tan 45°tan 75°)＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－eq \f(\r(3),3)．(2)原式＝tan 120°(1－tan 36°tan 84°)－eq \r(3)tan 36°tan 84°＝tan 120°－tan 120°tan 36°tan 84°－eq \r(3)tan 36°tan 84°＝tan 120°＝－eq \r(3)． 类型2　条件求值(角)问题【例2】　如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为eq \f(\r(2),10)，eq \f(2\r(5),5)．(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[解]　由条件得cos α＝eq \f(\r(2),10)，cos β＝eq \f(2\r(5),5)，因为α，β为锐角，所以sin α＝eq \f(7\r(2),10)，sin β＝eq \f(\r(5),5)，所以tan α＝7，tan β＝eq \f(1,2)．(1)tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(7＋\f(1,2),1－7×\f(1,2))＝－3．(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝eq \f(tanα＋β＋tan β,1－tanα＋β·tan β)＝eq \f(－3＋\f(1,2),1－－3×\f(1,2))＝－1，因为α，β为锐角，所以0＜α＋2β＜eq \f(3π,2)，所以α＋2β＝eq \f(3π,4)．给值求值或求角问题的解题策略(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角和待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)、2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知角的三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．(3)在给值求角的过程中把握好两点：①限定角的范围．②求角的某一个三角函数值．二者缺一不可．eq \o([跟进训练])2．(1)已知sin α＝eq \f(1,2)，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝－eq \r(3)，则tan β的值为(　　)A．－eq \r(3)　　　B．eq \r(3)　　　C．－eq \f(\r(3),3)　　　D．eq \f(\r(3),3)(2)已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α＝(　　)A．eq \f(π,8) B．eq \f(π,4)C．eq \f(3,8)π D．eq \f(π,2)(1)C　(2)C　[(1)因为α为第二象限角，所以cos α<0，解得cos α＝－eq \f(\r(3),2)，所以tan α＝－eq \f(\r(3),3)．tan β＝tan[(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋β·tan α)＝eq \f(－\r(3)＋\f(\r(3),3),1＋－\r(3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3))))＝－eq \f(\r(3),3)．(2)因为tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝eq \f(tanα＋β＋tanα－β,1－tanα＋βtanα－β)＝eq \f(3＋2,1－3×2)＝－1，所以2α＝－eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z)，所以α＝－eq \f(π,8)＋eq \f(kπ,2)(k∈Z)．又因为α为锐角，所以α＝eq \f(π,2)－eq \f(π,8)＝eq \f(3π,8)．] 类型3　公式的变形应用【例3】　已知△ABC中，tan B＋tan C＋eq \r(3)tan Btan C＝eq \r(3)，且eq \r(3)tan A＋eq \r(3)tan B＋1＝tan Atan B，判断△ABC的形状．1．判断三角形的形状时，都有哪些特殊三角形？[提示]　根据三角形的边角关系，常见的特殊三角形有等边三角形、等腰三角形、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形等．2．在△ABC中，tan(A＋B)与tan C有何关系？[提示]　根据三角形内角和定理可得A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，所以tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tanC．[解]　由tan A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,tan Btan C－1)＝eq \f(\r(3)－\r(3)tan Btan C,tan Btan C－1)＝－eq \r(3)．而0°＜A＜180°，所以A＝120°．由tan C＝tan[π－(A＋B)]＝eq \f(tan A＋tan B,tan Atan B－1)＝eq \f(tan A＋tan B,\r(3)tan A＋\r(3)tan B)＝eq \f(\r(3),3)，而0°＜C＜180°，所以C＝30°，所以B＝30°．所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．[母题探究](变条件)例题中把条件改为“tan B＋tan C－eq \r(3)tan B·tan C＝－eq \r(3)，且eq \f(\r(3),3)tan A＋eq \f(\r(3),3)tan B＋1＝tan Atan B”，结果如何？[解]　由tan A＝tan [π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝eq \f(tan B＋tan C,tan Btan C－1)＝eq \f(\r(3)tan Btan C－\r(3),tan Btan C－1)＝eq \r(3)．又0°