人教B版 (2019)必修第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像测试题

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这是一份人教B版 (2019)必修第三册7.3.1 正弦函数的性质与图像测试题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．三角函数y＝sin eq \f(x,2)是( )
A．周期为4π的奇函数B．周期为eq \f(π,2)的奇函数
C．周期为π的偶函数D．周期为2π的偶函数
A [三角函数y＝sin eq \f(x,2)是奇函数，它的周期为eq \f(2π,\f(1,2))＝4π，故选A．]
2．(多选题)下列函数是偶函数的是( )
A．y＝sin|x|B．y＝xsin|x|
C．y＝－sin|x|D．y＝sin(－|x|)
ACD [对于A选项，函数的定义域为R，设f(x) ＝sin|x|，则f (－x)＝sin|x|＝f(x) ，故函数为偶函数，符合题意．
对于B选项，函数的定义域为R，
设f(x) ＝xsin|x|，f (－x)＝－xsin |x|＝－f(x) ，故函数为奇函数，不符合题意．
对于C选项，函数的定义域为R，设f(x) ＝－sin |x|，f (－x)＝－sin |x|＝f(x) ，故函数为偶函数，符合题意．
对于D选项，函数的定义域为R，设f(x) ＝sin(－|x|)，f (－x)＝sin (－|x|)＝f(x) ，故函数为偶函数，符合题意．]
3．函数y＝4sin(2x＋π)的图像关于( )
A．x轴对称B．原点对称
C．y轴对称D．直线x＝eq \f(π,2) 对称
B [y＝4sin(2x＋π)＝－4sin 2x，奇函数图像关于原点对称．]
4．已知函数f(x) ＝2cs2x－1＋4sin x，则f(x) 的最大值为( )
A．3B．1
C．eq \f(3,2)D．－3
A [函数f(x) ＝2cs2x－1＋4sin x
＝2(1－sin2x)－1＋4sin x
＝－2(sin x－1)2＋3．
当sin x＝1时，f(x) 有最大值3．]
5．函数f(x) ＝sin x－eq \f(x,10)的零点个数是( )
A．4B．5
C．6D．7
D [令f(x) ＝sin x－eq \f(x,10)＝0，即sin x＝eq \f(x,10)，
令y1＝sin x，y2＝eq \f(x,10)，在同一坐标系内分别作出y1，y2的图像如图．
由图像可知图像有7个交点，即函数有7个零点．]
二、填空题
6．比较大小：sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))________sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))．
> [因为0>－eq \f(π,18)>－eq \f(π,10)>－eq \f(π,2)，且正弦函数在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上单调递增，所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,18)))>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,10)))．]
7．函数f(x) ＝lg(1＋2sin x)的值域为________．
(－∞，lg 3] [因为0<1＋2sin x≤3，故lg(1＋2sin x)≤lg 3．]
8．函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(sin x)的单调递增区间为________．
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z) [设u＝sin x，由复合函数的单调性知，求原函数的单调递增区间即求u＝sin x的单调递减区间，结合u＝sin x的图像知2kπ＋eq \f(π,2)≤x≤2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z．]
三、解答题
9．已知函数f(x) ＝eq \f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)－x))tanπ＋xcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋x)),sin2π－xsin－x－π)．
(1)化简f(x) 并求f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22π,3)))的值；
(2)设函数g(x)＝1－2f(x) 且x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，求函数g(x)的单调区间和值域．
[解] (1)f(x) ＝eq \f(－cs x－sin xtan x－sin x,－sin xsin x)
＝sin x，
所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(22π,3)))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6π＋\f(4π,3)))＝－sineq \f(4π,3)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)＝eq \f(\r(3),2)．
(2)因为f(x) ＝sin x，所以g(x)＝1－2sin x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(2π,3)))，所以g(x)的减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(π,2)))，增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(2π,3)))．
因为－eq \f(π,6)≤x≤eq \f(2π,3)，
所以－eq \f(1,2)≤sin x≤1，
所以－1≤1－2sin x≤2，所以g(x)的值域为[－1,2]．
10．已知方程2cs2x＋6sin x－a＝0有解，求a的取值范围．
[解] a＝2cs2x＋6sin x＝2(1－sin2x)＋6sin x＝－2sin2x＋6sin x＋2＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin x－\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,2)＋2，
所以sin x＝－1时，amin＝－6；
sin x＝1时，amax＝6，
所以a的取值范围为[－6,6]．
11．(多选题)已知函数f(x) ＝|tan x|·cs x，则下列说法正确的是( )
A．f(x) 的最小正周期为π
B．f(x) 的图像关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))中心对称
C．f(x) 在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增
D．f(x) 的值域为[－1,1]
BC [因为函数f(x) ＝|tan x|·cs x＝
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))，k∈Z，,－sin x，x∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，kπ＋π))，k∈Z，))
画出函数f(x) 的图像，如图所示：
所以f (x＋2π)＝|tan(x＋2π)|·cs(x＋2π)＝|tan x|·cs x，
f(x) 的最小正周期是2π，根据f(x) 的图像，f(x) 的图像关于eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，0))中心对称，f(x) 在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增，f(x) 的值域为(－1,1)．]
12．下列大小关系正确的是( )
A．sin eq \f(2π,3)B．sin 1C．sin eq \f(11π,6)D．sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,3)))D [sin eq \f(2π,3)＝sin eq \f(π,3)>0，sin eq \f(4π,3)＝－sin eq \f(π,3)<0，故A错；sin 3＝sin(π－3)，因为0<π－3<1＜eq \f(π,2)，所以sin(π－3)所以sin 1>sin 3，故B错；
sin eq \f(11π,6)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，sin eq \f(4π,3)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，
因为－eq \f(π,2)<－eq \f(π,3)<－eq \f(π,6)<0，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))sin eq \f(4π,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,3)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(25π,6)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(19π,3)))13．若函数y＝sin x－eq \f(m,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))))有两个零点，则实数m的取值范围为__________，两个零点之和为__________．
[eq \r(3)，2) π [由sin x－eq \f(m,2)＝0得sin x＝eq \f(m,2)．在同一平面直角坐标系中作出函数y＝sin xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(4π,3)))))的图像与直线y＝eq \f(m,2)，如图所示．
由图知，当eq \f(\r(3),2)≤eq \f(m,2)<1，即eq \r(3)≤m<2时，两图像有两个交点，即原函数有两个零点，此时m∈[eq \r(3)，2)．
设两个零点分别为x1，x2，
由于两交点关于直线x＝eq \f(π,2)对称，
所以eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(π,2)，所以x1＋x2＝π．]
14．函数f(x) ＝eq \r(sin x)＋eq \f(1,\r(16－x2))的定义域为________．
(－4，－π]∪ [0，π] [eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0,16－x2＞0))⇒
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z,－4＜x＜4))⇒－4＜x≤－π或0≤x≤π．]
15．已知函数f(x) ＝sin x－2|sin x|，x∈[0,2π]，
(1)作出函数f(x) 的图像，并写出f(x) 的单调区间；
(2)讨论g(x)＝sin x－2|sin x|－k，x∈[0,2π]的零点个数，并求此时k的取值范围．
[解] (1)f(x) ＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－sin x，x∈[0，π]，,3sin x，x∈π，2π]，))图像如图，
由图像可知f(x) 的递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))；
f(x) 的递减区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3π,2)))．
(2)由图像可知：
当k>0或k<－3时，直线y＝k与函数f(x) 有0个交点；
当k＝－3时，直线y＝k与函数f(x) 有1个交点；
当－3当k＝0或k＝－1时，直线y＝k与函数f(x) 有3个交点；
当－1

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