高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角课后作业题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.3.5 已知三角函数值求角课后作业题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．若tan α＝eq \f(\r(3),3)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，则α＝ ( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(5π,6) C．eq \f(7π,6) D．eq \f(11π,6)
C [因为tan eq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,2)))，所以α＝π＋eq \f(π,6)＝eq \f(7π,6)．]
2．在x∈[0,2π]上满足cs x≤eq \f(1,2)的x的取值范围是( )
A．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))B．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,3)))
C．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(2π,3)))D．eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(5π,3)，2π))
B [当cs x＝eq \f(1,2)时，解得x＝eq \f(π,3)或eq \f(5π,3)，故cs x≤eq \f(1,2)时，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,3)))．]
3．若cs(π－x)＝eq \f(\r(3),2)，x∈(－π，π)，则x的值为( )
A．eq \f(5π,6)，eq \f(7π,6)B．±eq \f(π,6)
C．±eq \f(5π,6)D．±eq \f(2π,3)
C [由cs(π－x)＝－cs x＝eq \f(\r(,3),2)得，cs x＝－eq \f(\r(,3),2)，
又因为x∈(－π，π)，所以x在第二或第三象限，
所以x＝±eq \f(5π,6)．]
4．已知tan x＝eq \r(,3)，则x＝( )
A．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))
B．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,6)，k∈Z))))
C．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ－\f(π,6)，k∈Z))))
D．eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(2π,3)，k∈Z))))
A [由正切函数的性质可知，
由tan x＝eq \r(,3)，得x＝kπ＋eq \f(π,3)，
即方程的根为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝kπ＋\f(π,3)，k∈Z))))．]
5．(多选题)使得等式2cs eq \f(x,2)＝1成立的角x可以是 ( )
A．eq \f(π,3)B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(10π,3)D．－eq \f(2π,3)
BCD [由已知得cs eq \f(x,2)＝eq \f(1,2)．因此eq \f(x,2)＝2kπ±eq \f(π,3)，故x＝4kπ±eq \f(2π,3)(k∈Z)，故x可以是±eq \f(2π,3)，eq \f(10π,3)．]
二、填空题
6．已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))＝－eq \f(1,2)，x∈[0,2π]，则x的取值集合为________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)，\f(7π,6)，\f(3π,2))) [令θ＝2x＋eq \f(π,3)，所以cs θ＝－eq \f(1,2)．
当0≤θ≤π时，θ＝eq \f(2π,3)，当π≤θ≤2π，θ＝eq \f(4π,3)．所以当x∈R时，θ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))∈R，所以2x＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(2π,3)或2x＋eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(4π,3)(k∈Z)，
即x＝kπ＋eq \f(π,6)或x＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，又x∈[0,2π]，
所以x∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,2)，\f(7π,6)，\f(3π,2)))．]
7．若tan x＝eq \r(,3)，且x∈(－π，π)，则x＝________．
eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3) [因为tan x＝eq \r(,3)＞0，且x∈(－π，π)，
所以x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，则x＝eq \f(π,3)，
若x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－π，－\f(π,2)))，
则x＝eq \f(π,3)－π＝－eq \f(2π,3)，
综上x＝eq \f(π,3)或－eq \f(2π,3)．]
8．集合A＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x＝\f(1,2)))))，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x＝－\f(\r(,3),3)))))，则A∩B＝________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z)))) [因为sin x＝eq \f(1,2)，所以x＝2kπ＋eq \f(π,6)或2kπ＋eq \f(5,6)π，k∈Z．又因为tan x＝－eq \f(\r(,3),3)，所以x＝kπ－eq \f(π,6)，k∈Z．所以A∩B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))))．]
三、解答题
9．已知sin eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(3),2)，且α是第二象限的角，求角α．
[解] 因为α是第二象限角，
所以eq \f(α,2)是第一或第三象限的角．
又因为sin eq \f(α,2)＝－eq \f(\r(3),2)<0，所以eq \f(α,2)是第三象限角．
又sin eq \f(4π,3)＝－eq \f(\r(3),2)，
所以eq \f(α,2)＝2kπ＋eq \f(4,3)π(k∈Z)，
所以α＝4kπ＋eq \f(8,3)π(k∈Z)．
10．已知函数f(x) ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,12)))．
(1)求f(x) 的单调递增区间；
(2)求不等式f(x) >1的解集．
[解] (1)f(x) ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,12)))，
由－π＋2kπ≤eq \f(1,2)x＋eq \f(π,12)≤2kπ，k∈Z，
所以－eq \f(13π,6)＋4kπ≤x≤－eq \f(π,6)＋4kπ，k∈Z，
所以f(x) 的单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(13π,6)＋4kπ，－\f(π,6)＋4kπ))，k∈Z．
(2)因为f(x) >1，所以2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,12)))>1，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)x＋\f(π,12)))>eq \f(1,2)，
所以－eq \f(π,3)＋2kπ所以－eq \f(5π,6)＋4kπ所以不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(5π,6)＋4kπ，\f(π,2)＋4kπ))，k∈Z．
11．(多选题)已知函数y＝cs x的定义域为[a，b]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，则b－a的值不可能是( )
A．eq \f(π,3)B．eq \f(2π,3)
C．eq \f(4π,3)D．eq \f(5π,3)
AD [结合已知条件和余弦函数的图像可知，
y取－eq \f(1,2)和1时，x的最近的值相差eq \f(2π,3)－0＝eq \f(2π,3)，所以b－a的值应不小于eq \f(2π,3)，y取－eq \f(1,2)和1时，x的最远的值相差eq \f(2π,3)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2π,3)))＝eq \f(4π,3)，所以b－a的值应不大于eq \f(4π,3)，故b－a的值不可能是eq \f(π,3)和eq \f(5π,3)．]
12．(多选题)若sin(x－π)＝－eq \f(\r(2),2)，且－2πA．－eq \f(π,4)B．－eq \f(3,4)π
C．－eq \f(5,4)πD．－eq \f(7,4)π
CD [因为sin(x－π)＝－sin(π－x)＝－sin x＝－eq \f(\r(2),2)，所以sin x＝eq \f(\r(2),2)，所以x＝2kπ＋eq \f(π,4)或x＝2kπ＋eq \f(3,4)π(k∈Z)，又因为－2π13．方程2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1在区间(0，π)内的解是________．
eq \f(7π,12) [因为2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝1，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,4)))＝eq \f(1,2)．因为x∈(0，π)，所以x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，所以x－eq \f(π,4)＝eq \f(π,3)，所以x＝eq \f(7π,12)．]
14．方程cs x＝sin eq \f(π,6)的解集为________．不等式cs x>sin eq \f(π,6)的解集为________．
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ±\f(π,3)，k∈Z)))) eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)又由诱导公式可得
sin eq \f(π,6)＝cs eq \f(π,3)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))，
所以x＝2kπ±eq \f(π,3)，k∈Z，
方程cs x＝sin eq \f(π,6)的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ±\f(π,3)，k∈Z))))．
所以不等式cs x>sin eq \f(π,6)的解集为
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)15．已知cs x＝－eq \f(1,3)．
(1)当x∈[0，π]时，求值x；
(2)当x∈R时，求x的取值集合．
[解] (1)因为cs x＝－eq \f(1,3)且x∈[0，π]，
所以x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))．
(2)当x∈R时，先求出x在[0,2π]上的解．
因为cs x＝－eq \f(1,3)，
故x是第二或第三象限角．
由(1)知x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))是第二象限角，
又cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))＝－eq \f(1,3)，
且2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π，\f(3,2)π))，
所以由余弦函数的周期性知，
当x＝arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ或
x＝2π－arccseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＋2kπ(k∈Z)时，
cs x＝－eq \f(1,3)，
即所求x值的集合是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2kπ±arccs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))))，k∈Z)).