高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.4 数学建模活动：周期现象的描述同步练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.4 数学建模活动：周期现象的描述同步练习题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5B．6
C．8D．10
C [由题意可知当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))取最小值－1时，
函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，
所以y＝3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))＋5，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x＋φ))取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3＋5＝8．]
2．已知电流强度I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，其在一个周期内的图像如图所示，则该函数的解析式为( )
A．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt＋\f(π,3)))
B．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(50πt－\f(π,3)))
C．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))
D．I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,3)))
C [由题图可推知，A＝300，T＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,150)＋\f(1,300)))＝eq \f(1,50)，ω＝eq \f(2π,T)＝100π，I＝300sin(100πt＋φ)．代入点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)，0))，得100π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,300)))＋φ＝0，得φ＝eq \f(π,3)，
故I＝300sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt＋\f(π,3)))．]
3．如图所示为一简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时加速度最大
B [由图形可知振幅为5，故选B．]
4．已知简谐运动f(x) ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)x＋φ))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))的图像经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝eq \f(π,6)B．T＝6，φ＝eq \f(π,3)
C．T＝6π，φ＝eq \f(π,6)D．T＝6π，φ＝eq \f(π,3)
A [由题意知f (0)＝2sin φ＝1，又|φ|5．某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价做了统计与预测，发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0).已知第一、二季度平均单价如下表所示：
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元B．9 500元
C．9 000元D．8 500元
C [因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取eq \f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)x＋π))＋9 500．当x＝3时，y＝9 000．]
二、填空题
6．已知某种交流电电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次．
25 [据I＝5eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(100πt－\f(π,2)))知ω＝100π，
该电流的周期为T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,100π)＝eq \f(1,50)s，
从而频率为每秒50次，0.5 s往复运行25次．]
7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
10sin eq \f(πt,60) [将解析式可写为d＝Asin(ωt＋φ)的形式，由题意易知A＝10，当t＝0时，d＝0，得φ＝0；当t＝30时，d＝10，可得ω＝eq \f(π,60)，
所以d＝10sin eq \f(πt,60)．]
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12，A>0)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃．
20.5 [由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋A＝28，,a－A＝18，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝23，,A＝5，))
所以y＝23＋5cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－6))，
当x＝10时，y＝23＋5×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝20.5．]
三、解答题
9．如图所示，一个摩天轮半径为10 m，轮子的底部在地面上2 m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每480 s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m．
[解] (1)设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为eq \f(2π,480)t＝eq \f(π,240)t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10sin eq \f(π,240)t＋12(t≥0)．
(2)由10sin eq \f(π,240)t＋12≥17，
得sin eq \f(π,240)t≥eq \f(1,2)，
则40≤t≤200．
故此人有160 s相对于地面的高度不小于17 m．
10．通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃．
(1)求出该地区该时期的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
[解] (1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＋b＝14，,－A＋b＝－2，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝8，,b＝6，))
易知eq \f(T,2)＝14－2，
所以T＝24，所以ω＝eq \f(π,12)，
易知8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＋6＝－2，
即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×2＋φ))＝－1，
故eq \f(π,12)×2＋φ＝－eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，
得φ＝－eq \f(2π,3)，
所以y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)x－\f(2π,3)))＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)×9－\f(2π,3)))＋6
＝8sin eq \f(π,12)＋6<8sin eq \f(π,6)＋6＝10．
所以届时学校后勤应该开空调．
11．设y＝f (t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24．下表是该港口某一天从0到24时记录的时间t与水深y的关系：
经长期观测，函数y＝f (t)的图像可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图像．下面的函数中，最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是( )
A．y＝12＋3sin eq \f(π,6)t，t∈[0,24]
B．y＝12＋3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋π))，t∈[0,24]
C．y＝12＋3sin eq \f(π,12)t，t∈[0,24]
D．y＝12＋3sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)t＋\f(π,2)))，t∈[0,24]
A [由已知数据可得y＝f (t)的周期T＝12，
所以ω＝eq \f(2π,T)＝eq \f(π,6)．
由已知可得振幅A＝3，k＝12．
又当t＝0时，y＝12，
所以令eq \f(π,6)×0＋φ＝0得φ＝0，
故y＝12＋3sin eq \f(π,6)t，t∈[0,24]．]
12．(多选题)已知弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(π,4)))．给出的下列说法中正确的是( )
A．小球开始时在平衡位置上方eq \r(2) cm处
B．小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处
C．经过2π s小球重复振动一次
D．小球振动的频率为eq \f(1,2π)
ABCD [当t＝0时，s＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(π,4)))＝eq \r(2)，故A正确；smin＝－2，故B正确；函数的最小正周期T＝2π，故C正确．频率f ＝eq \f(1,T)＝eq \f(1,2π)，D也正确．]
13．一个单摆的平面图如图所示．设小球偏离铅锤方向的角为α(rad)，并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角．α作为时间t(s)的函数，近似满足关系式α＝Asineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωt＋\f(π,2)))，其中ω>0．已知小球在初始位置(即t＝0)时，α＝eq \f(π,3)，且每经过π s小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是________________．
eq \f(π,3) α＝eq \f(π,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞) [因为当t＝0时，α＝eq \f(π,3)，
所以eq \f(π,3)＝Asin eq \f(π,2)，所以A＝eq \f(π,3)．
又因为周期T＝π，
所以eq \f(2π,ω)＝π，解得ω＝2．
故所求的函数解析式是α＝eq \f(π,3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2t＋\f(π,2)))，t∈[0，＋∞)．]
14．有一小球从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)关于时间t(单位：s)的函数解析式是s＝Asin(ωt＋φ)，0<φeq \f(π,6) [根据图像，知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(11,12)，0))两点的距离刚好是eq \f(3,4)个周期，所以eq \f(3,4)T＝eq \f(11,12)－eq \f(1,6)＝eq \f(3,4)．
所以T＝1，则ω＝eq \f(2π,T)＝2π．
因为当t＝eq \f(1,6)时，函数取得最大值，
所以2π×eq \f(1,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，又0<φ15．为迎接夏季旅游旺季的到来，某景区单独设置了一个专门安排旅客住宿的客栈，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)哪几个月份要准备400份(包括400份)以上的食物？
[解] (1)设该函数为f(x) ＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知f (2)最小，f (8)最大，且f (8)－f (2)＝400；由③可知f(x) 在[2,8]上单调递增，且f (2)＝100，
所以f (8)＝500．
根据上述分析可得eq \f(2π,ω)＝12，
故ω＝eq \f(π,6)，且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋B＝100，,A＋B＝500，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝200，,B＝300．))
根据分析可知，
当x＝2时，f(x) 最小，
当x＝8时，f(x) 最大，
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝－1，
且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8×\f(π,6)＋φ))＝1．
又因为0<|φ|<π，
故φ＝－eq \f(5π,6)．
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x) ＝200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300．
(2)由条件可知200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，化简得
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))≥eq \f(1,2)⇒2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z．
因为x∈N*，
且1≤x≤12，
所以x＝6,7,8,9,10．
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份(包括400份)以上的食物．x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1