人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律巩固练习

这是一份人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律巩固练习，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，则a·b的值为( )
A．－eq \r(,3) B．eq \r(,3) C．－3 D．3
C [向量|a|＝2，|b|＝eq \r(,3)，且向量a与b的夹角为150°，
则a·b＝|a||b|cs 150°＝2×eq \r(,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(,3),2)))＝－3．故选C．]
2．在△ABC中，∠BAC＝eq \f(π,3)，AB＝2，AC＝3，eq \(CM,\s\up7(→))＝2eq \(MB,\s\up7(→))，则eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝( )
A．－eq \f(11,3) B．－eq \f(4,3)
C．eq \f(4,3) D．eq \f(11,3)
C [因为eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \(CM,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(eq \(AB,\s\up7(→))－eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up7(→))，
所以eq \(AM,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f (1,3)\(AC,\s\up7(→))＋\f(2,3)\(AB,\s\up7(→))))·(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)×32－eq \f(2,3)×22＋eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)＋eq \f(1,3)×2×3cs eq \f(π,3)＝eq \f(4,3)．]
3．已知向量a，b满足|a|＝5，|b|＝6，a·b＝－6，则cs〈a，a＋b〉＝( )
A．－eq \f(13,35)B．－eq \f(19,35)
C．eq \f(17,35)D．eq \f(19,35)
D [由a·(a＋b)＝|a|2＋a·b＝25－6＝19，
又|a＋b|＝eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝7，
所以cs〈a，a＋b〉＝eq \f(a·a＋b,|a||a＋b|)＝eq \f(19,5×7)＝eq \f(19,35)．]
4．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么|a－4b|2＝( )
A．2 B．2eq \r(3)
C．6 D．12
D [因为|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cs 60°＋16×12＝12．]
5．(多选题)△ABC是边长为3的等边三角形，已知向量a，b满足eq \(AB,\s\up7(→))＝3a，eq \(AC,\s\up7(→))＝3a＋b，则下列结论中正确的有( )
A．a为单位向量
B．b∥eq \(BC,\s\up7(→))
C．a⊥b
D．(6a＋b)⊥eq \(BC,\s\up7(→))
ABD [对于A选项，因为eq \(AB,\s\up7(→))＝3a，
所以a＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))，则|a|＝eq \f(1,3)|eq \(AB,\s\up7(→))|＝1，A选项正确；
对于B选项，因为eq \(AC,\s\up7(→))＝3a＋b＝eq \(AB,\s\up7(→))＋b，
所以b＝eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(BC,\s\up7(→))，所以b∥eq \(BC,\s\up7(→))，B选项正确；
对于C选项，a·b＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)×32×cs eq \f(2π,3)≠0，
所以a与b不垂直，C选项错误；
对于D选项，(6a＋b)·eq \(BC,\s\up7(→))＝(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))·(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \(AC,\s\up7(→))2－eq \(AB,\s\up7(→))2＝0，
所以(6a＋b)⊥eq \(BC,\s\up7(→))，D选项正确．]
二、填空题
6．已知向量eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，则eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝__________．
9 [因为eq \(OA,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，所以eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝eq \(OA,\s\up7(→))·(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→)))
＝|eq \(OA,\s\up7(→))|2＋eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝|OA|2＝32＝9．]
7．如图，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，eq \(AB,\s\up7(→))＝4eq \(AC,\s\up7(→))，则eq \(OC,\s\up7(→))·(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＝________．
－eq \f(1,2) [由已知得|eq \(AB,\s\up7(→))|＝eq \r(2)，|eq \(AC,\s\up7(→))|＝eq \f(\r(2),4)，则eq \(OC,\s\up7(→))·(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＝(eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))·eq \(AB,\s\up7(→))
＝eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝1×eq \r(2)cs eq \f(3π,4)＋eq \f(\r(2),4)×eq \r(2)＝－eq \f(1,2)．]
8．已知向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝0，点C在∠AOB内，且∠AOC＝30°，设eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))(m, n∈R)，则eq \f(m,n)＝________．
3 [因为|eq \(OA,\s\up7(→))|＝1，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝eq \r(,3)，eq \(OA,\s\up7(→))·eq \(OB,\s\up7(→))＝0，
所以OA⊥OB，所以|eq \(AB,\s\up7(→))|＝2＝2|eq \(OA,\s\up7(→))|，
所以∠OBA＝30°，
又因为∠AOC＝30°，所以eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，
故(meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→)))·(eq \(OB,\s\up7(→))－eq \(OA,\s\up7(→)))＝0，
从而－meq \(OA,\s\up7(→))2＋neq \(OB,\s\up7(→))2＝0，所以3n－m＝0，
即m＝3n，所以eq \f(m,n)＝3．]
三、解答题
9．已知向量|a|＝1，|b|＝2．
(1)若a与b的夹角为eq \f(π,3)，求|a＋2b|；
(2)若(2a－b)·(3a＋b)＝3，求a与b的夹角．
[解] (1)|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×2×cs eq \f(π,3)＋4×4
＝1＋4＋16＝21，
所以|a＋2b|＝eq \r(21)．
(2)因为(2a－b)·(3a＋b)＝3，
所以6a2－3a·b＋2a·b－b2＝3，
所以6a2－a·b－b2＝3，
所以6－1×2×cs〈a，b〉－4＝3，
所以cs〈a，b〉＝－eq \f(1,2)．
因为0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝eq \f(2π,3)．
10．利用向量法证明直径对的圆周角为直角．
已知：如图，圆的直径为AB，C为圆周上异于A，B的任意一点．求证：∠ACB＝90°．
[证明] 设圆心为O，连接OC，则|eq \(CO,\s\up7(→))|＝eq \f(1,2)|eq \(AB,\s\up7(→))|，eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→)))，
所以|eq \(CO,\s\up7(→))|2＝eq \f(1,4)|eq \(AB,\s\up7(→))|2，eq \(CO,\s\up7(→))2＝eq \f(1,4)(eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→)))2，得|eq \(AB,\s\up7(→))|2＝(eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→)))2，
即(eq \(CB,\s\up7(→))－eq \(CA,\s\up7(→)))2＝(eq \(CA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→)))2，即eq \(CB,\s\up7(→))2＋eq \(CA,\s\up7(→))2－2eq \(CB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝eq \(CB,\s\up7(→))2＋eq \(CA,\s\up7(→))2＋2eq \(CA,\s\up7(→))·eq \(CB,\s\up7(→))，
所以4eq \(CB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝0，eq \(CB,\s\up7(→))·eq \(CA,\s\up7(→))＝0，
所以eq \(CB,\s\up7(→))⊥eq \(CA,\s\up7(→))，
即∠ACB＝90°．
11．设单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，则b在a上投影的数量为( )
A．－eq \f(3\r(3),2) B．－eq \r(3)
C．eq \r(3)D．eq \f(3\r(3),2)
A [因为单位向量e1，e2的夹角为eq \f(2π,3)，a＝e1＋2e2，b＝2e1－3e2，得
e1·e2＝1×1×cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，|a|＝eq \r(e1＋2e22)＝eq \r(e\\al(2,1)＋4e\\al(2,2)＋4e1·e2)＝eq \r(3)，
a·b＝(e1＋2e2)·(2e1－3e2)＝2eeq \\al(2,1)－6eeq \\al(2,2)＋e1·e2＝－eq \f(9,2)，因此b在a上投影的数量为eq \f(a·b,|a|)＝eq \f(－\f(9,2),\r(3))＝－eq \f(3\r(3),2)，故选A．]
12．(多选题)对任意的两个向量a，b，定义一种向量运算“*”：a*b＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a·b，当a，b不共线时，,|a－b|，当a，b共线时，))(a，b是任意的两个向量)．对于同一平面内的向量a，b，c，e，给出下列结论，其中正确的是( )
A．a*b＝b*a
B．λ(a*b)＝(λa)*b(λ∈R)
C．(a＋b)*c＝a*c＋b*c
D．若e是单位向量，则|a*e|≤|a|＋1
AD [当a，b共线时，a*b＝|a－b|＝|b－a|＝b*a，当a，b不共线时，a*b＝a·b＝b·a＝b*a，故A是正确的；当λ＝0，b≠0时，λ(a*b)＝0，(λa)*b＝|0－b|≠0，故B是错误的；当a＋b与c共线时，则存在a，b与c不共线，(a＋b)*c＝|a＋b－c|，a*c＋b*c＝a·c＋b·c，显然|a＋b－c|≠a·c＋b·c，故C是错误的；当e与a不共线时，|a*e|＝|a·e|＜|a|·|e|＜|a|＋1，当e与a共线时，设a＝ue，u∈R，|a*e|＝|a－e|＝|ue－e|＝|u－1|≤|u|＋1，故D是正确的．综上，结论一定正确的是AD．]
13．已知△ABC中，AB＝6，AC＝4，O为△ABC所在平面内一点，满足|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，则eq \(AO,\s\up7(→))在eq \(AB,\s\up7(→))方向上的投影的数量为________，eq \(AO,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝________．
3 －10 [因为|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，
所以点O为△ABC的外心，
设∠OAB＝θ，可得∠OBA＝θ，
所以eq \(AO,\s\up7(→))在eq \(AB,\s\up7(→))方向上的投影的数量为|eq \(AO,\s\up7(→))|cs θ，eq \(BO,\s\up7(→))在eq \(BA,\s\up7(→))方向上的投影的数量为|eq \(BO,\s\up7(→))|cs θ．
由题意可知|eq \(AO,\s\up7(→))|cs θ＋|eq \(BO,\s\up7(→))|cs θ＝|eq \(AB,\s\up7(→))|＝6．
又因为|eq \(OA,\s\up7(→))|＝|eq \(OB,\s\up7(→))|＝|eq \(OC,\s\up7(→))|，
所以|eq \(AO,\s\up7(→))|cs θ＝3，即eq \(AO,\s\up7(→))在eq \(AB,\s\up7(→))方向上的投影的数量为3．
所以eq \(AO,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝|eq \(AO,\s\up7(→))||eq \(AB,\s\up7(→))|cs θ＝3|eq \(AB,\s\up7(→))|＝18，同理得eq \(AO,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))＝8，
所以eq \(AO,\s\up7(→))·eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))·(eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \(AO,\s\up7(→))·eq \(AC,\s\up7(→))－eq \(AO,\s\up7(→))·eq \(AB,\s\up7(→))＝8－18＝－10．]
14．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a－c)·(b－c)＝0，则|c|的最大值是________．
eq \r(2) [因为a⊥b，且|a|＝|b|＝1，所以a·b＝0，|a＋b|＝eq \r(2)，
又因为(a－c)·(b－c)＝a·b＋c·c－(a＋b)·c＝c2－(a＋b)·c＝0，即|c|2＝(a＋b)·c＝|a＋b||c|·cs〈a＋b，c〉，
所以|c|＝|a＋b|cs〈a＋b，c〉＝eq \r(2)cs〈a＋b，c〉≤eq \r(2)，故|c|的最大值为eq \r(2)．]
15．设两个向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
[解] 当夹角为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，但此时夹角不是钝角．
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)，λ<0，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2t＝λ，,7＝λt，,λ<0，))
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\r(14)，,t＝－\f(\r(14),2)，))
由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cs θ＝eq \f(2te1＋7e2·e1＋te2,|2te1＋7e2||e1＋te2|)<0，
所以(2te1＋7e2)·(e1＋te2)<0，
化简得2t2＋15t＋7<0．
解得－7所以所求实数t的取值范围是
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－7，－\f(\r(14),2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(14),2)，－\f(1,2)))．