高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则随堂练习题

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册4.2.2 对数运算法则随堂练习题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．设a，b，c均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( )
A．lgab·lgcb＝lgca
B．lgab·lgca＝lgcb
C．lga(bc)＝lgab·lgac
D．lga(b＋c)＝lgab＋lgac
B [利用对数的换底公式进行验证，
lgab·lgca＝eq \f(lgcb,lgca)·lgca＝lgcb，则B正确．]
2．计算：lg 0.01＋lg216＝( )
A．－2 B．2
C．－4D．4
B [lg 0.01＋lg216＝lg 10－2＋lg224＝－2＋4＝2．]
3．若lg x－lg y＝a，则lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)等于( )
A．3a B．eq \f(3,2)a C．a D．eq \f(a,2)
A [∵lg x－lg y＝a，∴lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))eq \s\up12(3)－lg eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,2)))eq \s\up12(3)＝3lg eq \f(x,2)－3lg eq \f(y,2)＝3lg x－3lg y＝3a．故选A．]
4．计算lg225·lg32eq \r(2)·lg59的结果为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
D [原式＝eq \f(lg 25,lg 2)·eq \f(lg2\r(2),lg 3)·eq \f(lg 9,lg 5)＝eq \f(2lg 5,lg 2)·eq \f(\f(3,2) lg 2,lg 3)·eq \f(2lg 3,lg 5)＝6．]
5．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )
A．1010.1B．10.1
C．lg 10.1D．10－10.1
A [设太阳的星等和亮度分别为m1，E1，天狼星的星等和亮度分别为m2，E2，则m1＝－26.7，m2＝－1.45．代入m2－m1＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，得－1.45－(－26.7)＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，∴25.25＝eq \f(5,2)lg eq \f(E1,E2)，∴lg eq \f(E1,E2)＝10.1，∴eq \f(E1,E2)＝1010.1．故选A．]
二、填空题
6．若lgab·lg3a＝4，则b＝________．
81 [∵lgab·lg3a＝4，
∴eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝4，
即lg b＝4lg 3＝lg 34，∴b＝34＝81．]
7．计算100eq \s\up10(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg 9－lg 2)))－lg98·lg4eq \r(3,3)＝________．
2 [100eq \s\up10(eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lg 9－lg 2)))－lg98·lg4eq \r(3,3)＝10lg 9÷10lg 4－eq \f(lg 8,lg 9)·eq \f(\f(1,3)lg 3,lg 4)＝eq \f(9,4)－eq \f(3lg 2,2lg 3)·eq \f(\f(1,3)lg 3,2lg 2)＝eq \f(9,4)－eq \f(1,4)＝2．]
8．若lgab·lg3a＝4，则b的值为________．
81 [lgab·lg3a＝eq \f(lg b,lg a)·eq \f(lg a,lg 3)＝eq \f(lg b,lg 3)＝4，
所以lg b＝4lg 3＝lg 34，
所以b＝34＝81．]
三、解答题
9．计算下列各式的值：
(1)eq \f(1,2)lg eq \f(32,49)－eq \f(4,3)lg eq \r(8)＋lg eq \r(245)．
(2)lg 52＋eq \f(2,3)lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2．
[解] (1)原式＝eq \f(1,2)(lg 25－lg 72)－eq \f(4,3)lg 2eq \s\up10(eq \f(3,2))＋eq \f(1,2)lg(72×5)＝eq \f(5,2)lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋eq \f(1,2)lg 5
＝eq \f(1,2)lg 2＋eq \f(1,2)lg 5＝eq \f(1,2)(lg 2＋lg 5)＝eq \f(1,2)．
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3．
10．已知lgax＋3lgxa－lgxy＝3(a＞1)．
(1)若设x＝at，试用a，t表示y；
(2)若当0＜t≤2时，y有最小值8，求a和x的值．
[解] (1)由换底公式，
得lgax＋eq \f(3,lgax)－eq \f(lgay,lgax)＝3(a＞1)，
所以lgay＝(lgax)2－3lgax＋3．
当x＝at时，lgax＝t，
所以lgay＝t2－3t＋3．
所以y＝aeq \s\up10(t2－3t＋3) (t≠0)．
(2)由(1)知y＝aeq \s\up10((t－eq \f(3,2))2＋eq \f(3,4))，
因为0＜t≤2，a＞1，
所以当t＝eq \f(3,2)时，ymin＝aeq \s\up10(eq \f(3,4))＝8．
所以a＝16，此时x＝aeq \s\up10(eq \f(3,2))＝64．
11．已知f(x)＝x＋lg2eq \f(x,9－x)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)的值为( )
A．37 B．6 C．36 D．9
C [∵f(x)＝x＋lg2eq \f(x,9－x)，
∴f(x)＋f(9－x)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋lg2\f(x,9－x)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(9－x＋lg2\f(9－x,x)))
＝9．
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝[f(1)＋f(8)]＋[f(2)＋f(7)]＋[f(3)＋f(6)]＋[f(4)＋f(5)]＝9×4＝36．]
12．(多选题)若a>0，且a≠1，x∈R，y∈R，且xy>0，则下列各式不恒成立的是( )
A．lgax2＝2lgax
B．lgax2＝2lga|x|
C．lga(xy)＝lgax＋lgay
D．lga(xy)＝lga|x|＋lga|y|
AC [∵xy>0，∴A中，若x<0，则不成立；C中，若x<0，y<0也不成立，故选AC．]
13．lg425－2lg410＋lg45·lg516的值是________．
1 [lg425－2lg410＋lg45·lg516
＝lg425－lg4100＋eq \f(lg 5,lg 4)×eq \f(lg 16,lg 5)
＝lg4eq \f(25,100)＋eq \f(lg 16,lg 4)
＝lg4 eq \f(1,4)＋lg416＝－1＋2＝1．]
14．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x＋1，x＜1，,ax2－x，x≥1，))f(f(0))＝3a，则a＝________；f(lg2a)＝________．
2 1 [f(0)＝30＋1＝2，
∴f(f(0))＝f(2)＝4a－2＝3a，
∴a＝2，f(lg2a)＝f(lg22)＝f(1)＝2×12－1＝1．]
15．我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子至今大部分还能发芽开花，这些古莲子是多少年前的遗物呢？要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变．经过5 730年(14C的半衰期)，它的残余量从a变为eq \f(1,2)a，则经过t年后的残余量a′与a之间满足a′＝a·e－kt．现测得出土的古莲子中14C的残余量占原量的87.9%，试推算古莲子的生活年代．(lg 2≈0.301 0，lg 0.879≈－0.056 0)
[解] a′＝a·e－kt，即eq \f(a′,a)＝e－kt．
两边取对数，得lg eq \f(a′,a)＝－ktlg e．①
已知14C的半衰期为5 730年，
即当t＝5 730时，eq \f(a′,a)＝eq \f(1,2)，
∴lg eq \f(1,2)＝－5 730klg e，∴klg e＝eq \f(lg 2,5 730)．②
将②代入①并整理，得t＝－eq \f(5 730lg \f(a′,a),lg 2)．
将eq \f(a′,a)＝0.879代入，得t＝－eq \f(5 730×lg 0.879,lg 2)≈1 066．
故古莲子的生活年代大约是1 066年前．