高中数学第五章 统计与概率5.1 统计5.1.2 数据的数字特征一课一练

这是一份高中数学第五章 统计与概率5.1 统计5.1.2 数据的数字特征一课一练，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是( )
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85D．87,85,90
C [平均分为eq \f(1,10)(100＋95＋90×2＋85×4＋80＋75)＝87．由众数的定义可知众数为85，中位数为85．]
2．在“2021中国最具幸福感城市”的评选中，徐州市入选100个地级及以上候选城市名单“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[0,10]内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取20位徐州市居民，他们的幸福感指数见下表，则这组数据的80百分位数是( )
A．7.7 B．8 C．8.5 D．9
C [表格中的数据已按由小到大排列，而20×80%＝16，从小到大开始，第16个数和第17个数的平均数为eq \f(8＋9,2)＝8.5，所以这组数据的80百分位数是8.5．故选C．]
3．小芸所在学习小组的同学们到附近的7个社区帮助爷爷、奶奶们学习英语日常用语．他们记录的各社区参加其中一次活动的人数如下：33,32,32,31,28,26,32，那么这组数据的众数和中位数分别是( )
A．32,31B．32,32
C．33,31D．31,32
B [在这一组数据中32是出现次数最多的，故众数是32；而将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是32，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是32．故选B．]
4．已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是eq \x\t(x)＝2，方差是eq \f(1,3)，那么另一组数据3x1－2,3x2－2,3x3－2,3x4－2,3x5－2的平均数和方差分别为( )
A．2，eq \f(1,3) B．2，1 C．4，eq \f(1,3) D．4，3
D [平均数为eq \x\t(x′)＝3eq \x\t(x)－2＝3×2－2＝4，方差为s′2＝9s2＝9×eq \f(1,3)＝3．]
5．某同学掷一枚均匀的骰子5次，记录每次骰子出现的点数，若其中至少出现了1次点数6，则这组数据不可能得出的统计结果是( )
A．平均数为3，中位数为2
B．中位数为3，众数为2
C．平均数为2，方差为3
D．中位数为3，方差为2.8
C [对于A，中位数为2的5个点数是1,1,2,5,6，平均数为eq \f(1＋1＋2＋5＋6,5)＝3，选项A可能出现；
对于B，中位数为3，众数为2的5个点数是2,2,3,4,6或2,2,3,5,6均符合要求，即选项B可能出现；
对于C，因平均数为2，且至少出现了1次点数6，则方差s2>eq \f(1,5)(6－2)2＝3.2，即方差不可能为3，选项C不可能出现；
对于D，中位数为3的5个点数是1,2,3,3,6，平均数为eq \f(1＋2＋3＋3＋6,5)＝3，
方差s2＝eq \f(1,5)[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(3－3)2＋(6－3)2]＝2.8，选项D可能出现．
故选C．]
二、填空题
6．一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14,19，x,23,27,28,31，中位数为22，则x＝________．
21 [由题意知eq \f(x＋23,2)＝22，则x＝21．]
7．甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩如下：
甲：68 69 70 71 72
乙：63 68 69 69 71
则平均分数较高的是______，成绩较为稳定的是______．
甲 甲 [eq \x\t(x)甲＝70，eq \x\t(x)乙＝68，seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×(22＋12＋12＋22)＝2，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×(52＋12＋12＋32)＝7.2．]
8．某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表：
如果你是鞋店经理，那么下列统计量中对你来说最重要的是________．
①平均数；②众数；③中位数；④方差．
② [鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即数据的众数．由表可知，鞋号为37的鞋销量最大，共销售了16双，所以这组数据的众数为37．]
三、解答题
9．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄(单位：岁)如下：
甲群 13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群 54,3,4,4,5,5,6,6,6,57．
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
[解] (1)甲群市民年龄的平均数为
eq \f(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17,10)＝15(岁)，
中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为
eq \f(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57,10)＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
10．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：
甲：27,38,30,37,35,31；
乙：33,29,38,34,28,36．
根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．
[解] eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,6)×(27＋38＋30＋37＋35＋31)＝eq \f(198,6)＝33，
seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)×[(27－33)2＋(38－33)2＋(30－33)2＋(37－33)2＋(35－33)2＋(31－33)2]＝eq \f(94,6)，s甲＝eq \r(\f(94,6))≈3.96，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,6)×(33＋29＋38＋34＋28＋36)＝eq \f(198,6)＝33，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)×[(33－33)2＋(29－33)2＋(38－33)2＋(34－33)2＋(28－33)2＋(36－33)2]＝eq \f(76,6)，s乙＝eq \r(\f(76,6))≈3.56．
由以上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33 m/s，甲的标准差为3.96 m/s，乙的标准差为3.56 m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀．
11．(多选题)(2021·新高考全国Ⅰ卷)有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据得到新样本数据y1,y2,…,yn，其中yi＝xi＋c(i＝1,2,…,n)，c为非零常数，则( )
A．两组样本数据的样本平均数相同
B．两组样本数据的样本中位数相同
C．两组样本数据的样本标准差相同
D．两组样本数据的样本极差相同
CD [设样本数据x1,x2,…,xn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)，m，σ，t，依题意得，新样本数据y1,y2,…,yn的平均数、中位数、标准差、极差分别为eq \x\t(x)＋c，m＋c，σ，t，因为c≠0，所以C，D正确，故选CD．]
12．A、B、C、D四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分(均为整数)情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知A、B、C、D四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是( )
A．A组中位数为2，极差为8
B．B组平均数为2，众数为2
C．C组平均数为1，方差大于0
D．D组平均数为2，方差为3
D [对A，因为中位数为2，极差为8，故最大值大于7，故A错误；
对B，如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B错误；
对C，如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C错误；
对D，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于eq \f(1,10)×(8－2)2＝3.6>3，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D正确．故选D．]
13．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
eq \(\a\al(8,9))eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(7 7,4 0 1 0 x 9 1))
则7个剩余分数的方差为________．
eq \f(36,7) [根据茎叶图知，去掉1个最低分87,1个最高分99，
则eq \f(1,7)×[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，
∴x＝4，
∴s2＝eq \f(1,7)×[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq \f(36,7)．]
14．若40个数据的平方和是56，平均数是eq \f(\r(2),2)，则这组数据的方差是________，标准差是________．
0.9 eq \f(3\r(10),10) [设这40个数据为xi(i＝1,2,…,40)，平均数为eq \x\t(x)．
则s2＝eq \f(1,40)×[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋…＋(x40－eq \x\t(x))2]
＝eq \f(1,40)[xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋…＋xeq \\al(2,40)＋40eq \x\t(x)2－2eq \x\t(x)(x1＋x2＋…＋x40)]
＝eq \f(1,40)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(56＋40×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))eq \s\up12(2)－2×\f(\r(2),2)×40×\f(\r(2),2)))
＝eq \f(1,40)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(56－40×\f(1,2)))
＝0.9，
∴s＝eq \r(0.9)＝eq \r(\f(9,10))＝eq \f(3\r(10),10)．]
15．以下是某地在甲、乙两个重要道路交叉口设置的电子监控在连续一周时间里抓拍到的每一天的车辆违章次数情况：
甲：6,8,9,10,9,9,12；
乙：7,9,8,11,10,9,11．
(1)试分别求甲、乙两路口车辆违章次数的平均数、中位数、众数；
(2)分别求甲的25%分位数和乙的75%分位数．
[解] (1)甲路口车辆违章次数的平均数为eq \f(6＋8＋9＋10＋9＋9＋12,7)＝9，
将各数按大小排序为：6,8,9,9,9,10,12，因此中位数为9，众数是9．
乙路口车辆违章次数的平均数为eq \f(7＋9＋8＋11＋10＋9＋11,7)≈9.3，
将各数按大小排序为：7,8,9,9,10,11,11，因此中位数是9，众数是9和11．
(2)将甲组数从小到大排列为：6,8,9,9,9,10,12，共7个数，因为7×25%＝1.75，所以甲组数的25%分位数为8．
将乙组数从小到大排列为：7,8,9,9,10,11,11，因为7×75%＝5.25，所以乙的75%分位数为11．
3
3
4
5
5
6
6
6
7
7
7
7
8
8
8
8
9
9
10
10
鞋号
34
35
36
37
38
39
40
41
数量/双
2
5
9
16
9
5
3
2