人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理随堂练习题

这是一份人教B版 (2019)必修 第二册6.2.1 向量基本定理随堂练习题，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．e1，e2 B．e1＋e2，3e1＋3e2
C．e1，5e2D．e1，e1＋e2
B [因为e1和e2是两个不共线向量，所以e1和5e2、e1和e1＋e2分别是两个不共线向量，所以A、C、D均能作为基底；B中，3e1＋3e2＝3(e1＋e2)，所以两向量是共线向量，不能作为基底．]
2．下列叙述不正确的是( )
A．若a，b共线，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
B．b＝3a(a为非零向量)，则a，b共线
C．若m＝3a＋4b，n＝eq \f(3,2)a＋2b，则m∥n
D．若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c
A [选项A：当b＝0时，满足a，b共线，但不满足存在唯一的实数λ，使a＝λb成立，此时不存在实数λ，使a＝λb成立，所以选项A错误；
选项B：若b＝3a，则a，b方向相同，所以a，b共线，所以选项B正确；
选项C：因为m＝3a＋4b＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)a＋2b))＝2n，所以m∥n，所以选项C正确；
选项D：若a＋b＋c＝0，则a＋b＝－c，选项D正确，故选A．]
3．如图所示，在矩形ABCD中，若eq \(BC,\s\up7(→))＝5e1，eq \(DC,\s\up7(→))＝3e2，则eq \(OC,\s\up7(→))等于( )
A．eq \f(1,2)(5e1＋3e2)
B．eq \f(1,2)(5e1－3e2)
C．eq \f(1,2)(5e2－3e1)
D．eq \f(1,2)(5e2－3e1)
A [eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(BC,\s\up7(→))＋eq \(DC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)(5e1＋3e2)．]
4．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，若eq \(AC,\s\up7(→))＝a，eq \(BD,\s\up7(→))＝b，则eq \(AE,\s\up7(→))等于( )
A．eq \f(1,4)a＋eq \f(1,2)bB．eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b
C．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)bD．eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C [如图，∵eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AO,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))，且eq \(AO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a，eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))＋eq \(OD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b．
∴eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)a＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b．
故选C．]
5．如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，若以a，b为基底，则eq \(AD,\s\up7(→))＝( )
A．a－eq \f(1,2)b
B．eq \f(1,2)a－b
C．a＋eq \f(1,2)b
D．eq \f(1,2)a＋b
D [连接OD，CD(图略)，显然∠BOD＝∠CAO＝60°，则AC∥OD，且AC＝OD，即四边形CAOD为菱形，故eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AO,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)a＋b．]
二、填空题
6．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．
(－∞，4)∪(4，＋∞) [若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．又a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，故由a≠kb即得λ≠4．]
7．设e1，e2是平面内一组基底，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基底a，b的线性组合，即e1＋e2＝________．
eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b [因为a＝e1＋2e2， ①
b＝－e1＋e2， ②
显然a与b不共线，①＋②得a＋b＝3e2，
所以e2＝eq \f(a＋b,3)，代入②得
e1＝e2－b＝eq \f(a＋b,3)－b＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b，
故有e1＋e2＝eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＝eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b．]
8．如图，在正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，那么eq \(EF,\s\up7(→))用eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(AD,\s\up7(→))可表示为eq \(EF,\s\up7(→))＝________．
eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→)) [eq \(EC,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→))＝
－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))，所以eq \(EF,\s\up7(→))＝eq \(EC,\s\up7(→))＋eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))－eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))．]
三、解答题
9．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AD,\s\up7(→))＝b．
(1)用a，b表示eq \(DE,\s\up7(→))；
(2)试用向量方法证明：A，G，C三点共线．
[解] (1)eq \(DE,\s\up7(→))＝eq \(AE,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BE,\s\up7(→))－eq \(AD,\s\up7(→))
＝a＋eq \f(1,2)b－b＝a－eq \f(1,2)b．
(2)证明：连接AC，BD交于O(图略)，则eq \(CO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(CA,\s\up7(→))，
∵E，F分别是BC，DC的中点，∴G是△CBD的重心，
∴eq \(CG,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)eq \(CO,\s\up8(→))＝eq \f(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))eq \(AC,\s\up8(→))＝－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up8(→))，
又C为公共点，∴A，G，C三点共线．
10．如图，在△ABC中，D是BC边上一点，G是线段AD上一点，且eq \f(AG,DG)＝eq \f(BD,CD)＝2，过点G作直线与AB，AC分别交于点E，F．
(1)用向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))表示eq \(AD,\s\up7(→))．
(2)试问eq \f(AB,AE)＋eq \f(2AC,AF)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
[解] (1)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(BC,\s\up7(→))＝eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(AC,\s\up7(→))．
(2)设eq \(AB,\s\up7(→))＝λeq \(AE,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))＝μeq \(AF,\s\up7(→))，则eq \f(AB,AE)＋eq \f(2AC,AF)＝λ＋2μ，
因为eq \f(AG,DG)＝eq \f(BD,CD)＝2，所以eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)\(AB,\s\up7(→))＋\f(2,3)\(AC,\s\up7(→))))＝eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \f(2λ,9)eq \(AE,\s\up7(→))＋eq \f(4μ,9)eq \(AF,\s\up7(→))，所以eq \f(2λ,9)＋eq \f(4μ,9)＝1，即λ＋2μ＝eq \f(9,2)，故eq \f(AB,AE)＋eq \f(2AC,AF)＝eq \f(9,2)为定值．
11．(多选题)如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是( )
A．a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量
B．对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个
C．若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则eq \f(λ1,λ2)＝eq \f(μ1,μ2)
D．若实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0
BC [由平面向量基本定理可知，AD是正确的．对于B，由平面向量基本定理可知，若一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于C，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0．]
12．已知点P是△ABC所在平面内的一点，边AB的中点为D，若2eq \(PD,\s\up7(→))＝(1－λ)eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))，其中λ∈R，则点P一定在( )
A．AB边所在的直线上
B．BC边所在的直线上
C．AC边所在的直线上
D．△ABC的内部
C [由2eq \(PD,\s\up7(→))＝(1－λ)eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))得
2(eq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→)))＝eq \(PA,\s\up7(→))－λeq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))，
2eq \(PA,\s\up7(→))＋2eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(PA,\s\up7(→))－λeq \(PA,\s\up7(→))＋eq \(CB,\s\up7(→))，
eq \(PA,\s\up7(→))＋2eq \(AD,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→))＝－λeq \(PA,\s\up7(→))．
∵边AB的中点为D，
∴eq \(PC,\s\up7(→))＝－λeq \(PA,\s\up7(→))，
∴P在直线AC上．]
13．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足eq \(AM,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，则△ABM与△ABC的面积之比为________．
eq \f(1,4) [如图，分别在eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))上取点E，F，
使eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(AC,\s\up7(→))，
在eq \(BC,\s\up7(→))上取点G，
使eq \(BG,\s\up7(→))＝eq \f(1,4)eq \(BC,\s\up7(→))，
则EG∥AC，FG∥AE，所以eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \(AE,\s\up7(→))＋eq \(AF,\s\up7(→))＝eq \(AM,\s\up7(→))，
所以M与G重合，所以eq \f(S△ABM,S△ABC)＝eq \f(BM,BC)＝eq \f(1,4)．]
14．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若eq \(BE,\s\up7(→))＝λeq \(BA,\s\up7(→))＋μeq \(BD,\s\up7(→))(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________．
eq \f(3,4) [∵四边形ABCD是平行四边形，
∴eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))，∵E是AO的中点，
∴eq \(BE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,2)eq \(BO,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up7(→))＋eq \f(1,4)eq \(BD,\s\up7(→))，
∴λ＝eq \f(1,2)，μ＝eq \f(1,4)，∴λ＋μ＝eq \f(3,4)．]
15．已知△ABC中，过重心G的直线l交边AB于P，交边AC于Q，若eq \(AP,\s\up7(→))＝peq \(PB,\s\up7(→))，eq \(AQ,\s\up7(→))＝qeq \(QC,\s\up7(→))，其中p，q为非零常数．求证：
(1)eq \(GA,\s\up7(→))＋eq \(GB,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))＝0；
(2)eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)为定值．
[证明] (1)由题意，延长AG交BC于D，则D为BC中点，可得eq \(GB,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))＝2eq \(GD,\s\up7(→))，
因为G是重心，可得eq \(GA,\s\up7(→))＝－2eq \(GD,\s\up7(→))，所以eq \(GA,\s\up7(→))＋eq \(GB,\s\up7(→))＋eq \(GC,\s\up7(→))＝－2eq \(GD,\s\up7(→))＋2eq \(GD,\s\up7(→))＝0．
(2)设eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(AC,\s\up7(→))＝b，
因为eq \(AP,\s\up7(→))＝peq \(PB,\s\up7(→))，eq \(AQ,\s\up7(→))＝qeq \(QC,\s\up7(→))，可得eq \(AP,\s\up7(→))＝eq \f(p,1＋p)a，eq \(AQ,\s\up7(→))＝eq \f(q,1＋q)b，eq \(AG,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AC,\s\up7(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b)，
又因为P，G，Q三点共线，所以存在λ，
使得eq \(PQ,\s\up7(→))＝λeq \(PG,\s\up7(→))，即eq \(AQ,\s\up7(→))－eq \(AP,\s\up7(→))＝λ(eq \(AG,\s\up7(→))－eq \(AP,\s\up7(→)))，
即eq \f(q,1＋q)b－eq \f(p,1＋p)a＝λeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)a＋\f(1,3)b－\f(p,1＋p)a))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(λ,3)－\f(λp,1＋p)))a＋eq \f(λ,3)b，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(p,1＋p)＝\f(λ,3)－\f(λp,1＋p),\f(q,1＋q)＝\f(λ,3)))，
整理得λ＝eq \f(3p,2p－1)＝eq \f(3q,1＋q)，即eq \f(2p－1,p)＝eq \f(1＋q,q)，
即2－eq \f(1,p)＝eq \f(1,q)＋1，所以eq \f(1,p)＋eq \f(1,q)＝1．