人教版八年级上册第十一章 三角形11.3 多边形及其内角和11.3.1 多边形课后测评

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一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题2分）（2023秋·湖北咸宁·八年级统考期末）一个三角形的两边长分别是2和4，则这个三角形的周长可能是（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】B
【分析】根据三角形的三边关系可得不等式，再根据三角形的周长为，即可判断．
【详解】设第三边的长为，
由题意得：，
，则三角形的周长为，则
四个选项中，只B选项符合题意，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
2．（本题2分）（2022秋·重庆沙坪坝·八年级重庆市凤鸣山中学校联考期中）如图，中，交于点，平分交于点，点为的延长线上一点，交的延长线于点，的延长线交于点，连接，下列结论：
①；
②；
③；
④.
其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】如图，①根据直角三角形的性质即可得到；②根据角平分线的定义得，由三角形的内角和定理得，变形可得结论；③根据三角形的内角和和外角的性质即刻得到；④根据三角形的面积公式即可得到．
【详解】如图，交于，
①，，
，
，
，故①正确；
②平分交于，
，
，
，
，
，
，
故②正确；
③，，
，
，
，
，故③正确；
④平分交于，
点到和的距离相等，
，故④正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，直角三角形的性质，三角形的面积公式，三角形外角的性质，正确的识别图形是解题的关键．
3．（本题2分）（2022秋·全国·八年级专题练习）若a、b、c是三角形的三边长，则化简的结果为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值．
【详解】解：∵a、b、c是三角形的三边长，
∴a+b＞c，b+c＞a，a+c＞b．
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0．
∴|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣a﹣b|＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c．
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简，三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边．
4．（本题2分）（2023春·八年级课时练习）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围．
【详解】解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a．
由题意得，，
解得＜a＜3，
所给选项中分别为：1，2，3，4．
∴只有2符合上面不等式组的解集，
∴a只能取2．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题．
5．（本题2分）（2023春·湖北武汉·八年级统考期末）如图，在中，，，点为上一点，点为的中点，连接．若，则的值为（ ）

A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】过点作于点，由已知可得的中位线，则，再由直角三角形的性质求得，由及三角形外角的性质求得，进而求得，即可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于点，

，点为的中点，
，
，
，
，
点是的中点，
是的中位线，
，
在中，，，
，
，
，
，
，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
6．（本题2分）（2022秋·广东东莞·八年级校考期中）如图，、是的角平分线，并且、交于点，若，则等于（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数．
【详解】解：，
，
又、是的角平分线，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是．
7．（本题2分）（2022秋·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考期末）如图，，，，分别平分的内角，外角，外角．以下结论：；；；；．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【分析】根据角平分线的定义得出，，，，根据三角形的内角和定理得出，，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项．
【详解】解：平分，
，
，，
，
，
，故正确；
，
，
平分，，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
，故正确；
平分，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
，
，故正确；
由得，，
，
，
，故正确；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、平行线的性质、三角形内角和定理的应用，主要考查学生的推理能力，有一定难度．
8．（本题2分）（2022秋·八年级课时练习）如图，，平分，平分，且，下列结论：①平分；②；③；④，其中正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】根据垂直定义得出∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，根据角平分线定义得出∠DBE=∠FBE，求出∠CBE=∠ABE，∠ACB=∠ECB，根据平行线的性质得出∠ABC=∠ECB，根据平行线的判定得出ACBE，根据三角形的内角和定理得出∠BCD+∠D=90°，即可得出答案．
【详解】解：∵BC⊥BD，
∴∠CBD=∠CBE+∠DBE=90°，
∵∠ABE+∠FBE=180°，
∴∠ABE+∠FBE=90°，
∵BD平分∠EBF，
∴∠DBE=∠FBE，
∴∠CBE=∠ABE，
∴BC平分∠ABE，∠ABC=∠EBC，
∵CB平分∠ACE
∴∠ACB=∠ECB，
∵ABCD，
∴∠ABC=∠ECB，
∴∠ACB=∠EBC，
∴ACBE，
∵∠DBC=90°，
∴∠BCD+∠D=90°，
∴①②③正确；
∵根据已知条件不能推出，
∴④错误；
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
9．（本题2分）（2022秋·八年级单元测试）已知a，b、c是的三条边长，化简的结果为（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】根据三角形三边关系得到，，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【详解】解：∵a，b，c是的三条边长，
∴，
∴
．
故选：D．
【点睛】此题考查了三角形三边关系，解题的关键是根据三边关系化简绝对值．
10．（本题2分）（2022秋·八年级课时练习）已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A.上述说法正确的个数是( )
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算．
【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，
∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）
∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
∴∠P=90°+∠A；
故（1）的结论正确；
（2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC）
∠P=∠PCE-∠PBC
∴2∠P=∠A
故（2）的结论是错误．
（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）
=180°-（∠FBC+∠ECB）
=180°-（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
=180°-（∠A+180°）
=90°-∠A．
故（3）的结论正确．
正确的为：（1）（3）．
故选C
【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；
（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
11．（本题2分）（2023秋·江西萍乡·八年级统考期末）如图，物理课上，老师和同学们做了如下实验：平面镜A与B之间的夹角为，光线经平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若，则的度数为 ．

【答案】
【分析】根据反射角入射角，推出，利用三角形内角和定理求出即可．
【详解】解：如图，由题意，，

∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，反射定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．（本题2分）（2023·全国·八年级假期作业）一块含角的直角三角尺与直尺的摆放位置如图所示，若，则的度数为 .

【答案】/32度
【分析】如图，先根据平行线的性质可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据对顶角相等即可得．
【详解】解：如图，由题意得：，

，
，
由对顶角相等得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质和三角形的外角性质是解题关键．
13．（本题2分）（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，则＝ °．

【答案】
【分析】根据角平分线的性质和三角形外角性质得出和的关系，进而求出与的关系，找出规律，得到与的关系即可求解.
【详解】解：∵∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，
∴，
∴，
同理，，
，
…
,
当时，，
（度）
故答案为：.
【点睛】本题考查了三角形外角性质与角平分线的定义，找出规律是解题的关键.
14．（本题2分）（2023秋·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在中，分别平分，交于点为外角的平分线，的延长线交于点．以下结论①，②，③，④，其中正确的是 （填序号）．
【答案】①②③
【分析】先根据角平分线的定义可得，，再根据即可判断①正确；先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理即可判断③正确；先根据三角形的外角性质可得，再结合结论③即可判断②正确；假设④正确，从而可得，再根据结论②可得，由此即可判断④错误．
【详解】解：平分，为外角的平分线，
，，
，
，结论①正确；
平分，
，
，结论③正确；
又，
，
，结论②正确；
假设，
，
解得，
，由已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论④错误；
综上，结论正确的是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．
15．（本题2分）（2021·八年级课前预习）从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形这边的高，简称 ．如图，线段 是BC边上的高．
【答案】 三角形的高 AD
【解析】略
16．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图所示，在中，，内角和外角的平分线交于点，则 ．
【答案】
【分析】利用角平分线定义可知，．再利用外角性质，可得，根据角等量关系代换得到．
【详解】解：和分别是和的角平分线，
，，
又是的一外角，
，
，
是的一外角，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查三角形外角的性质，角平分线性质，及三角形的内角和定理，解题的关键是熟记掌握三角形的内角和与外角性质．
17．（本题2分）（2023·全国·八年级假期作业）已知：如图，试回答下列问题：
（1）图中有 个三角形，其中直角三角形是 ．
（2）以线段为公共边的三角形是 ．
（3）线段所在的三角形是 ，边所对的角是 ．
【答案】 6 ，， ，，
【分析】（1）直接观察图形可找出三角形和其中有一个角是直角的三角形；
（2）观察图形可找到以线段为公共边的三角形；
（3）观察图形可知线段所在的三角形以及边所对的角；
【详解】（1）由图可知，
图中三角形有、、、、、，
图中有6个三角形，
由图可知，直角三角形有，，；
故答案为：6，，，；
（2）由图可知，
以线段为公共边的三角形是，，；
故答案为：，，；
（3）由图可知，
线段所在的三角形是，
边所对的角是；
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查三角形的识别，熟练掌握三角形的基本概念是解题的关键．
18．（本题2分）（2022秋·河南漯河·八年级校考期中）若a，b，c分别为三角形的三边，化简：＝ ．
【答案】
【分析】根据三角形三边关系得到a，b，c相关代数式与0的关系，去绝对值求解即可．
【详解】解：∵a，b，c分别为三角形的三边，
∴ ，，，
∴，，，
∴原式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形三边关系，去绝对值及整式的加减，解题关键是根据三角形三边关系得到a，b，c相关代数式与0的关系．
19．（本题2分）（2018秋·河北唐山·八年级校联考期中）下列图①、②、③中，具有稳定性的是图 ．
【答案】①②
【分析】根据三角形具有稳定性即可判断.
【详解】∵三角形具有稳定性，
∴①②具有稳定性，
故答案为：①②．
【点睛】本题考查三角形的稳定性，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（本题2分）（2023秋·江西上饶·八年级校联考期末）定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为 ．
【答案】或或
【分析】先设出善美角，再利用题中的定义分类讨论即可．
【详解】解：设善美角的度数为，
则，或，或，
∴或或，
故答案为或或．
【点睛】本题为新定义题型，涉及到了三角形的内角和定理和一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，分类讨论并正确计算．
三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．
21．（本题6分）（2020秋·广东东莞·八年级校考阶段练习）如图，在中，，分别是的高和角平分线，若，．

(1)求的度数．
(2)试写出与关系式，并证明．
(3)如图，F为AE的延长线上的一点，于D，这时与的关系式是否变化，说明理由．

【答案】(1)
(2)
(3)不变，理由见解析
【分析】（1）根据三角形内角和求出，根据角平分线的定义得到，根据高线的性质得到，从而求出，继而根据角的和差得到结果；
（2）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和求出，根据角的和差得到结果；
（3）过作于，结合（2）知，证明，得到，即可证明．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是高，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2），
证明如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴
；
（3）
不变，理由是：
如图，过作于，
由（2）可知：，

，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、直角三角形的性质和平行线的判定与性质，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的性质是解题的关键．
22．（本题6分）（2023秋·八年级课时练习）如图，在中，点在上，连接，点在上，连接，求证：．
【答案】见解析．
【分析】在中，根据三边之间的关系易得，则即，同理在中，，则即，从而得证．
【详解】证明：在中，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点睛】本题考查了三角形两边之和大于第三边；熟练掌握该性质是解题的关键．
23．（本题8分）（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，点E在上，点F在的延长线上，与交于点G，，平分．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，结合可得，根据“内错角相等，两直线平行”可证；
（2）由平分可得，再根据三角形内角和定理即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴．
【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的判定，三角形内角和定理等，解题的关键是掌握平行线的判定方法，牢记三角形内角和为180度．
24．（本题8分）（2023春·广东梅州·八年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，为x轴上一点，为y轴上的一点，且a，b满足，的平分线交y轴于点 C．

(1)求A，B两点的坐标；
(2)如图1所示，M为线段上的一个动点，过M点作的垂线交x轴于点E，D为垂足，的平分线交直线于点N，当点M运动时，的度数是否改变？若不变，请你求出的度数；若改变，请说明理由；
(3)如图2所示，若过点M作的平行线交x轴于点E，的平分线交直线于点N，当点M运动时，的度数是否改变？若不变，请求出的度数，若改变，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)不变，
(3)不变，
【分析】（1）由非负性可求，即可求解；
（2）由余角的性质可得，由角平分线的性质可得，由三角形内角和定理可求解；
（3）由余角的性质可得，由角平分线的性质得，，即可求解．
【详解】（1）∵，且
∴
∴，
∴，；
（2）不变，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分平分，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）不变，设与交于点H，

∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，非负性，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
25．（本题8分）（2022秋·湖北恩施·八年级校考阶段练习）如图1，点是内部一点，连接，并延长交于点．
(1)试探究与的大小关系；
(2)试探究与的大小关系；
(3)如图2，点，是内部两点，试探究与的大小关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（2）在和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可；
（3）延长交的延长线于G，交于点F，在、和中，利用三角形的两边之和大于第三边解题即可．
【详解】（1）解：，理由为：
，
∴
即：
（2），理由为：
在中，，
在中，，
两式相加得：+
即：
（3），理由为：
如图，延长交的延长线于G，交于点F，
在中，，①
在中，，②
中，，③
得：
【点睛】本题考查三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三遍之间的关系是解题的关键．
26．（本题8分）（2021秋·陕西延安·八年级陕西延安中学校考期中）如图，在中，M是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【分析】根据线段中点性质，得到，再根据三角形的三边关系得到，，即可证明结论．
【详解】证明：是中点，
，
，，
，
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题关键是掌握三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
27．（本题8分）（2022秋·八年级课时练习）如图，是的角平分线，， 交于点E，，交 于点F．图中与有什么关系？为什么？