初中数学13.2.1 作轴对称图形课堂检测

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一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（本题2分）（2022秋·天津津南·八年级校考期中）如图，把一张长方形纸片，沿对角线折叠，点B的对应点为，与相交于点E，则下列结论正确的有（ ）
①；②；③；④．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由折叠的性质可得由平行线的性质和等腰三角形的性质可得 ，由“”可证，可得 ，即可进行判断；
【详解】∵矩形纸片 沿对角线 折叠，点的对应点为
∴，故①正确；
∵
∴，故②正确；
在 和 中
∴故③正确；
故④不正确；
∴结论正确的有①②③共3个
故选：C
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的性质，证明 是本题的关键
2．（本题2分）（2022秋·辽宁辽阳·八年级辽阳市第一中学校联考期中）如图，直线分别与、轴交于点、，点在线段上，线段沿翻折，点落在边上的点处．以下结论：
①；
②直线的解析式为；
③点；
④若直线上存在一点，使得的值最小，则点的坐标是．
正确的结论是（ ）

A．①②B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，可判断①；
由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求的长，可得点坐标，利用待定系数法可求解析式，可判断②；
由面积公式可求的长，代入解析式可求点坐标，可判断③；
分别讨论点在、点的情况，比较值的情况，得出当点在点时，使得的值最小可判断④，即可求解．
【详解】解：直线分别与、轴交于点A、B，
点，点，
，，
，故①正确；
线段沿翻折，点落在边上的点处，
，，，
，
，
，
，
点，
设直线解析式为：，
，
，
直线解析式为：，故②正确；
如图，过点作于，

，
，
，
，
当时，，
，
点，故③正确；
直线上存在一点，
当点在点时，，
，
当点在点时，，
在中，
当点在点时，使得的值最小，则点的坐标是，故④正确；
综上分析可知，正确的结论为①②③④，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了利用待定系数法求解析式，折叠的性质，面积法，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
3．（本题2分）（2023春·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，在中，D是边上的中点，连接，把沿翻折，得到，与交于点E，连接，若，，则C到的距离为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，交于点M，由翻折知，，垂直平分，证为等边三角形，利用含30度的直角三角形性质及勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，交于点M，

∵，D是边上的中点，
∴，
由翻折知，，垂直平分，
∴，，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
在中，
，，
∴，
，
∴C到的距离为，
故选B．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
4．（本题2分）（2020秋·广东广州·八年级校考期中）如图1，长方形中，E点在上，且．分别以、为折线，将A、D向的方向折过去，如图2，若图2中，则度数为（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据长方形的性质与三角形内角和定理，得到，再根据折叠的性质，得到，，由，进而得到，最后根据平行线的性质，即可求出度数．
【详解】解：四边形是长方形，
，，
，
，
由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，
，
，
故选：D．

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
5．（本题2分）（2023春·陕西榆林·八年级校考期末）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】连接，，先求出，进而求出，求出，由三角形内角和定理和即可求得答案．
【详解】解：如图，连接，

，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
为的平分线，，
直线垂直平分，
，
，
点C沿折叠后与点O重合，
，，
；
在中，，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及翻折变换及其应用，解题的关键是根据翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系，灵活运用有关知识来分析、判断．
6．（本题2分）（2023春·重庆北碚·八年级西南大学附中校考期末）如图，正方形中，F是的中点，G是边上一点，且．将沿翻折，使点F的对应点E落在的延长线上，连接交折痕于点H，则的长是（ ）

A．1B．C．D．
【答案】C
【分析】由正方形的性质可得，设，则，，由题意知，，由折叠的性质可得，，，证明，则，，由勾股定理得，即，解得，（舍去），则，，，由勾股定理得，根据，即，计算求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可得，设，则，，
由题意知，，
由折叠的性质可得，，，
∵，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，即，解得，（舍去），
∴，，，
由勾股定理得，
∵，
∴，解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
7．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，小雨要用一个长方形纸片折叠一个小兔子，第一步沿折叠，使点落到边上的点处，若，则（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据折叠得出，求出，根据平行线的性质得出．根据折叠得出．
【详解】解：根据折叠可知，，
∵，
∴，
∵，
∴．
由折叠可知，，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行，同旁内角互补．
8．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，现有一块三角板，其中，，，将该三角板沿边翻转得到，再将沿边翻转得到，则与两点之间的距离为（ ）

A．B．16C．D．
【答案】C
【分析】连接，作，交延长线于点，在中求得、的长度，在中，即可求得．
【详解】解：连接，作，交延长线于点，如下图：

由折叠的性质可得：，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴
故选：C
【点睛】此题考查了勾股定理，折叠的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练利用相关性质进行求解．
9．（本题2分）（2023春·陕西西安·八年级校考期末）如图，正方形中，，点在边上，且．将沿AE折叠至，延长交边于点，连接、．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（ ）

A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】作于（见详解图），
①根据翻折变换的性质和正方形的性质可证；
②设，在中，根据勾股定理可证；
③通过，，证明，由平行线的判定定理可得；
④由②得到，由③得到，根据即可计算面积．
【详解】解：作于，

四边形是正方形，
，
，
是由翻折，
，
，
在和中，
，
．
故①正确．
，设，
在中，，
，，
，，，
，
，
,
故②正确．
，
，
，，，
，，，
，
，
，
，
故③正确．
，
故④正确．
综上，选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理的应用等知识，熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
10．（本题2分）（2023春·安徽淮南·八年级统考期末）如图，在菱形中，，，点是的中点，点是上一点，以为对称轴将折叠得到，以为对称轴将折叠得到，使得点落到上，连接．下列结论错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】A.由折叠的性质可以知道和分别是和的平分线，同时是平角，所以可知，故选项A正确；B.由题意和折叠的性质可以知道、，就可以得到，选项B正确；C和D.过点作于点，，可得，．设，可以得到，．根据折叠的性质可得，根据勾股定理，求得，即可得到，，所以．故选项C正确，选项D错误．
【详解】解：A.由折叠可知和分别是和的平分线．
又，
，
故选项A正确．
B.又点与点关于对称，
，
又，
，
故选项B正确．
C和D.如答图，过点作于点．

，
，
，
易知，，
设，
，，
点是的中点，折叠后点落到上，
点与点重合，．
易知点共线，
．
，
，
解得．
，，
，
故选项C正确，选项D错误．
综上，故选：D．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．
二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分.
11．（本题2分）（2023春·河北承德·八年级统考期末）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．

【答案】
【分析】根据折叠的性质，得到，，结合平行四边形的性质，得到，代入计算即可．
【详解】根据折叠的性质，得到，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长为．
故答案为：12．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
12．（本题2分）（2023春·上海浦东新·八年级统考期末）如图，在中，，，点M在边上，过点M作，垂足为点M，交边于点N，将沿直线翻折，点A、C分别与点D、E对应，如果四边形是平行四边形，那么的长是 ．

【答案】3
【分析】当点E在线段上时，连接交于点，过点作于点H，则，求出，，由轴对称可得，得，，，求出，由折叠可知，；假设点E在线段的延长线上，得到，与矛盾，故点E不可能在线段的延长线上，即可确定的长．
【详解】解：当点E在线段上时，如图，连接交于点，过点作于点H，则，

∵，，
∴，，
∵将沿直线翻折，点A、C分别与点D、E对应，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由折叠可知，，
假设点E在线段的延长线上，延长交于点F，

则，，
∵，，
∴，，
设，则，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴,即，
则，，
在中，，，，
∴，
∴,即，
，与矛盾，
故点E不可能在线段的延长线上，
综上可知，，
故答案为：3
【点睛】此题考查了勾股定理、平行四边形的性质、含角的直角三角形的性质等知识， 分类讨论是解题的关键．
13．（本题2分）（2023春·北京丰台·八年级统考期末）如图，在中，，，，将折叠，使点恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的长等于 ．

【答案】1.5
【分析】根据折叠得到，，设，则，根据勾股定理求得的值，再由勾股定理可列方程求解即可．
【详解】解：根据折叠可得，，
设，则，
在中，，，
在中，由勾股定理得，
解得
故答案为：1.5
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质，解题的关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，对应边和对应角相等，能熟练运用勾股定理列方程解决问题．
14．（本题2分）（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，在和中，，，相交于点E，．将沿折叠，点落在点处，若，则的大小为 ．

【答案】/15度
【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，再由等边对等角确定，利用折叠的性质及三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，沿折叠，点落在点处，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查折叠的性质及全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理及等腰三角形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
15．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）折纸是一项有趣的活动，如图所示，一张长方形纸片，先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后若，则 ．

【答案】
【分析】由平行线的性质得到，由平角定义得到，由轴对称的性质得到：，，，求出，由直角三角形的性质求出，由对顶角的性质得到，即可求出．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
由题意得：，，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，平行线的性质，余角的计算，对顶角的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质．
16．（本题2分）（2023·浙江·八年级假期作业）如图，在△ABC中，，，将纸片沿DE折叠，使点B落到点A处，若，则DE= ．

【答案】1
【分析】利用等腰三角形的性质得到，则，再由折叠性质得，，，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，则，
由折叠性质得，，，
∴，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质、折叠性质、三角形的内角和定理、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握折叠性质和直角三角形的性质是解答的关键．
17．（本题2分）（2022春·八年级单元测试）如图，四边形是菱形，，点是射线上一动点，把沿直线折叠，其中点D的对应为点，连接，若为等边三角形，则 ．

【答案】1或4/4或1
【分析】依据折叠的性质、菱形的性质以及等边三角形的性质，分两种情况得到的长即可．
【详解】解：由折叠及菱形的性质可得，故是以底的等腰三角形，
故当，为等边三角形，
分以下两种情况讨论，
1）如图（1），当点点A重合时，，此时点E为的中点，故，
2）如图（2），当点与点A关于直线对称时，，C，D三点共线，，故，
综上所述，或4，
故答案为：1或4．

【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠问题及等边三角形的性质等知识的综合运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
18．（本题2分）（2022秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度．

【答案】
【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，证明 ，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可．
【详解】解：如图，连接、，

，为的平分线，
，
又，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
为的平分线，，
点在的垂直平分线上，
，
，
将沿在上，在上）折叠，点与点恰好重合，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，三角形内角和定理等等，熟知相关知识是解题的关键．
19．（本题2分）（2023春·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，在中，，，，点为的中点，点是边上一个动点，将沿着翻折，使得点落在点处，当时，的长为 ．

【答案】或
【分析】根据题意，分两种情况：①当在的右侧时；②当在的左侧时，由翻折性质，结合含的直角三角形边的关系列方程求解即可得到答案．
【详解】解：在中，，，，点为的中点，
，，
当在的右侧时，延长交于，如图所示：

，
，
由翻折的性质知，，，
设，则，，
，
在直角三角形中，，则，
，
；
当在的左侧时，如图所示：

由翻折性质知，，，，
，
，
，，
在直角三角形中，，
，解得，
故答案为：或．
【点睛】本题考查翻折性质，充分利用翻折性质及含的直角三角形边的关系分情况讨论是解决问题的关键．
20．（本题2分）（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图，在正方形中，点E是上一点，连接，将沿翻折得到，连接．若，则 ．

【答案】/60度
【分析】根据直角三角形斜边中线的性质得出,，由折叠的性质得，，利用辅助线构造矩形并由其性质得出，再由等量代换得出，最后由特殊直角三角形的性质得出，利用折叠的性质及正方形的性质即可求解．
【详解】解：如图，过点作直线于点，过点作直线于点K，
正方形ABCD中，，，
,．
由沿DE翻折得到，
，
，，
，，，
,，
∴四边形是矩形．
，
∴，，
．
．
∵正方形，
∴，
∴，，
∵沿翻折得到，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查正方形—翻折问题．具体考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，特殊直角三角形的性质，矩形的判定和性质等的综合运用能力．灵活添加辅助线是解本题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，21-25题每小题8分，26-27题每小题10分，共60分．
21．（本题8分）（2023春·河南开封·八年级开封市第三十三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处，直线交于点．

(1)求点的坐标．
(2)求三角形的面积．
(3)求直线的解析式．
【答案】(1)，
(2)6
(3)
【分析】（1）当，，解得，则，当，，解得，则；
（2）由折叠的性质可知，，证明，根据，计算求解即可；
（3）由勾股定理得，，则，，待定系数法求直线的解析式即可．
【详解】（1）解：当，，解得，则，
当，，解得，则，
∴，；
（2）解：由折叠的性质可知，，
∵，，，
∴，
∴，
∴三角形的面积为6；
（3）解：由勾股定理得，，
由（2）可知，，
∴，
设直线的解析式为，
将，，代入得，，
解得，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象坐标轴的交点．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
22．（本题8分）（2023春·吉林长春·八年级统考期末）将边长为2的正方形纸片按如下操作：
【操作一】如图①，将正方形纸片对折，使点A与点B重合，点D与点C重合，再将正方形纸片展开，得到折痕EF．则点B、点F之间的距离为_____________．
【操作二】如图②，G为正方形边上一点，连接，将图①的正方形纸片沿翻折，使点B的对称点H落在折痕上．连接．

（1）求证：是等边三角形．