人教版八年级上册14.3.2 公式法练习题

这是一份人教版八年级上册14.3.2 公式法练习题，文件包含2024年中考道德与法治一轮复习知识清单全国通用-专题15因式分解的应用专项培优训练教师版docx、2024年中考道德与法治一轮复习知识清单全国通用-专题15因式分解的应用专项培优训练学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共23页， 欢迎下载使用。
试卷说明：本套试卷结合人教版数学八年级上册同步章节知识点，精选易错，常考，压轴类问题进行专题汇编！题目经典，题型全面，解题模型主要选取热点难点类型！同步复习，考前强化必备！适合成绩中等及偏上的学生拔高冲刺。
一、选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2分）（2022秋•韩城市期末）小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x﹣y，a﹣b，2，x2﹣y2，a，x+y，分别对应下列六个字：华，我、爱、美、游、中，现将2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）因式分解，结果呈现的密码信息可能是（ ）
A．爱我中华B．我游中华C．中华美D．我爱游
解：2a（x2﹣y2）﹣2b（x2﹣y2）＝2（x2﹣y2）（a﹣b）＝2（x+y）（x﹣y）（a﹣b），
信息中的汉字有：爱、中、华、我．
所以结果呈现的密码信息可能为爱我中华．
故选：A．
2．（2分）（2022秋•鹤壁期末）将几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，例如，由图1可得等式：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．将图2所示的卡片若干张进行拼图，可以将二次三项式a2+3ab+2b2分解因式为（ ）
A．（a+b）（2a+b）B．（a+b）（3a+b）
C．（a+b）（a+2b）D．（a+b）（a+3b）
解：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b），
故选：C．
3．（2分）（2023•涟源市一模）已知a、b、c是△ABC的三条边，且满足a2+bc＝b2+ac，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
解：已知等式变形得：（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，即（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∵a+b﹣c≠0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
则△ABC为等腰三角形．
故选：A．
4．（2分）（2023春•西安期末）已知2x﹣y＝1，xy＝2，则4x3y﹣4x2y2+xy3的值为（ ）
A．﹣2B．1C．﹣1D．2
解：原式＝xy（4x2﹣4xy+y2）
＝xy（2x﹣y）2，
∵2x﹣y＝1，xy＝2，
∴原式＝2×12＝2．
故选：D．
5．（2分）（2023春•萧县期末）当m为自然数时，（4m+5）2﹣9一定能被下列哪个数整除（ ）
A．5B．6C．7D．8
解：（4m+5）2﹣9
＝（4m+5+3）（4m+5﹣3）
＝（4m+8）（4m+2）
＝8（m+2）（2m+1），
∴（4m+5）2﹣9一定能被8整除；
故选：D．
6．（2分）（2022秋•新抚区期末）如果a﹣b＝2，那么代数式a3﹣2a2b+ab2﹣4a的值是（ ）
A．﹣1B．0C．1D．2
解：a3﹣2a2b+ab2﹣4a＝a（a2﹣2ab+b2）﹣4a＝a（a﹣b）2﹣4a，
∵a﹣b＝2，
∴a（a﹣b）2﹣4a＝a×22﹣4a＝0，
故选：B．
7．（2分）（2023•沙坪坝区校级二模）有两个整数x，y，把整数对（x，y）进行操作后可得到（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x）中的某一个整数对，将得到的新整数对继续按照上述规则操作下去，每得到一个新的整数对称为一次操作．若将整数对（2，32）按照上述规则进行操作，则以下结论正确的个数是（ ）
①若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2；
②三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30）；
③不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是（﹣3，18）．
A．3个B．2个C．1个D．0个
解：对（2，32）分别进行（x+y，y），（x﹣y，y），（y，x），
第一次操作得（34，32），（﹣30，32），（32，2），
第二次操作得（66，32），（﹣62，32），（32，34），（2，32），（﹣62，32），（32，﹣30），（34，2）（30，2），（2，32），
∴若m次操作后得到的整数对仍然为（2，32），则m的最小值为2，故①正确；
∵第二次操作中的 （32，﹣30）经过（x+y，y）的操作可得 （2，﹣30），
∴三次操作后得到的整数对可能为（2，﹣30），故②正确；
∵2和32都是偶数，
∴进行 （x+y，y） 或（x﹣y，y）或（y，x）操作的结果都是偶数，
∴不管经过多少次操作，得到的整数对都不会是 （﹣3，18），故③正确；
综上所述：正确的结论为①②③，共3个，
故选：A．
8．（2分）（2023秋•鄞州区月考）如果多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2整除，那么a：b的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．3D．6
解：令x2+x﹣2＝0，
则（x﹣1）（ x+2）＝0，
∴x＝1，或x＝﹣2，
∵多项式2x4﹣3x3+ax2+7x+b能被x2+x﹣2，
∴当x＝1时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，即：2﹣3+a+7+b＝0，整理得：a+b＝﹣6，
当x＝﹣2时，2x4﹣3x3+ax2+7x+b＝0，即：2×（﹣2）4﹣3×（﹣2）3+a×（﹣2）2+7×（﹣2）+b＝0，整理得：4a+b＝﹣42，
解方程组：，得：，
∴a：b＝﹣12：6＝﹣2．
故选：A．
9．（2分）（2023春•霍邱县期中）若（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，p、q为正整数，则m的最大值与最小值的差为（ ）
A．25B．24C．8D．74
解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，
∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，
∴p+q＝m，pq＝36，
∵36＝4×9，则p+q＝13，
36＝1×36，则p+q＝37，
36＝2×18，则p+q＝20，
36＝3×12，则p+q＝15，
36＝6×6，则p+q＝12，
∴m的最大值为37，最小值为12．
其差为25，
故选：A．
10．（2分）（2022秋•内江期末）已知d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，则当x2﹣2x﹣5＝0时，d的值为（ ）
A．25B．20C．15D．10
解法一：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2＝2x+5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5，
＝（2x+5）2﹣2x（2x+5）+x2﹣12x﹣5
＝4x2+20x+25﹣4x2﹣10x+x2﹣12x﹣5
＝x2﹣2x﹣5+25
＝25．
解法二：∵x2﹣2x﹣5＝0，
∴x2﹣2x＝5，
∴d＝x4﹣2x3+x2﹣12x﹣5
＝x2（x2﹣2x+1）﹣12x﹣5
＝6x2﹣12x﹣5
＝6（x2﹣2x）﹣5
＝6×5﹣5
＝25．
故选：A．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023春•沙坪坝区校级期中）若x2﹣3x+2＝0，则x3﹣x2﹣4x+2023＝ 2019 ．
解：x3﹣x2﹣4x+2023
＝x（x2﹣x）﹣4x+2023，
∵x2﹣3x+2＝0，
∴x2﹣x＝2x﹣2，
∴原式＝x（2x﹣2）﹣4x+2023
＝2x2﹣2x﹣4x+2023
＝2x2﹣6x+2023
＝2（x2﹣3x）+2023，
∵x2﹣3x+2＝0，
∴x2﹣3x＝﹣2，
∴原式＝2×（﹣2）+2023
＝﹣4+2023
＝2019．
12．（2分）（2023春•大兴区期末）已知a，b，c是三角形△ABC的三边，且满足a2﹣b2+bc﹣ac＝0，则△ABC为 等腰 三角形．
解：∵a2﹣b2+bc﹣ac＝0，
∴（a2﹣b2）+（bc﹣ac）＝0，
∴（a+b）（a﹣b）+c（b﹣a）＝0，
∴（a﹣b）[（a+b）﹣c]＝0，
∵a，b，c是三角形△ABC的三边，
∴（a+b）﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，
故答案为：等腰．
13．（2分）（2022秋•朔城区期末）已知x﹣y＝5，xy＝﹣3，则代数式x2y﹣xy2的值为 ﹣15 ．
解：∵x﹣y＝5，xy＝﹣3，
∴x2y﹣xy2＝xy（x﹣y）＝﹣3×5＝﹣15．
故答案为：﹣15．
14．（2分）（2023•成武县校级四模）若实数x满足x2﹣x﹣1＝0，则代数式x3﹣2x2+2023的值为 2022 ．
解：∵x2﹣x﹣1＝0，
∴x2﹣x＝1，
∴x﹣x2＝﹣1，
∴x3﹣2x2+2023
＝x3﹣x2﹣x2+2023
＝x（x2﹣x）﹣x2+2023
＝x﹣x2+2023
＝﹣1+2023
＝2022．
故答案为：2022．
15．（2分）（2023秋•乐至县校级期中）已知2x﹣y﹣3＝0，则4x2﹣y2﹣6y＝ 9 ．
解：由题意，4x2﹣y2﹣6y＝（2x+y）（2x﹣y）﹣6y．
又2x﹣y﹣3＝0，
∴2x﹣y＝3．
∴4x2﹣y2﹣6y＝3（2x+y）﹣6y
＝6x+3y﹣6y
＝6x﹣3y
＝3（2x﹣y）
＝3×3
＝9．
故答案为：9．
16．（2分）（2023春•诸暨市期末）如图，六块纸板拼成一张大矩形纸板，其中一块是边长为a的正方形，两块是边长为b的正方形，三块是长为a，宽为b的矩形（a＞b）．观察图形，发现多项式a2+3ab+2b2可因式分解为 （a+b）（a+2b） ．
解：根据图形得到长方形的面积为：a2+ab+ab+ab+b2+b2＝a2+3ab+2b2，
也可以为（a+b）（a+2b），
则根据此图，多项式a2+3ab+2b2分解因式的结果为（a+b）（a+2b），
故答案为：（a+b）（a+2b）．
17．（2分）（2021秋•阳城县期末）若2m+n＝4，2m﹣n＝3直接写出4m2﹣n2＝ 12 ；n2﹣4m2＝ ﹣12 ．
解：∵2m+n＝4，2m﹣n＝3，
∴4m2﹣n2
＝（2m）2﹣n2
＝（2m+n）（2m﹣n）
＝4×3
＝12，
n2﹣4m2
＝﹣（4m2﹣n2）
＝﹣（2m+n）（2m﹣n）
＝﹣4×3
＝﹣12，
故答案为：12，﹣12．
18．（2分）（2022秋•新泰市期中）如果x2+y2＝10，x﹣y＝2，那么代数式2x2﹣2y2的值是 ±16 ．
解：∵x﹣y＝2，
∴（x﹣y）2＝x2+y2﹣2xy＝4，
∵x2+y2＝10，
∴2xy＝6，
∴（x+y）2＝x2+y2+2xy＝16，
∴x+y＝±4，
∴2x2﹣2y2＝2（x+y）（x﹣y）＝±16，
故答案为：±16．
19．（2分）（2021秋•龙凤区期末）已知a，b，c是△ABC的三边，b2+2ab＝c2+2ac，则△ABC的形状是 等腰三角形 ．
解：b2+2ab＝c2+2ac，
a2+b2+2ab＝a2+c2+2ac，
（a+b）2＝（a+c）2，
a+b＝a+c，
b＝c，
所以此三角形是等腰三角形，
故答案为：等腰三角形．
20．（2分）（2018秋•晋江市期末）如图①，是一个棱长为a的正方体中挖去一个棱长为b的小正方体（a＞b）
（1）如图①所示的几何体的体积是 a3﹣b3 ．
（2）用另一种方法表示图①的体积：把图①分成如图②所示的三块长方体，将这三块长方体的体积相加后得到的多项式进行因式分解．比较这两种方法，可以得出一个代数恒等式 （a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3 ．
解：（1）根据题意，得a3﹣b3．
故答案为a3﹣b3．
（2）根据题意，得
a2（a﹣b）+ab（a﹣b）+b2（a﹣b）
＝a3﹣a2b+a2b﹣ab2+b2a﹣b3
＝a3﹣b3
∴a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）
故答案为（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3
三、解答题：本大题共8小题，21-22题每小题6分，23-28题每小题8分，共60分．
21．（6分）（2023秋•张店区校级月考）利用因式分解计算：
（1）；
（2）2×1012+2×101×98+2×492．
解：（1）原式＝＝1．
（2）原式＝2（1012+101×98+492）
＝2（1012+2×101×49+492）
＝2（101+49）2
＝2×1502
＝45000．
22．（6分）（2022秋•惠阳区校级月考）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，且满足a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0．试判断该三角形的形状，并说明理由．
解：该三角形是等边三角形，
理由：a2+2b2+c2﹣2ab﹣2bc＝0，
a2﹣2ab+b2+b2﹣2bc+c2＝0，
（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a﹣b＝0，且b﹣c＝0，
∴a＝b且b＝c，
即a＝b＝c，
∴该三角形是等边三角形．
23．（8分）（2022秋•廉江市期末）有些多项式不能直接运用提取公因式法分解因式，但它的某些项可以通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如mx+nx+my+ny＝（mx+nx）+（my+ny）＝x（m+n）+y（m+n）＝（m+n）（x+y），根据上面的方法因式分解：
（1）2ax+3bx+4ay+6by；
（2）m3﹣mn2﹣m2n+n3；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边，且满足a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc，判断△ABC的形状并说明理由．
解：（1）原式＝（2ax+3bx）+（4ay+6by）
＝x（2a+3b）+2y（2a+3b）
＝（x+2y）（2a+3b）．
（2）原式＝（m3﹣m2n）﹣（mn2﹣n3）
＝m2（m﹣n）﹣n2（m﹣n）
＝（m﹣n）（m2﹣n2）
＝（m﹣n）2（m+n）．
（3）等腰三角形．
∵a2﹣ab+c2＝2ac﹣bc
∴（a﹣c）（a﹣c﹣b）＝0
∵a，b，c是△ABC的三边，
∴a﹣b﹣c＜0，
∴a﹣c＝0，
∴a＝c，
∴△ABC是等腰三角形．
24．（8分）（2023秋•南关区校级期中）教材中这样写道：“我们把多项式a2+2ab+b2及a2﹣2ab+b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：
先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．
配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式x2+2x﹣3．
原式＝（x2+2x+1）﹣4＝（x+1）2﹣4＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）；
例如：求代数式x2+4x+6的最小值．
原式＝x2+4x+4+2＝（x+2）2+2．
∵（x+2）2≥0，
∴当x＝﹣2时，x2+4x+6有最小值是2．
根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：m2﹣4m﹣5；
（2）求代数式x2﹣6x+12的最小值；
（3）若y＝﹣x2+2x﹣3，当x＝ 1 时，y有最 大 值（填“大”或“小”），这个值是 ﹣2 ；
（4）当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0时，判断△ABC的形状并说明理由．
解：（1）m2﹣4m﹣5
＝m2﹣4m+4﹣4﹣5
＝（m﹣2）2﹣9
＝（m﹣2+3）（m﹣2﹣3）
＝（m+1）（m﹣5）．
故答案为：（m+1）（m﹣5）；
（2）x2﹣6x+12
＝x2﹣6x+9+3
＝（x﹣3）2+3；
∴x2﹣6x+12的最小值是3；
（3）y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣x2+2x﹣1﹣2＝﹣（x﹣1）2﹣2，
∴当x＝1的时候，y有最大值﹣2．
故答案为：1，大，﹣2；
（4）△ABC是等腰三角形．理由如下：a2+b2+c2﹣6a﹣10b﹣6c+43＝0，
∴a2﹣6a+9+b2﹣10b+25+c2﹣6c+9＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣5）2+（c﹣3）2＝0，
三个完全平方式子的和为0，所以三个完全平方式子分别等于0．
a﹣3＝0，b﹣5＝0，c﹣3＝0，
解得a＝3，b＝5，c＝3．
∴△ABC是等腰三角形．
25．（8分）（2023秋•乐至县校级期中）观察下列分解因式的过程：
x2+2xy﹣3y2
解：原式＝x2+2xy+y2﹣y2﹣3y2
＝（x2+2xy+y2）﹣4y2
＝（x+y）2﹣（2y）2
＝（x+y+2y）（x+y﹣2y）
＝（x+3y）（x﹣y）．
像这种通过增减项把多项式转化成完全平方形式的方法称为配方法．
（1）请你运用上述配方法分解因式：x2﹣4xy﹣5y2；
（2）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝8a+6b﹣25，求△ABC周长的最大值．
解：（1）由题意，x2﹣4xy﹣5y2＝x2﹣4xy+4y2﹣9y2
＝（x﹣2y）2﹣9y2
＝（x﹣2y+3y）（x﹣2y﹣3y）
＝（x+y）（x﹣5y）．
（2）由题意，a2+b2＝8a+6b﹣25，
∴a2﹣8a+b2﹣6b+25＝0．
∴a2﹣8a+16+b2﹣6b+9＝0．
∴（a﹣4）2+（b﹣3）2＝0．
∴a＝4，b＝3．
∴1＜c＜7．
又c为正整数，
∵△ABC周长的最大，
∴c＝6．
∴a+b+c＝4+3+6＝13．
答：满足题意得△ABC周长的最大值为13．
26．（8分）（2023秋•阳泉月考）观察下列算式特征，并完成相应任务．
（x+4）（x+3）＝x2+7x+12；
（x+2）（x﹣3）＝x2﹣x﹣6；
（x+5）（x﹣2）＝x2+3x﹣10；
（x﹣2）（x﹣1）＝x2﹣3x+2．
（1）任务一：发现与表达
请用含字母的算式表示以上算式的一般特征： （x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab ．
（2）任务二：问题与解决
如果x2+mx+8＝（x+a）（x+b），其中m，a，b均为整数，则m的取值有 D ．
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
（3）任务三：拓展与猜想
若（ax+m）（bx+n）＝abx2+px+q，则p＝ an+bm ，q＝ mn ．
解：（1）（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab．
故答案为：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab；
（ 2）∵（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab＝x2+mx+8，
∴ab＝8，m＝a+b，
∵m，a，b均为整数，
∴a＝1，b＝8或a＝2，b＝4或a＝﹣1，b＝﹣8或a＝﹣2，b＝﹣4，
∴m＝a+b的值有四种可能．
故答案为：D．
（3）∵（ax+m）（bx+n）＝abx2+（an+bm）x+mn＝abx2+px+q
∴p＝（an+bm），q＝mn．
故答案为：an+bm，mn．
27．（8分）（2023秋•临汾月考）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如由图1可以得到（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，请回答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式： （a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ；
（2）利用（1）中所得的结论，解决下列问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；
（3）图3中给出了若干个边长为a和边长为b的小正方形纸片及若干个长为b、宽为a的长方形纸片．请按要求利用所给的纸片拼出一个几何图形，并画在所给的方框内，要求所拼的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2．
解：（1）由拼图面积可得：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
（2）由（1）得：a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc
＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）
＝112﹣2×38
＝45；
（3）如图所示：所拼出的几何图形的面积为2a2+5ab+2b2；
．
28．（8分）（2022秋•建昌县期末）阅读材料：教科书中提到“a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2这样的式子叫做完全平方式．”有些多项式是完全平方式，我们可以通过添加项，凑成完全平方式，再减去这个添加项，使整个式子的值不变，这样也可以将多项式进行分解，并解决一些最值问题．
例如：分解因式：x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣22＝（x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝（x+1）（x﹣3）
求代数式x2﹣2x﹣3的最小值x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣4＝（x﹣1）2﹣4
∵（x﹣1）2≥0，
∴当x＝1时，代数式x2﹣2x﹣3有最小值﹣4．
结合以上材料解决下面的问题：
（1）分解因式：x2﹣6x﹣7；
（2）当a，b为何值时，a2﹣2ab+2b2+4b+2023有最小值？最小值是多少？
解：（1）x2﹣6x﹣7
＝x2﹣6x+9﹣16
＝（x﹣3）2﹣42
＝（x﹣3+4）（x﹣3﹣4）
＝（x+1）（x﹣7）；
（2）a2﹣2ab+2b2+4b+2023
＝a2﹣2ab+b2+b2+4b+4+2019
＝（a﹣b）2+（b+2）2+2019，
∵（a﹣b）2≥0，（b+2）2≥0，
∴当a﹣b＝0，b+2＝0，即a＝b＝﹣2时，
原代数式有最小值，最小值为2019