湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题

这是一份湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题，共13页。试卷主要包含了已知复数z＝，抛物线y＝x2的焦点坐标是，已知函数f等内容，欢迎下载使用。
1．若集合A＝{x|x＝4k﹣3，k∈N}，B＝{x|（x+3）（x﹣9）≤0}，则A∩B的元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．已知复数z＝（1+i）•（m﹣2i）在复平面内对应的点落在第一象限，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞2B．0＜m＜2C．﹣2＜m＜2D．m＜﹣2
3．设a∈R，则“a＝1”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．抛物线y＝x2的焦点坐标是（ ）
A．（，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，﹣）
5．如图，在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E，F分别是线段AD上靠近D，A的三等分点，则＝（ ）
A．B．C．D．
6．某工艺品修复工作分为两道工序，第一道工序是复型，第二道工序是上漆．现甲，乙两位工匠要完成A，B，C三件工艺品的修复工作，每件工艺品先由甲复型，再由乙上漆．每道工序所需的时间（单位：h）如下：
则完成这三件工艺品的修复工作最少需要（ ）
A．43 hB．46 hC．47 hD．49 h
7．已知函数f（x）＝sin2ωx+sinωxcsωx﹣1（ω＞0）在上恰有4个不同的零点，则实数ω的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y＝Asinωt，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f（x）＝cs2x+|sinx|，则下列结论正确的是（ ）
A．f（x）是奇函数
B．f（x）的最小正周期为2π
C．f（x）的最大值为
D．f（x）在区间上单调递减
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
（多选）9．大年除夕吃年夜饭是中国古老的民俗传统，唐朝诗人孟浩然曾写下“续明催画烛，守岁接长筵”这样的诗句．为了解某地区居民的年夜饭消费金额，研究人员随机调查了该地区100个家庭，所得金额统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．可以估计，该地区年夜饭消费金额在（2400，3200]家庭数量超过总数的三分之一
B．若该地区有2000个家庭，可以估计年夜饭消费金额超过2400元的有940个
C．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的平均数不足2100元
D．可以估计，该地区家庭年夜饭消费金额的中位数超过2200元
（多选）10．已知圆锥的顶点为S，高为1，底面圆的直径，B为圆周上不与A重合的动点，F为线段AB上的动点，则（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．△SAB面积的最大值为
C．直线SB与平面SAC所成角的最大值为
D．若B是的中点，则（SF+CF）2的最小值为
（多选）11．已知抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线l与该抛物线相交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点（其中x1＞0），则下面说法正确的是（ ）
A．若p＝2，则x1x2＝﹣4B．若y1y2＝1，则p＝2
C．若p＝2，则D．若p＝2，则
（多选）12．已知矩形ABCD中，，△ABD沿着BD折起使得形成二面角A′﹣BD﹣C，设二面角A′﹣BD﹣C的平面角为θ，则下面说法正确的是（ ）
A．在翻折的过程中，A′、B、C、D四点始终在一个球面上，且该外接球的表面积为12π
B．存在θ，使得A′B⊥CD
C．当时，
D．当时，直线A′C与直线BD的夹角为45°
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．曲线f（x）＝xex﹣3x+1在点（0，1）处的切线方程是 （结果用一般式表示）．
14．已知病毒A在某溶液中的存活个数（k）的概率满足（k＝0，1，2，⋯），已知只要该溶液中存在一个A病毒，就可以导致生物C死亡，则该溶液能够导致生物C死亡的概率为 ．
15．近两年来，多个省份公布新高考改革方案，其中部分省份实行“3+1+2”的高考模式，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史两门科目中选考1门科目，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门科目中选考2门科目，则甲，乙两名考生恰有两门选考科目相同的概率为 ．
16．已知函数在x∈[0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为 ．
四．解答题（共6小题，每题70分）
17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足．(10分）
（1）求角A的大小；
（2）若，△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，且，求△ABC的面积．
18．已知等差数列{an}满足an+an﹣1＝8n+2（n≥2），数列{bn}是公比为3的等比数列，a2+b2＝20．（12分）
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）数列{an}和{bn}中的项由小到大组成新的数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为，过F1的直线m与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8．（12分）
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点G（1，0）的动直线n与椭圆C相交于M，N两点，直线l的方程为x＝4．过点M作MP⊥l于点P，过点N作NQ⊥l于点Q．记△GPQ，△GPM，△GQN的面积分别为S，S1，S2．问是否存在实数λ，使得成立？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）＝（mx2+1）e﹣x（m∈R）．（12分）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数g（x）＝f（x）+nxe﹣x﹣1在（0，1）上有零点，且m+n＝e﹣1，求实数m的取值范围．
21．旅游承载着人们对美好生活的向往．随着近些年人们收入和消费水平不断提高，对品质生活的需求也日益升级，旅游市场开启了快速增长的时代．某旅游景区为吸引旅客，提供了A、B两条路线方案．该景区为进一步了解旅客对这套路线的选择情况和满意度评价（“好”或“一般”），对300名的旅客的路线选择和评价进行了统计，如下表：（12分）
（1）填补上面的统计表中的空缺数据，并讨论能否在犯错误概率不超过0.001的前提下认为对A，B两条路线的选择与性别有关？
（2）某人计划到该景区旅游，预先在网上了解两条路线的评价，假设他分别看了两条路线各三条评价（评价好或一般的可能性以前面统计的比例为参考），若评价为“好”的计5分，评价为“一般”的计2分，以期望值作为参考，那么你认为这个人会选择哪一条线路．请用计算说明理由．
附：，其中n＝a+b+c+d．
22．已知在三棱锥P﹣ABC中，PA＝PB＝PC＝AC，△ABC为以AC为斜边的等腰直角三角形．（12分）
（1）证明：平面PAC⊥平面ABC；
（2）设PA＝2，存在该几何体外的一点D，使得△BCD为等边三角形，平面BCD与平面ABC所成的锐二面角的正切值为，求AD的长．
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1-5：CAACC 6-8:BDD
二．多选题（共4小题）
9：ABD． 10：AC． 11．：ABD． 12．：BCD．
三．填空题（共4小题）
13：2x+y﹣1＝0．
14．：1﹣．
15．：．
16．：（﹣∞，1]．
四．解答题（共6小题）
17．
【解答】解：（1）∵．∴由正弦定理可得＝，
∴（a+c）（a﹣c）＝b（b+c），
整理得：a2﹣c2＝b2+bc，
∴csA＝＝，
由于0＜A＜π，
所以A＝；
（2）∴△ABC的角平分线AD与边BC相交于点D，
∴bcsin＝b•AD•sin+c•AD•sin，
∴bc＝b+c，
在△ABC中，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccs∠BAC，
∴7＝b2+c2+bc＝（b+c）2﹣bc＝（bc）2﹣bc，解得bc＝2或bc＝﹣（舍去）．
∴△ABC的面积S＝bcsin∠BAC＝×2×＝．
18．
【解答】解：（1）an+an﹣1＝8n+2，①，an﹣1+an﹣2＝8n﹣6（n≥3），②，
①﹣②得：an﹣an﹣2＝8，
∵{an}为等差数列，∴2d＝8，d＝4，
an+an﹣1＝8n+2，即an+an﹣d＝8n+2，
∴an＝4n+3，
数列{bn}是公比为3的等比数列，a2+b2＝20，
11+3b1＝20，b1＝3，
；
（2）S50＝c1+c2++c50＝（31+32+33+34）+（7+11+...+187），
＝120+4462＝4582．
19．
【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则2c＝2，则c＝，
因为△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a，
所以4a＝8，
解得a＝2，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
所以椭圆C的方程为+y2＝1．
（2）由题意可得直线n的斜率不为0，设方程为x＝my+1，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则P（4，y1），Q（4，y2），
联立，得（m2+2）y2+2my﹣3＝0，
所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，
所以S＝|PQ|•（4﹣1）＝|y1﹣y2|＝＝
＝＝，
因为S1＝|PM||y1|＝（4﹣x1）|y1|＝[4﹣（my1+1）]|y1|＝（3﹣my1）|y1|，
同理S2＝（3﹣my2）|y2|，
所以S1•S2＝（3﹣my1）（3﹣my2）|y1y2|＝[9﹣3m（y1+y2）+m2y1y2]|y1y2|
＝[9﹣3m（﹣）+m2（﹣）]•＝，
所以＝，
所以＝＝，
即2﹣S＝0，
所以存在实数λ＝2，使得λ﹣S＝0成立．
20．
【解答】解：（1）已知f（x）＝（mx2+1）e﹣x（m∈R），函数定义域为R，
可得f′（x）＝2mxe﹣x﹣（mx2+1）e﹣x＝﹣（mx2﹣2mx+1）e﹣x，
当m＝0时，f′（x）＝﹣e﹣x＜0，
所以f（x）在R上单调递减；
令f′（x）＝0，
解得x＝，
所以当x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当m≠0时，
因为y＝mx2﹣2mx+1是开口向上的二次函数，且Δ＝4m（m﹣1），
若Δ≤0，即0＜m≤1时，y＝mx2﹣2mx+1≥0，
所以f′（x）≤0；
若Δ＞0，
此时函数t＝mx2﹣2mx+1有两个根x＝1﹣或x＝1+，
若m＜0，
所以当x＜1+时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当1+＜x＜1﹣时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞1﹣时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
若m＞1，
所以当x＜1﹣时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当1﹣＜x＜1+时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x＞1+时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
综上所述，当0≤m≤1时，函数f（x）在R上单调递减；
当m＞1时，函数f（x）在（﹣∞，1﹣）和（1+，+∞）上单调递减；
在（1﹣，1+）上单调递增
当m＜0时，函数f（x）在（﹣∞，1+）和（1﹣，+∞）上单调递增；
在（1+，1﹣）上单调递减；
（2）令g（x）＝（mx2+1）e﹣x+nxe﹣x﹣1＝0，
解得ex＝mx2+nx+1，
不妨设h（x）＝ex﹣mx2﹣nx﹣1，函数定义域为（0，1），
则h（x）在（0，1）内有零点；
不妨设x0为h（x）在（0，1）内的一个零点，
因为h（0）＝0，h（1）＝0，
所以h（x）在区间（0，x0）和（x0，1）上不可能单调；
不妨设φ（x）＝h'（x），函数定义域为（0，1），
此时φ（x）在区间（0，x0）和（x0，1）上均存在零点，
即φ（x）在（0，1）上至少有两个零点，
易知h'（x）＝ex﹣2mx﹣n，φ'（x）＝ex﹣2m，
当时，φ'（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增，不可能有两个及以上零点；
当 时，φ'（x）＜0，φ（x）在（0，1）上单调递减，不可能有两个及以上零点；
当＜m＜时，
令φ'（x）＝0，
解得x＝ln2m，
当0＜x＜ln2m时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减；
当ln2m＜x＜1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，
所以φ（x）在x＝ln2m处取得最小值φ（ln2m）＝3m﹣2mln2m+1﹣e，
若φ（x）有两个零点，
需满足φ（ln2m）＜0，φ（0）＞0，φ（1）＞0，
不妨设F（x）＝x﹣xlnx+1﹣e，函数定义域为（1，e），
可得F′（x）＝﹣lnx，
当1＜x＜时，F′（x）＞0，F（x）单调递增；
当＜x＜e时，F′（x）＜0，F（x）单调递减，
所以F（x）max＝F（）＝+1﹣e＜0，
此时φ（ln2m）＜0恒成立，
又φ（0）＝1﹣n＝m﹣e+2＞0，φ（1）＝e﹣2m﹣n＞0，
可得e﹣2＜m＜1，
当e﹣2＜m＜1时，不妨设φ（x）的两个零点分别为x1，x2，（x1＜x2），
可得h（x）在（0，x1）上单调递增；在（x1，x2）上单调递减；
在（x2，1）上单调递增，
所以h（x1）＞h（0）＝0，h（x2）＜h（1）＝0，
则h（x）在区间（x1，x2）内有零点，
综上所述，实数m的取值范围为（e﹣2，1）．
21．
将所给数据整理，得到如下列联表：
所以＝50＞10.828＝x0.001，
根据小概率值α＝0.001的独立性检验，认为对A、B两条路线的选择与性别有关．
（2）设P1为选择A路线好评率，则P1＝，
设P2为选择B路线好评率，则P2＝，
设A路线和B路线累计分数分别为X，Y，则X，Y的可能取值都为6、9、12、15，
则P（X＝6）＝，P（X＝9）＝，
P（X＝12）＝，P（X＝15）＝，
所以E（X）＝，
P（Y＝6）＝，P（Y＝9）＝，
P（Y＝12）＝，P（Y＝15）＝＝，
所以E（Y）＝，
所以E（X）＞E（Y），所以选择A路线．
22．
【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接OB，
∵△PAC为等边三角形，O为AC的中点，
∴PO⊥AC．
设PA＝PB＝AC＝2，∴AO＝BO＝1，PO＝，
在△PBO中，∵PB2＝4，PO2+BO2＝4，即PB2＝PO2+BO2，则∠POB＝90°，
即PO⊥OB．
又∵AO∩BO＝O，
∴PO⊥平面ABC．
∵PO⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面ABC．
（2）解：∵△BCD为等边三角形，取BC的中点E，则DE⊥BC，
∵PA＝2，∴PB＝PC＝AC＝2，∴AB＝BC＝AC×cs45°＝2×＝，
则BE＝，DE＝，
则D的轨迹是以E为圆心，半径为DE＝的圆上，
建立以B为坐标原点，BC，为x轴，BA为y轴，垂直于平面ABC的直线为z轴的坐标系如图：
则B（0，0，0），C（，0，0），A（0，，0），设D（，m，n），E（，0，0），
则DE＝＝，
平面ABC的法向量为＝（0，0，1），
平面BCD的法向量为＝（x，y，z），
则＝（，0，0），＝（，m，n），
则，即，得x＝0，my+nz＝0，
设y＝n，则z＝﹣m，即＝（0，n，﹣m），
则BCD与平面ABC所成的锐二面角为θ，
则tanθ＝，
设csθ＝|cs＜，＞|＝＝，
则cs2θ＝＝，
即＝，
则m＝，n＝1，
即D（，，1），
则＝（，﹣，1），则|AD|＝＝＝．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/5/20 10:08:05；用户：杨乐；邮箱：13348702015；学号：41228115原料时间工序
A
B
C
复型
9
16
10
上漆
15
8
14
A
路线
B
路线
合计
好
一般
好
一般
男
20
55
120
女
90
40
180
合计
50
75
300
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
6.635
10.828
A路线
B路线
合计
好
一般
好
一般
男
10
20
55
35
120
女
90
30
20
40
180
合计
100
50
75
75
300
性别
路线
合计
A
B
男
30
90
120
女
120
60
180
合计
150
150
300