湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题
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这是一份湖南省岳阳市岳汨联考2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题,共9页。试卷主要包含了已知,则n=,同时抛掷两枚质地均匀的硬币,设随机变量X~N等内容,欢迎下载使用。
1.已知,则n=( )
A.6B.7C.8D.9
2.已知数列{an}的前n项和为Sn,若,则a3=( )
A.﹣5B.5C.7D.8
3.同时抛掷两枚质地均匀的硬币(忽略客观因素对其的影响),如果已经知道有一枚硬币正面朝上,那么这两枚硬币都是正面朝上的概率是( )
A.B.C.D.不确定
4.某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品,这两种产品的生产比例分别为80%,20%,且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为10%,20%.若从该厂生产的口罩中任选一个,则选到绑带式口罩的概率为( )
A.0.12B.0.16C.0.2D.0.32
5.(x+2y+z)11的展开式为多项式,其展开式经过合并同类项后的项数一共有( )
A.72项B.75项C.78项D.81项
6.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=20,S20=10,则S30=( )
A.0B.﹣10C.﹣30D.﹣40
7.设随机变量X~N(0,1),f(x)=P(X≥x),其中x>0,则下列等式成立的是( )
A.f(2x)=2f(x)B.f(﹣x)=1﹣f(x)
C.P(X≤x)=2f(x)﹣1D.P(|X|>x)=2﹣f(x)
8.标有数字1,2,3,4,5,6的六张卡片,从中有放回地随机抽取两次,每次抽取一张,A表示事件“第一次取出的数字是3”,B表示事件“第二次取出的数字是2”,C表示事件“两次取出的数字之和是6”,D表示事件“两次取出的数字之和是7”,则( )
A.P(C|D)=P(C)B.P(C|B)=P(C)
C.P(A|C)=P(A)D.P(A|D)=P(A)
二.多选题(共4小题,每题5分,共20分)
(多选)9.设A,B为两个随机事件,若,,下列命题中,正确的是( )
A.若A,B为互斥事件,
B.
C.若,则A,B为相互独立事件
D.若A,B为相互独立事件,则
(多选)10.4个不同的小球随机投入4个不同的盒子,设随机变量X为空盒的个数,下列说法正确的是( )
A.随机变量X的取值为1,2,3
B.
C.
D.
(多选)11.若(1﹣2x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则( )
A.a0=1
B.
C.
D.
(多选)12.下列说法正确的是( )
A.若随机变量ξ~N(0,1),φ(x)=P(ξ≤x),其中x>0,则P(|ξ|>x)=2﹣φ(x)
B.若事件A与B互斥,且0<P(B)<1,则
C.若事件B发生,则事件A一定发生,且0<P(A)<1,0<P(B)<1则P(A|B)=P(A)
D.甲、乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球,其中甲箱中有3个红球和2个白球,乙箱中有2个红球和3个白球,先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中,再从乙箱中随机取出一球,则取出的球是红球的概率为
三.填空题(共4小题。每题5分,共20分)
13.随机变量X服从正态分布X~N(4,σ2),若P(0.5≤X≤4)=0.38,则P(X≥7.5)= .
14.已知a为正数,的展开式中各项系数的和为1,则常数项为 .
15.甲乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球,且均各自标号为1、2、3.分别从两个盒子中随机取一个球,用X表示两球上数字之积,X的方差为D(X),则D(2X﹣1)= .
16.已知集合M={x|1≤x≤10,x∈N*},对它的非空子集A,将A中每个元素k都乘以(﹣1)k再求和,如A={1,4,7},可以求得和为(﹣1)﹣1×1+(﹣1)4×4+(﹣1)7×7=﹣4,则对M的所有非空子集,这些和的总和为 .
四.解答题(共6小题,共70分)
17.为培养学生对传统文化的兴趣,某市从甲,乙两所学校各抽取100名学生参加传统文化知识竞赛,竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级,成绩统计如表:(10分)
(1)甲,乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少?
(2)能否有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异?
K2=.
18.已知的展开式中,各项系数之和比它的二项式系数之和大992.(12分)
(1)求展开式中二项式系数最大的项;
(2)求展开式中有理项.
19.甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛,约定:①每赢一球得1分;②采用两球换发制,即每比赛二球交换发球权.假设甲发球时甲得分的概率是,乙发球时甲得分的概率是,各球的结果相互独立.根据抽签结果决定,甲先发球.(12分)
(1)求比赛二球后甲得分的期望;
(2)求比赛六球后甲得分比乙得分多2分的概率.
20.在2023年春节期间,为了进一步发挥电子商务在活跃消费市场方面的积极作用,保障人民群众度过一个平安健康快乐祥和的新春佳节,甲公司和乙公司在某购物平台上同时开启了打折促销、直播带年货活动,甲公司和乙公司所售商品类似,存在竞争关系.(12分)
(1)现对某时间段100名观看直播后选择这两个公司直播间购物的情况进行调查,得到如下数据:
请将表格补充完整,并判断是否有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关?
(2)若小李连续两天每天选择在甲、乙其中一个直播间进行购物,第一天等可能地从甲、乙两家中选一家直播间购物,如果第一天去甲直播间购物,那么第二天去甲直播间购物的概率为0.7;如果第一天去乙直播间购物,那么第二天去甲直播间购物的概率为0.8,求小李第二天去乙直播间购物的概率.
参考公式:,其中n=a+b+c+d.χ2临界值表:
21.记Sn是各项均不为零的数列{an}的前n项和,已知.(12分)
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=SnSn+1,求数列{bn}的前n项和Tn.
22.水污染现状与工业废水排放密切相关.某工厂深入贯彻科学发展观,努力提高污水收集处理水平,其污水处理程序如下:原始污水必先经过A系统处理,处理后的污水(A级水)达到环保标准(简称达标)的概率为p(0<p<1).经化验检测,若确认达标便可直接排放;若不达标则必须进入B系统处理后直接排放.某厂现有4个标准水量的A级水池,分别取样、检测.多个污水样本检测时,既可以逐个化验,又可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有样本不达标,混合样本的化验结果必不达标.若混合样本不达标,则该组中各个样本必须再逐个化验;若混合样本达标,则原水池的污水可直接排放.现有以下四种方案:(12分)
方案一:逐个化验;
方案二:平均分成两组化验;
方案三:三个样本混在一起化验,剩下的一个单独化验;
方案四:四个样本混在一起化验.
若化验次数的期望值越小,则方案越“优”
(1)若,现有4个A级水样本需要化验,请问:方案一、二、四中哪个最“优”?
(2)若“方案三”比“方案四”更“优”,求p的取值范围.
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1-5:CBBAC 6-8:CBD
二.多选题(共4小题)
9:AC.
10:BD.
11:AC.
12:BD.
三.填空题(共4小题)
13:0.12.
14.:60.
15:.
16.:2560.
四.解答题(共6小题)
17.
【解答】解:(1)甲校竞赛成绩优秀的频率为,乙校竞赛成绩优秀的频率为.
(2)∵<3.841,
∴没有95%的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异.
18.
【解答】解:(1)依题意,令x=1,则二项式各项系数之和为,
又展开式中各项的二项式系数之和为2n,
∴4n﹣2n=992,即(2n)2﹣2n﹣992=0,解得2n=﹣31(舍去)或2n=32,
∴n=5,
∴的二项展开式通项,
由于n=5为奇数,
∴展开式中二项式系数最大的项为中间的两项,即,;
(2)由(1)知,,则展开式中有理项即为为有理数,
∴当r=0时,,当r=3时,,
∴展开式中有理项为90x6,243x10.
19.【解答】解:(1)方法一:记甲得分为X,则X的所有可能取值是0,1,2.
因为,,
所以.
方法二:因为X服从二项分布,
所以.
(2)因为X+X﹣2=6,所以X=4,即比赛六球后甲赢四球,乙赢两球.
比赛六球时发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲,
记“比赛六球后甲得分比乙得分多(2分)”为事件A,
“乙赢两球均在乙发球时”为事件A1,“乙赢两球均在甲发球时”为事件A2,
“乙赢两球一球在甲发球时,一球在乙发球时”为事件A3.
因为,,,
所以.
20.
【解答】解:(1)2×2列联表如下:
所以,χ2=≈16.667>10.828,
所以,有99.9%的把握认为选择哪家直播间购物与用户的年龄有关.
(2)解:记事件A:小李第一天去甲直播间,事件B:小李第二天去甲直播间,
则P(A)=P()=,P(B|A)=,P(B|)=,
由全概率公式可得P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=.
因此,小李第二天去乙直播间购物的概率为.
21.【解答】解:(1)因为,所以,
即,
整理得,
故数列是以为首项,3为公差的等差数列,
则,于是有,
当n≥2时,,且n=1时,,不符合该式,
故;
(2),
所以.
22.【解答】解:( 1)方案一:逐个检测,检测次数为4.
方案二:该混合样本达标的概率是,所以根据对立事件原理,不达标的概率为.
则每组两个样本检测时,若达标则检测次数为1,概率为;若不达标则检测次数为3,概率为.故方案二的检测次数记为ξ2,ξ2的可能取值为2,4,6.
其分布列如下,
可求得方案二的期望为
方案四:混在一起检测,记检测次数为ξ4,ξ4可取1,5.
其分布列如下,
可求得方案四的期望为.
比较可得E(ξ4)<E(ξ2)<4,故选择方案四最“优”.
(2)方案三:设化验次数为η3,η3可取2,5.
;
方案四:设化验次数为η4,η4可取1,5
;
由题意得.
故当p∈(0,)时,方案三比方案四更“优”.
优秀人数
非优秀人数
总计
甲班
60
40
100
乙班
70
30
100
总计
130
70
200
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段19﹣24岁
40
50
用户年龄段25﹣34岁
30
合计
P(χ2≥k)
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
选择甲公司直播间购物
选择乙公司直播间购物
合计
用户年龄段19﹣24岁
40
10
50
用户年龄段25﹣34岁
20
30
50
合计
60
40
100
ξ2
2
4
6
p
ξ4
1
5
p
η3
2
5
p
p3
1﹣p3
η4
1
5
p
p4
1﹣p4
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