河北省衡水市联考2024届高三下学期4月质量检测数学试题

这是一份河北省衡水市联考2024届高三下学期4月质量检测数学试题，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷的注释
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)
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1. 已知集合 ， 则（ ）
A . B . C . D .
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2. 若 ， 则（ ）
A . 2 B . 1 C . D . 5
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3. 某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为 ， 则估计获得的考生人数约为（ ）
A . 100 B . 75 C . 50 D . 25
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4. 已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（ ）
A . 2 B . C . D . 4
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5. 设等差数列的前项和为 ， 若 ， 则（ ）
A . 156 B . 252 C . 192 D . 200
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6. 在中，设内角的对边分别为 ， 设甲： ， 设乙：是直角三角形，则（ ）
A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙为充分条件也不是乙的必要条件
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7. 已知函数 ， 若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（ ）
A . B . C . 1 D .
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8. 已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若 ， 则（ ）
A . 1 B . C . 2 D . 2023
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)
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9. 已知直线 ， 圆 ， 则下列说法正确的是（ ）
A . 直线恒过定点 B . 直线与圆相交 C . 当直线平分圆时， D . 当点到直线距离最大值时，
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10. 将正四棱锥和正四棱锥的底面重合组成八面体 ， 则（ ）
A . 平面 B . C . 的体积为 D . 二面角的余弦值为
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11. 已知抛物线焦点为 ， 过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点， ， 则（ ）
A . B . 直线过定点 C . 的最小值为 D . 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共15分)
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12. 在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点 ， 则．
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13. 在数轴上，一个质点从坐标原点出发向轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有种．
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14. 三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面 ， 若 ， 则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.(共5题；共77分)
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15. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ， ．
（1） 证明：；
（2） 若 ， 设为的中点，求与平面所成角的正弦值．
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16. 甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为 ， 两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．
（1） 求甲通过初试的概率；
（2） 求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量为甲的得分成绩，求的数学期望．
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17. 已知函数 ．
（1） 当时，求的单调区间；
（2） 当时， ， 求的取值范围．
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18. 记为数列的前项和， ．
（1） 求和的通项公式；
（2） 设数列的前项和为 ， 证明： ．
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19. 已知椭圆的离心率为 ， 设的右焦点为 ， 左顶点为 ， 过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为 ．
（1） 求椭圆的标准方程；
（2） 连接和分别交圆于两点．
①当直线斜率存在时，设直线的斜率为 ， 直线的斜率为 ， 求；
②设的面积为的面积为 ， 求的最大值．
难度系数：0.65
第Ⅰ卷 客观题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 10 11
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12 13 14
第Ⅱ卷 主观题
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
15 16 17 18 19