2024驻马店环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试数学含解析

这是一份2024驻马店环际大联考“逐梦计划”高二下学期期中考试数学含解析，共19页。试卷主要包含了81， 已知x与y之间一组数据， 下列求导正确的是等内容，欢迎下载使用。

高二数学试题
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A. 模型Ⅰ：相关系数r为B. 模型Ⅱ：相关系数r为0.81
C. 模型Ⅲ：相关系数r为D. 模型Ⅳ：相关系数r为0.53
2 已知数列满足，，若，则n等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
3. 设函数，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
4. 已知x与y之间一组数据：
则y与x的线性回归方程必过（ ）
A. B. C. D.
5. 我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（ ）
A. 145B. 165C. 185D. 195
6. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”如表示二进制数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制的形式是（ ）
A. B. C. D.
7. 过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
8. 某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C D.
10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，，则
11. 已知某物体的运动方程为（），则（ ）
A. 该物体在时的平均速度是32B. 该物体在时的瞬时速度是64
C. 该物体位移的最大值为34D. 该物体在时的瞬时速度是80
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程为
13. 在等比数列中，，，则______.
14. 由下列数阵可以看出，第n行最右边的数是，那么第20行所有数的和是____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
（1）计算a，b，c的值；
（2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
附：，.
16. 已知曲线，求：
（1）的导数；
（2）曲线在点处的切线方程.
17. 设数列的前n项和为，已知，（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列前n项和.
18. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：
作出这组数的散点图如下
(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).
附：，
参考数据：
19. 已知数列中，，，（）.
（1）求证：数列是等比数列.
（2）求数列的通项.
（3）若数列的前n项和为，试比较与的大小.
x
0
1
2
3
y
2
3
5
6
物理方向
历史方向
总计
男生
13
a
23
女生
7
20
27
总计
b
c
50
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y/cm
0
4
7
9
11
12
13
140
28
56
283
环际大联考
“逐梦计划”2023～2024学年度第二学期期中考试
高二数学试题
（试卷总分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 对两个变量y与x进行回归分析，分别选择不同的模型，它们的相关系数r如下，其中拟合效果最好的模型是（ ）
A. 模型Ⅰ：相关系数r为B. 模型Ⅱ：相关系数r为0.81
C. 模型Ⅲ：相关系数r为D. 模型Ⅳ：相关系数r为0.53
【答案】A
【解析】
【分析】根据相关系数与拟合效果的关系即可求解.
【详解】相关系数越大，拟合效果越好.
故选：A.
2. 已知数列满足，，若，则n等于（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的定义求得通项公式，即可求得的值.
【详解】由可得，，数列为等差数列，且公差为5.
所以，
令，所以.
故选：B.
3. 设函数，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的定义，结合基本初等函数的导数，求解即可.
详解】，故可得，
又 .
故选：B.
4. 已知x与y之间的一组数据：
则y与x的线性回归方程必过（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用线性回归方程必过样本中心点即可判断.
【详解】因为，，
所以与线性回归方程必过.
故选：D
5. 我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是（ ）
A. 145B. 165C. 185D. 195
【答案】D
【解析】
【分析】构造等差数列，结合等差数列前项和以及通项公式基本量的计算，根据已知条件，求解即可.
【详解】设表示给第个人给的钱，由题可知，数列为首项，公差为的等差数列；
又，故，
即，解得.
故选：D.
6. 计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢二进一”如表示二进制数，将它转换成十进制的形式是，那么将二进制数转换成十进制的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合题意，运用等比数列求和公式计算即可得.
【详解】.
故选：C.
7. 过点且与曲线在点处的切线平行的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数几何意义，求得所求直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求得结果.
【详解】因为，故，则，即所求直线斜率为，
则过点，斜率为的直线方程为：，即.
故选：C.
8. 某医院购买一台大型医疗机器价格为万元，实行分期付款，每期付款万元，每期为一个月，共付12次，如果月利率为，每月复利一次，则，满足（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可得，结合放缩即可得解.
【详解】，
由，故，
，
由，
故，即有.
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列求导正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据导数运算法则，对每个选项进行逐一求解，即可判断和选择.
【详解】对A：，故A错误；
对B：，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：，故D错误.
故选：BC.
10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则是等差数列
B. 若，则是等比数列
C. 若是等差数列，则
D. 若是等比数列，且，，则
【答案】BC
【解析】
【分析】根据等差数列，等比数列的定义，以及其性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：，当时，，两式作差可得：当时，；
又，不满足上式，故，故数列不为等差数列，A错误；
对B：，当时，，两式作差可得：当时，；
又满足，故，且，故数列为等比数列，B正确；
对C：是等差数列，故，故C正确；
对D：是等比数列，且，，不妨取，故，故D错误.
故选：BC.
11. 已知某物体的运动方程为（），则（ ）
A. 该物体在时的平均速度是32B. 该物体在时的瞬时速度是64
C. 该物体位移最大值为34D. 该物体在时的瞬时速度是80
【答案】ABD
【解析】
【分析】由平均速度的定义代数计算可得A正确；由导数的意义计算可得BD正确；求导后判断单调性，再求最值可得C错误.
【详解】A：该物体在时的平均速度是，故A正确；
B：，所以该物体在时的瞬时速度是，故B正确；
C：因为，，
所以恒成立，故在上为增函数，
所以，故C错误；
D：，所以该物体在时的瞬时速度是，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线的方程为
【答案】
【解析】
【详解】设回归直线方程为=1.23x+a．
所以，
所以回归直线方程为
13. 在等比数列中，，，则______.
【答案】16
【解析】
【分析】利用等比数列中性质成等比数列得解
【详解】，
成等比数列
故答案为：16
【点睛】本题考查等比数列和的性质．
当或且为奇数时是等比数列，其公比为
14. 由下列数阵可以看出，第n行最右边的数是，那么第20行所有数的和是____________.
【答案】14859
【解析】
【分析】根据数阵排列与等差数列求和即可求解.
【详解】因为第n行最右边的数是，
所以第19行的最后一个数为，第20行的第一个数为362，
又因为第20行的最后一个数为，
由数阵的排列可得，第20行共有个数，
所以第20行所有数字之和为.
故答案为：14859
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.
15. 随着新高考改革，高中阶段学生选修分为物理方向和历史方向，为了判断学生选修物理方向和历史方向是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下列联表：
（1）计算a，b，c的值；
（2）问是否有95%的把握认为选修物理方向和历史方向与性别有关？
附：，.
【答案】（1），，
（2）有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关
【解析】
【分析】（1）借助列联表数据计算即可得；
（2）计算卡方，与3.841比较大小即可得.
【小问1详解】
由，得，
由，得，
由，得；
【小问2详解】
，
因为，
故有95%的把握认为选修物理方向和历史方向是否与性别有关．
16 已知曲线，求：
（1）的导数；
（2）曲线在点处的切线方程.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用导数的定义，结合解析式，求解即可；
（2）根据（1）中所求导数，结合导数的几何意义以及直线的点斜式方程，直接求解即可.
【小问1详解】
；
故；
则．
故．
【小问2详解】
切线的斜率为函数在处的导数，又，
所以曲线在点的切线方程为，即.
17. 设数列的前n项和为，已知，（）.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据递推公式，判定为等比数列，结合等比数列的通项公式，直接写出即可；
（2）根据（1）中所求，利用错位相减法，结合等比数列的前项和公式，求解即可.
【小问1详解】
因为（）
所以，当时，（），
两式相减得，，即，当时，
又当时，，而，则，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以.
【小问2详解】
由（1）得，则.
则，
，
两式相减得，
即，
所以，.
18. 习近平总书记在十九大报告中指出，必须树立和践行“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念，某城市选用某种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第x天的高度为ycm，测得一些数据图如下表所示：
作出这组数的散点图如下
(1)请根据散点图判断，与中哪一个更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型?(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测第144天这株幼苗的高度(结果保留1位小数).
附：，
参考数据：
【答案】(1) 更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；(2) ；预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.
【解析】
【分析】（1）根据散点图，可直接判断出结果；
（2）先令，根据题中数据，得到与的数据对，根据新的数据对，求出，，再由最小二乘法求出，即可得出回归方程，从而可求出预测值.
【详解】解：(1)根据散点图，更适宜作为幼苗高度y关于时间x的回归方程类型；
(2)令，则构造新的成对数据，如下表所示：
容易计算，，
通过上表计算可得：
因此
∵回归直线过点(，)，
∴，
故y关于的回归直线方程为
从而可得：y关于x的回归方程为
令x=144，则，
所以预测第144天幼苗的高度大约为24.9cm.
【点睛】本题主要考查非线性回归方程，先将问题转化为线性回归方程，根据最小二乘法求出参数的估计值，即可得出结果，属于常考题型.
19. 已知数列中，，，（）.
（1）求证：数列是等比数列.
（2）求数列的通项.
（3）若数列的前n项和为，试比较与的大小.
【答案】（1）证明见解析.
（2）（）.
（3）.
【解析】
【小问1详解】
∵，（），
∴，
由，
令，此时，
则当时，
,
又因为，
故数列是首项为2，公比为2的等比数列.
【小问2详解】
由（1）得，
即则,
，
，
……
.
累加法得：.
则.
故数列的通项公式为（）.
【小问3详解】
因为.
所以.
.
当时，.
x
0
1
2
3
y
2
3
5
6
物理方向
历史方向
总计
男生
13
a
23
女生
7
20
27
总计
b
c
50
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
第x天
1
4
9
16
25
36
49
高度y/cm
0
4
7
9
11
12
13
140
28
56
283
x
1
4
9
16
25
36
49
1
2
3
4
5
6
7
y
0
4
7
9
11
12
13