专题4 函数与方程（零点问题、嵌套函数）(模拟+真题)-【压轴】2024高考数学二轮复习讲义

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题4 函数与方程
1．（2023·海南·校联考模拟预测）函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用零点存在定理计算出满足条件的区间即可．
【详解】易知函数在上单调递增，
又，，
由函数的零点存在定理可知，函数的零点所在的一个区间是．
故选：C
2．（2023·河北·石家庄一中校联考模拟预测）已知函数有一个零点，则属于下列哪个区间（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用零点存在性定理计算即可．
【详解】由题知在上单调递增，
∵，，，
又，∴，即在上存在使得.
故选：B.
3．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）函数的图象不可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分，和三种情况讨论，结合函数的单调性及函数的零点即可得出答案．
【详解】①当时，，此时A选项符合；
②当时，，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在在上是减函数，
如图，作出函数在上的图象，
由图可知，函数的图象在上有一个交点，
即函数在在上有一个零点，
当时，，则，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故B选项符合；
③当时，，
当时，，
因为函数在上都是减函数，
所以函数在上是减函数，
如图，作出函数在上的图象，
由图可知，函数的图象在上有一个交点，
即函数在在上有一个零点，
当时，，则，
由，得，由，得，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，，故C选项符合，D选项不可能．
故选：D.
4．（2023·湖南永州·统考二模）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．的图象是中心对称图形
B．在区间上单调递增
C．若方程有三个解，，则
D．若方程有四个解，则
【答案】D
【分析】利用导数判断B；求出函数的对称轴，根据导数求出函数单调性，得到的图象，数形结合可判断A；并可求出，的值，进而判断C；借助图象可求出的取值范围，进而判断D.
【详解】对于B，当时，，
，
因为，所以，，
所以，所以，所以在区间上单调递减，故B错误；
当时，，
，
因为，，所以，
所以，所以在区间上单调递增；
因为，所以，
所以的对称轴为，
又，
，
故图象如下：
对于A，由图象可知，不是中心对称图形，故A错误；
对于C，若方程有三个解，则，故
又，解得，所以，
所以，故C错误；
对于D，由图象可知若方程有四个解，则，解得，
故D正确．
故选：D
5．（2023·广东广州·广东广雅中学校考二模）函数在区间上所有零点的和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】根据在的零点，转化为的图象和函数的图象在交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线对称，且在上有8个交点，即可求出．
【详解】因为，
令，则，
则函数的零点就是函数的图象和函数的图象在交点的横坐标，
可得和的函数图象都关于直线对称，
则交点也关于直线对称，画出两个函数的图象，如图所示．
观察图象可知，函数的图象和函数的图象在上有8个交点，
即有8个零点，且关于直线对称，
故所有零点的和为.
故选：D
6．（2023·天津·二模）已知函数若有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】依题意可得有两个根，根据的解析式，分别求出的表达式，再根据导数求的取值范围．
【详解】由题意可知，当时，，所以；
当时，，所以，
综上，对，有，
由有两个零点，即方程有两个根，
即方程有两个根，不妨设,
易知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，,当时，
令，因为，所以，
所以，则，
令，
，令，解得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
当时.
所以函数的值域为，
即的取值范围是.
故选：A.
7．（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据题得到时，产生一个根，时，，产生两个根，利用韦达定理及对勾函数的性质可得取值范围．
【详解】要函数有三个不同的零点，
则当时，，必有一个根，且为，同时，
当时，，必有两不等非负根，整理得，
所以，解得，
所以，
根据对勾函数的图像和性质可得函数在上单调递减，
故，
即的取值范围是.
故选：D.
8．（2024·全国·模拟预测）已知函数，．若有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】当时，对求导，得到的单调性和最值再结合二次函数的性质画出的图象，令，将函数的零点个数问题转化为方程根的问题，结合图象求解即可．
【详解】由题意可知当时，，
令可得：；令可得：；，
故在上单调递减，在上单调递增，
，且当时，，
当趋近于负无穷时，趋近于0；
当时，图象的对称轴为直线，．
故作出的大致图象如图所示．
令，数形结合可知要使有5个零点，
需使方程有2个不同的实数根，且，或．
①若，，则，不成立，舍去．
②若，，则，解得．
当时，方程为，解得或，不符合方程2个根的取值范围，舍去．
故实数的取值范围为．
故选：A．
【点睛】方法点睛：对于求解函数零点个数问题，由以下的方法：（1）函数单调性与零点存在性定理得到函数零点个数；（2）参变分离后构造函数进行求解零点个数；（3）转化为两函数交点个数问题．
9．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函数的单调性，根据零点存在性定理可得．
【详解】若函数在区间上存在零点，
由函数在的图象连续不断，且为增函数，
则根据零点存在定理可知，只需满足，
即，
解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D.
10．（2023·陕西·校联考模拟预测）用表示中较小的数，，则的解的个数为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】画出的图象，先由求得，然后由判断出正确答案．
【详解】由解得，设，
画出的图象如下图所示，
由解得；
由解得或；
令，则或或或；
由图象可知，有个解，分别有个解，
没有解，且上述个解互不相同，
所以的解的个数为个．
故选：D
11．（2024·全国·模拟预测）已知函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先通过分离参数得方程有3个不相等的实数根，设，即直线和函数的图象有三个交点，通过求导，利用导数研究函数单调性，画出函数图象，利用数形结合即可求解．
【详解】由题意函数有3个零点，所以方程有3个不相等的实数根，
设，则直线和函数的图象有三个交点，
，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减，
而当时，，当时，，，作出函数的大致图象，如图，
数形结合可知.
故选：B．
【点睛】关键点睛：求解本题的关键有三点：（1）会分离参数，将原问题转化为函数图象的交点问题；（2）会判断导函数的符号，得到函数的单调性；（3）会结合极限思想，作出函数的大致图象．
12．（2024·全国·模拟预测）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则实数k的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】第一步：将不等式进行合理变形，关于x的不等式恰有一个整数解．
第二步：构造函数，研究新函数的性质，作出函数的图象，根据图象求解；
【详解】设，，则，
当时，，
当时，，
在区间上单调递增，在区间上单调递减．
当时，，当x趋近于时，趋近于0，，
直线过点，在同一坐标系中作出直线和函数的图象如图所示．
由图象知，要使关于x的不等式恰有一个整数解，则
，解得，
故选：D．
13．（2023·江西鹰潭·统考一模）设函数在区间恰有3个极值点，2个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意，利用余弦函数的图象和性质，求得的取值范围．
【详解】函数在区间恰有3极值点，2个零点，
在恰有3个零点，
又函数在区间恰有2零点，
由于，则，
故问题转化为在上有3个零点，在上有2个零点，
结合正余弦函数图象可得：，故.
故选：C.
.
.
14．（2023·福建宁德·福建省宁德第一中学校考二模）函数，关于x的方程有2个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由已知可得为方程的一个根，则当时，直线与函数仅有一个交点，作出的图象，结合图象求解即可．
【详解】当时，，即关于x的方程始终有一个根为，
当时，由，得，
由题意可知当时，直线与函数仅有一个交点，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
所以当时，取到最大值，
当时，，
作出函数的图象如下图所示，

由图象可知，要使直线与函数仅有一个交点，则
，或，或
故选：A
【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数与导数的综合问题，解题的关键是根据函数解析式画出函数图象，结合图象可求得结果，考查数形结合的思想，属于较难题．
15．（2023·四川成都·校联考二模）已知函数,若关于的方程有且仅有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】令，方程可化为或有四个不同实数根，借助导数研究的单调性与最值，数形结合即可判断的取值范围．
【详解】设，则，
又，
所以，则或．
①当时，，求导得．
当时，，即函数在上单调递增；
当时，，即函数在上单调递减．
因为，所以．
又，当且时，；
当时，．
②当时，，，
根据以上信息，作出函数的大致图象如图所示．

观察图像可得：函数的图象与函数的图象仅有1个交点，
所以函数的图象与函数的图象有3个交点，
则，所以实数的取值范围为．
故选：A
16．（2024·全国·模拟预测）已知函数有且仅有3个零点，则的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】由题可得函数为奇函数，在上有且只有1个零点，然后利用零点存在定理可得不合题意，当时利用数形结合可得适合题意，进而即得答案．
【详解】因为
所以，
故为奇函数，且为的零点，所以在上有且只有1个零点，
又，，，
故零点均位于区间内，
当时，，，故存在使得，
又，故存在使得，
所以在上至少存在两个零点，故不符合题意；
当时，由，可得，
作出函数与函数的大致图象，

由图形可知函数与函数的有3个交点，即函数有且仅有3个零点，适合题意，
所以的最大值为4.
故选：C．
17．（2023·上海嘉定·校考三模）已知函数，若满足（、、互不相等），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函数的图象，根据，利用数形结合法求解．
【详解】解：作出函数的图象，如图所示：

不妨设，
因为，
由函数的性质得，，即，
所以，
故选：D
18．（2023·北京·统考模拟预测）已知函数，若方程的实根在区间上，则k的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据x的取值范围不同，分别解出根即可得出答案．
【详解】当时，，当时，解得；
当时，，其中，，
当时，解得，综上k的最大值是1.
故选：C.
19．（2023·山东·校联考模拟预测）从古至今，中国人一直追求着对称美学．世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构——故宫：金黄的宫殿，朱红的城墙，汉白玉的阶，琉璃瓦的顶……沿着一条子午线对称分布，壮美有序，和谐庄严，映祇着蓝天白云，宛如东方仙境．再往远眺，一线贯穿的对称风格，撑起了整座北京城．某建筑物的外形轮廓部分可用函数的图像来刻画，满足关于的方程恰有三个不同的实数根，且（其中），则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先确定函数的对称性，然后根据函数的对称性确定根，从而列出关于的方程组，解方程组即可求解．
【详解】因为，
所以关于对称，所以的根应成对出现，
又因为的方程恰有三个不同的实数根且，
所以该方程的一个根是，得，
所以，
由得，
当，即时，，①
则，②
由①②可求出，所以；
当，即时，，③
，④
由③④得方程组无实数解；
综上，方程组的解为，
所以．
故选：C.
20．（2023·全国·模拟预测）函数的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数解析式判断函数的定义域和函数的奇偶性，再求函数的零点，以及函数值的正负，运用排除法得解．
【详解】因为函数的定义域为，
所以函数的定义域关于原点对称，
又，
所以函数为偶函数，
故函数的图象关于轴对称，B，C错误，排除B，C，
令可得，或，
所以或，
所以函数的非负零点从小到大依次为，
当时，，所以，D错误，排除D.
故选：A.
21．（2023·河北·统考模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将问题转化为恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定的取值．
【详解】恰有两个零点,即恰有两个实数根，由于，所以恰有两个实数根等价于恰有两个实数根，
令，则，
当时，，故当此时单调递增，当，此时单调递减，故当时，取极小值也是最小值，且当时，，
当时，，且单调递增，
在直角坐标系中画出的大致图象如图：
要使有两个交点，则，
故选：D
22．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数，，若方程恰有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】方程恰有三个不相等的实数根可转化为与的图象的交点有3个，利用导数求出切线斜率，根据数形结合求解．
【详解】作出与的图象，如图，
当时，设与相切于点，
则，解得，所以，
由图象可知，当时，与有2个交点，与有1个交点，即与有3个交点．；
当时，设与相切于点，
由可知，，
解得或（舍去），此时，而，
由图象知，当时，与有3个交点．
综上，或时图象有3个交点，即方程恰有三个不相等的实数根．
故选：A
23．（2024·陕西西安·统考一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】先求函数的值域，单调性，并画出图象，再设，结合复合函数的零点个数求实数的取值范围即可．
【详解】易知函数在R上增函数，函数在上减函数，
所以，当时，，当时，，
于是函数的值域为，
又函数的在上单调递增，在上单调递减，
函数图象如图所示：
设，由可知，，则.
因为有两个零点，所以，即，
于是，则方程，即有两个零点，
所以，由的图象可知，使方程有两个零点，
则满足，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
24．（2023·上海嘉定·统考一模）关于x的方程有三个不同的实数解，则实数m的值为 ．
【答案】
【分析】方程有三个不同的实数解等价于的图象恰好有三个公共点，结合图象可得m的值．
【详解】在同一坐标系中作出的图象，
方程有三个不同的实数解等价于与的图象恰好有三个公共点，
需要满足与的图象在相切，
当时，，
令即，
由得，
当时，方程有两个相等的解，满足题意，
当时，方程有两个相等的解，不满足题意，
故.
故答案为：
25．（2018·安徽亳州·校联考一模）已知函数是定义在的偶函数，当时，，若函数有且仅有个不同的零点，则实数取值范围 .
【答案】
【分析】由，可得或，作出函数的图象，数形结合可知，直线与函数的图象有个交点，则直线与函数的图象有个交点，数形结合可得出实数的取值范围．
【详解】因为，
由，可得或，
由函数是定义在上的偶函数，当时，，
当时，，如下图所示：

因为，由图可知，直线与函数的图象有个交点，
所以，直线与函数的图象有个交点，由图可得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
26．（2023·四川成都·校联考模拟预测）设，若方程恰有四个不相等的实根，则这四个根之和为 ；若方程有四个不相等的实根，且，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】若方程恰有三个不相等的实数根，由图象可知，结合对称性，求得四个根之和为；若方程由四个不相等的实数根，得到，结合 的图象，化简得到表示成的函数，再借助于换元法，结合二次函数的性质，即可求解．
【详解】由函数，画出函数的图象，如图所示，
若方程恰有四个不相等的实数根，
由图象可知，在上的图象与上的图象关于对称，
若方程由四个不相等的实数根，且，
可得，且，所以，
所以且，
所以，
令，则原式可化为，
其对称轴为，开口向上，所以在上单调递增，
所以，所以的取值范围是.
故答案为：；.

【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法：
1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围；
2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决；
3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解．
27．（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模）已知函数有三个零点，且，则 .
【答案】1
【分析】令，由的图象可得最多只有两个解，所以由题意可知有两解，且，由图象可知有两解，有一解，代入即可求出结果．
【详解】由，得，
令，则，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以的图象如图所示，

由图可知最多只有两个解，
若要有三解，则有两解，
且，
因为函数有三个零点，且，
所以由图象可知有两解，有一解，
所以
，
故答案为：1
【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，解题的关键是令，然后将问题转化为有两解，且有两解，有一解，然后代入化简即可，考查数形结合的思想，属于较难题．
28．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）设，函数与函数在区间内恰有3个零点，则a的取值范围是 ．
【答案】，．
【分析】设，结合题意可知函数在区间，内恰有3个零点，分析时不符合题意，时，结合二次函数的正负及的正负即可求解．
【详解】由题意，函数与函数在区间，内恰有3个零点，
设，
即函数在区间，内恰有3个零点，
当时，函数在区间，内最多有2个零点，不符合题意；
当时，函数的对称轴为，
，
所以，函数在，上单调递减，在上单调递增，且，
当，即时，函数在区间，上无零点，
所以函数在，上有三个零点，不符合题意；
当，即时，函数在区间，上只有一个零点，
则当，时，，
令，解得或，符合题意；
当，即时，函数在区间，上有1个零点，
则函数在，上有2个零点，
则，即，所以；
当，即时，函数在区间，上有2个零点，
则函数在，上只有1个零点，
则或或，即无解．
综上所述，的取值范围是，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题判断函数零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题．
29．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数有三个不同的零点，其中有两个正零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】依题意可得，显然，两边取对数可得，令，，首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，即可得到函数图象，再数形结合即可得解．
【详解】由，得，因为不是的零点，
等式两边同时取对数得，即，
令，，则，所以为奇函数，
当时，，所以
所以当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时函数取得极大值，即，
又因为，当时， ，当时，，
所以可得的图象如下所示，

又因为有两个正实根，所以.
故答案为：
30．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知函数，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】利用导数求出函数的单调性与极值，画出函数图象，数形结合即可得解．
【详解】当时，，，
所以当时，当或时，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且，；
当时，，，所以当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，令，则，又.
作出函数的函数图象如下：

若有且只有三个零点，即与只有三个交点，
由图可知需满足.
故答案为：
31．（2021·天津·统考高考真题）设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出．
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点．
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况．
32．（2006·湖北·高考真题）关于的方程，给出下列四个命题：
①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根．
其中假命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】令，则，作出这两个函数的图象，利用两个函数的图象可得结果．
【详解】令，则，
作出这两个函数的图象，如图：

由图可知，
当时，只有一个大于的根，则方程恰有两个实根；故①为真命题；
当时，由得或，
当时，，当时，或，此时原方程恰有5个实根，故③为真命题；
当时，有两个实根，两个实根在内，此时原方程有8个实根，故④为真命题；
当时，由得，则方程恰有4个实根；此时原方程恰有4个实根，故②为真命题．
故选：A
【点睛】关键点点睛：构造两个函数，利用两个函数的图象求解是本题的解题关键．
33．（2020·天津·统考高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案．
【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根
即可，
令，即与的图象有个不同交点．
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得（负值舍去），所以.
综上，的取值范围为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题．
34．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案．
【详解】设，则为增函数，因为
所以，
所以，所以.
，
当时，，此时，有
当时，，此时，有，所以C、D错误．
故选：B.
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一道中档题．
35．（2019·全国·高考真题）函数在的零点个数为
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【解析】令，得或，再根据x的取值范围可求得零点．
【详解】由，
得或，，
．
在的零点个数是3，
故选B．
【点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．采取特殊值法，利用数形结合和方程思想解题．
36．（2019·浙江·高考真题）已知，函数，若函数恰有三个零点，则
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】当时，最多一个零点；当时，，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．
【详解】当时，，得；最多一个零点；
当时，，
，
当，即时，，在，上递增，最多一个零点．不合题意；
当，即时，令得，，函数递增，令得，，函数递减；函数最多有2个零点；
根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，
如图：
且，
解得，，．
故选．
【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展．由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底．
37．（2023·天津·统考高考真题）若函数有且仅有两个零点，则的取值范围为 ．
【答案】
【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围．
【详解】（1）当时，，
即，
若时，，此时成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即且；
若方程有一根为，则，解得：且；
若时，，此时成立．
（2）当时，，
即，
若时，，显然不成立；
若时，或，
若方程有一根为，则，即；
若方程有一根为，则，解得：；
若时，，显然不成立；
综上，
当时，零点为，；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，只有一个零点；
当时，零点为，；
当时，零点为．
所以，当函数有两个零点时，且．
故答案为：．
【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出．
38．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解．
【详解】因为，所以，
令，则有3个根，
令，则有3个根，其中，
结合余弦函数的图像性质可得，故，
故答案为：.
39．（2022·天津·统考高考真题）设，对任意实数x，记．若至少有3个零点，则实数的取值范围为 .
【答案】
【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围．
【详解】设，，由可得.
要使得函数至少有个零点，则函数至少有一个零点，则，
解得或.
①当时，，作出函数、的图象如下图所示：
此时函数只有两个零点，不合乎题意；
②当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
所以，，解得；
③当时，，作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，函数的零点个数为，合乎题意；
④当时，设函数的两个零点分别为、，
要使得函数至少有个零点，则，
可得，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解．
39．（2021·北京·统考高考真题）已知函数，给出下列四个结论：
①若，恰 有2个零点；
②存在负数，使得恰有1个零点；
③存在负数，使得恰有3个零点；
④存在正数，使得恰有3个零点．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误．
【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；
对于②，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，存在，使得只有一个零点，②正确；
对于③，当直线过点时，，解得，
所以，当时，直线与曲线有两个交点，
若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，
直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，
因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；
对于④，考查直线与曲线相切于点，
对函数求导得，由题意可得，解得，
所以，当时，函数有三个零点，④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：
（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；
（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；
（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．
40．（2019·江苏·高考真题）设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数．当时，，，其中．若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是 .
【答案】.
【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可．
【详解】当时，即
又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可．
当时，函数与的图象有个交点；
当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点．当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.
综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.
【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大．不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围．
42．（2016·天津·高考真题）已知函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是 .
【答案】
【详解】试题分析：由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化为求函数值域的问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
41．（2016·江苏·高考真题）定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=csx的图象的交点个数是 .
【答案】7
【详解】由，因为，所以共7个
考点：三角函数图像