专题5 形形色色的切线问题 (讲义)-【压轴】2024高考数学二轮复习函数与导数压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题5 形形色色的切线问题
函数与导数一直是高考中的热点与难点, 用导数研究曲线的切线是一个主要命题点,内容主要涉及求曲线的斜率与方程、曲线的条数、公切线问题,由确定切线满足条件的切线是否存在或由切线满足条件求参数或参数范围等．
知识点(一) 求曲线在某点处的切线
求以曲线上的点(x0,f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0),并化简．
知识点(二) 求曲线过某点的切线
求曲线过某点的切线,一般是设出切点(x0,y0),解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝f（x0），,\f(y1－y0,x1－x0)＝f′（x0），))得切点(x0,y0),进而确定切线方程．
知识点(三) 求曲线的切线条数
求曲线切线的条数一般是设出切点,由已知条件整理出关于t的方程,把切线条数问题转化为关于t的方程的实根个数问题．
知识点(四) 曲线的公切线
研究曲线的公切线,一般是分别设出两切点,写出两切线方程,然后再使这两个方程表示同一条直线．
知识点(五) 取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围
此类问题或判断符合条件的切线是否存在,或根据切线满足条件求参数的值或范围,求解思路是把切线满足条件转化为关于斜率或切点的方程或函数,再根据方程根的情况或函数性质去求解．
重难点题型突破1 在某点的切线方程（某点是切点）
例1．（2022上·河南·高三专题练习）函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
例2．（2019·广东·校联考一模）函数的图象在点处的切线方程是（ ）
A．B．C．D．
例3．（2023·四川雅安·校考模拟预测）若，则在点处的切线与坐标轴所围成的面积为 ．
例4、（2024·浙江温州·温州中学校考一模）已知.
(1)若过点作曲线的切线，切线的斜率为2，求的值；
(2)当时，讨论函数的零点个数．
【变式训练1】．（2024·广东茂名·统考一模）曲线在点处的切线与直线平行，则（ ）
A．B．C．1D．2
【变式训练2】．（2023·陕西咸阳·校考模拟预测）已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练3】．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）曲线在点处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 .
【变式训练4】．（2023·江西景德镇·统考一模）函数在处的切线方程为 .
【变式训练5】．（2023·陕西西安·统考模拟预测）函数的图象在点处的切线方程为 .
重难点题型突破2 过某点的切线方程（某点不是切点）
例5．（2023·北京东城·统考一模）过坐标原点作曲线的切线，则切线方程为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2024·贵州·校联考模拟预测）过点作曲线的切线，请写出切线的方程 .
例7．（2023·云南·校联考模拟预测）曲线过坐标原点的切线方程为 .
例8．（2023·江苏连云港·校考模拟预测）已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
【变式训练6】．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数，则（ ）
A．函数的单调递增区间为B．函数有两个零点
C．函数为奇函数D．过坐标原点有两条直线与函数的图象相切
【变式训练7】．（2024·四川自贡·统考一模）若曲线的一条切线为，则 .
【变式训练8】．（2023·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线的切线，则切点的横坐标为 .
【变式训练9】．（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
重难点题型突破3 切线的条数
例9．（2023·海南·校联考模拟预测）已知函数，过点作曲线的两条切线，切点分别为和，若，则实数（ ）
A．0B．1C．2D．3
例10．（2023·广西柳州·统考模拟预测）已知直线是曲线的一条切线，则b＝ ．
例11．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）若函数与函数的图象在公共点处有相同的切线，则实数（ ）
A．B．C．D．
例12（2022届重庆市南开中学高三上学期第一次质量检测）已知函数,.
（1）讨论的单调性；
（2）若经过坐标原点恰好可作两条直线与曲线相切,求a的取值范围．
【变式训练10】．（2022·河南·校联考模拟预测）已知过点可以作曲线的两条切线，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练11】．（2023·浙江·校联考模拟预测）若曲线有三条经过点的切线，则的范围为 ．
【变式训练12】．（2023·浙江金华·统考模拟预测）已知函数，过点存在3条直线与曲线相切，则实数的取值范围是 .
【变式训练13】．（2023·广西·统考一模）若曲线与有一条斜率为2的公切线，则 .
重难点题型突破4 公切线
例13．（2023·陕西西安·统考一模）若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
例14．（2023·河北沧州·校考模拟预测）已知直线与曲线和曲线均相切，则实数的解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．无数
例15．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ．
例16．已知函数
（1）若直线既是曲线的切线,也是曲线的切线,求直线l的方程；
（2）证明：．（参考数据：）
【变式训练14】．（2024·全国·模拟预测）已知曲线和（且）存在一条过公共点的切线，则的值为 ．
【变式训练15】．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）若直线与曲线和曲线都相切，则 ．
【变式训练16】．（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线是曲线与的公切线，则 .
【变式训练17】．（2023·江苏扬州·统考模拟预测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则直线的方程为 ．
重难点题型突破5 取得满足条件的切线是否存在或根据切线满足条件求参数的值或范围
例17．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线过曲线上两点A，B分别作曲线的切线交于点P，．记A，B两点的横坐标分别为,则 ．
例18．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若直线与函数的图象都相切，则的最小值为 .
例19．（2017·四川遂宁·统考一模）已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是 .
例20、（2021届北京人大附中高三考前热身）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在,使得曲线在点和点处的切线互相垂直？说明理由．（参考数据：,）
【变式训练18】．（2023·江西上饶·统考二模）若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【变式训练19】．（2023·河南·洛阳市第三中学校联考模拟预测）已知曲线，过曲线上A，B两点分别作曲线的切线交于点P，AP⊥BP．记A，B两点的横坐标分别为，则（ ）
A．B．1C．D．2
【变式训练20】．（2024·全国·校联考模拟预测）已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【变式训练21】．（2023·上海普陀·统考一模）已知函数，若函数在内有且仅有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．