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专题10 存在性与恒成立问题（讲义）-【压轴】2024高考数学二轮复习函数与导数压轴题
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这是一份专题10 存在性与恒成立问题（讲义）-【压轴】2024高考数学二轮复习函数与导数压轴题，文件包含专题10存在性与恒成立问题讲义原卷版docx、专题10存在性与恒成立问题讲义解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题10 存在性与恒成立问题
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：
①分离参数＋函数最值
②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋证明不等式；
④分离函数＋数形结合（）。
通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。
一、分离参数法
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式．然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数．
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行．但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法．例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题．（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要x/k-+w
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离．则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了．
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可．
二、数形结合法
1、函数的不等关系与图象特征：
（1）若，均有的图象始终在的下方
（2）若，均有的图象始终在的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图
（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征
不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数． 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题．此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功．是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法．
三、最值分析法
1、最值法的特点：
（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础：设的定义域为
（1）若，均有（其中为常数），则
（2）若，均有（其中为常数），则
3、技巧与方法：
（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性．如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号．
（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内．
重难点题型一：直接转化求最值+分类讨论
例1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数.
(1)已知函数在处的切线与圆相切，求实数的值．
(2)已知时，恒成立，求实数的取值范围．
例2．（2024·四川成都·二模）已知函数．
(1)当时，判断的零点个数并说明理由；
(2)若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若时，恒有，且，求实数的取值范围．
重难点题型二：分离参数法+函数最值
例3．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例4．（22-23高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)若，求实数a的取值范围．
1．（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）设函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
重难点题型三：缩小范围+证明不等式
例6．（2024·四川·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若有2个零点，证明：.
例7．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函数.
(1)是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
(2)若函数存在极大值，极小值，证明：．（其中是自然对数的底数）
1．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数，且恒成立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明：．
2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数且恒成立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明：．
重难点题型四：分离函数+数形结合
例8．（2024·江苏徐州·一模）（多选题）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
例9．（23-24高三上·山东日照·开学考试）（多选题）已知函数，则（ ）
A．函数只有两个极值点
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对于任意的实数x，都有成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
3．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数．
(1)判断的导函数的零点个数；
(2)若，求a的取值范围．
重要性题型五：必要性探路
例11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当时，若，，求实数m的取值范围．
例12．（2023·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测）已知函数．
(1)若，，求证：有且仅有一个零点；
(2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题10 存在性与恒成立问题
不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：
①分离参数＋函数最值
②直接化为最值＋分类讨论；
③缩小范围＋证明不等式；
④分离函数＋数形结合（）。
通过讨论函数的单调性及最值，直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法，高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不易掌握分类标准。
一、分离参数法
1、参变分离：顾名思义，就是在不等式中含有两个字母时（一个视为变量，另一个视为参数），可利用不等式的等价变形让两个字母分居不等号的两侧，即不等号的每一侧都是只含有一个字母的表达式．然后可利用其中一个变量的范围求出另一变量的范围
2、如何确定变量与参数：一般情况下，那个字母的范围已知，就将其视为变量，构造关于它的函数，另一个字母（一般为所求）视为参数．
3、参变分离法的适用范围：判断恒成立问题是否可以采用参变分离法，可遵循以下两点原则：
（1）已知不等式中两个字母是否便于进行分离，如果仅通过几步简单变换即可达到分离目的，则参变分离法可行．但有些不等式中由于两个字母的关系过于“紧密”，会出现无法分离的情形，此时要考虑其他方法．例如：，等
（2）要看参变分离后，已知变量的函数解析式是否便于求出最值（或临界值），若解析式过于复杂而无法求出最值（或临界值），则也无法用参变分离法解决问题．（可参见”恒成立问题——最值分析法“中的相关题目）
4、参变分离后会出现的情况及处理方法：（假设为自变量，其范围设为，为函数；为参数，为其表达式）
（1）若的值域为
①，则只需要
，则只需要
②，则只需要
，则只需要
③，则只需要
，则只需要
④，则只需要
，则只需要
（2）若的值域为
① ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
② ，则只需要
，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
③ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要
④ ，则只需要（注意与（1）中对应情况进行对比）
，则只需要x/k-+w
5、多变量恒成立问题：对于含两个以上字母（通常为3个）的恒成立不等式，先观察好哪些字母的范围已知（作为变量），那个是所求的参数，然后通常有两种方式处理
（1）选择一个已知变量，与所求参数放在一起与另一变量进行分离．则不含参数的一侧可以解出最值（同时消去一元），进而多变量恒成立问题就转化为传统的恒成立问题了．
（2）将参数与变量进行分离，即不等号一侧只含有参数，另一侧是双变量的表达式，然后按所需求得双变量表达式的最值即可．
二、数形结合法
1、函数的不等关系与图象特征：
（1）若，均有的图象始终在的下方
（2）若，均有的图象始终在的上方
2、在作图前，可利用不等式的性质对恒成立不等式进行变形，转化为两个可作图的函数
3、要了解所求参数在图象中扮演的角色，如斜率，截距等
4、作图时可“先静再动”，先作常系数的函数的图象，再做含参数函数的图象（往往随参数的不同取值而发生变化）
5、在作图时，要注意草图的信息点尽量完备
6、什么情况下会考虑到数形结合？利用数形结合解决恒成立问题，往往具备以下几个特点：
（1）所给的不等式运用代数手段变形比较复杂，比如分段函数，或者定义域含参等，而涉及的函数便于直接作图或是利用图象变换作图
（2）所求的参数在图象中具备一定的几何含义
（3）题目中所给的条件大都能翻译成图象上的特征
不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 最值法：讨论最值或恒成立；④ 讨论参数． 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题．此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功．是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法．
三、最值分析法
1、最值法的特点：
（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参
（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论
2、理论基础：设的定义域为
（1）若，均有（其中为常数），则
（2）若，均有（其中为常数），则
3、技巧与方法：
（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：
① 观察函数的零点是否便于猜出（注意边界点的值）
② 缩小参数与自变量的范围：
通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）
观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围
（2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性．如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号．
（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内．
重难点题型一：直接转化求最值+分类讨论
例1．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知函数.
(1)已知函数在处的切线与圆相切，求实数的值．
(2)已知时，恒成立，求实数的取值范围．
例2．（2024·四川成都·二模）已知函数．
(1)当时，判断的零点个数并说明理由；
(2)若存在，使得当时，恒成立，求实数的取值范围．
1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若，求的取值范围．
2．（2024·河南·模拟预测）已知函数．
(1)求的极值；
(2)若时，恒有，且，求实数的取值范围．
重难点题型二：分离参数法+函数最值
例3．（2024·四川宜宾·二模）已知不等式有解，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例4．（22-23高二下·广东深圳·阶段练习）已知函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
例5．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知函数．
(1)当时，证明：；
(2)若，求实数a的取值范围．
1．（22-23高二下·北京·期末）已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）设函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，若恒成立，求实数的取值范围．
重难点题型三：缩小范围+证明不等式
例6．（2024·四川·模拟预测）已知函数.
(1)若，求的值；
(2)若有2个零点，证明：.
例7．（23-24高三上·浙江湖州·期末）已知函数.
(1)是否存在实数，使得函数在定义域内单调递增；
(2)若函数存在极大值，极小值，证明：．（其中是自然对数的底数）
1．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数，且恒成立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明：．
2．（23-24高三下·内蒙古锡林郭勒盟·开学考试）已知函数且恒成立．
(1)求实数a取值的集合；
(2)证明：．
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A．当时，有唯一零点
B．当时，是减函数
C．若只有一个极值点，则或
D．当时，对任意实数，总存在实数，使得
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A．函数只有两个极值点
B．若关于的方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个实根
D．若关于的不等式的解集内恰有两个正整数，则的取值范围为
例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．
1．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对于任意的实数x，都有成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2024·山东菏泽·一模）关于的不等式恒成立，则的最小值为 ．
3．（2023·福建泉州·统考模拟预测）已知函数．
(1)判断的导函数的零点个数；
(2)若，求a的取值范围．
重要性题型五：必要性探路
例11．（2023·江西九江·统考三模）已知函数
(1)讨论f(x)的单调性：
(2)当时，若，，求实数m的取值范围．
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