专题11 导数在研究不等式的创新应用（讲义）-【压轴】2024高考数学二轮复习函数与导数压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题11 导数在研究不等式的创新应用
知识点一 不等式的恒成立问题：
1、利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
（2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
2、利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
3、不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数，，，．
（1）若，，有成立，则；
（2）若，，有成立，则；
（3）若，，有成立，则；
（4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集．
知识点二 利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
（4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题
（6）同构变形
例1．（23-24高三上·云南保山·期末）已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．
例2．（23-24高三下·江西·开学考试）142857被称为世界上最神秘的数字，，所得结果是这些数字反复出现，若，则（ ）
A．B．
C．D．
例3．（2023·全国·模拟预测）已知函数．若为偶函数，，，，则（ ）
A．B．C．D．
例4．（2023·陕西商洛·二模）已知函数，若存在，使得，则（ ）
A．B．
C．D．
例5．（2023·广西·模拟预测）已知，设函数，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
例6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，若不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
例7．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数满足．若对于恒成立，则实数a的取值范围是 .
例8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知函数，若对恒成立，则实数a的取值范围是 ．
例9．（2023·四川眉山·模拟预测）已知函数，若恒成立，则的取值范围为 ．
例10．（2021·上海长宁·二模）定义域为的奇函数在上单调递减．设，若对于任意，都有，则实数的取值范围为 ．
例11．（2024·四川·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小值；
(2)当时，求证：．
例12．（2024·广东·一模）数值线性代数又称矩阵计算，是计算数学的一个重要分支，其主要研究对象包括向量和矩阵．对于平面向量，其模定义为．类似地，对于行列的矩阵，其模可由向量模拓展为（其中为矩阵中第行第列的数，为求和符号），记作，我们称这样的矩阵模为弗罗贝尼乌斯范数，例如对于矩阵，其矩阵模．弗罗贝尼乌斯范数在机器学习等前沿领域有重要的应用．
(1)，，矩阵，求使的的最小值．
(2)，，，矩阵求.
(3)矩阵，证明：，，.
例13．（2024·云南昆明·一模）已知函数．
(1)若，求实数的值；
(2)证明：当时，；
(3)证明：．
例14．（2024·甘肃平凉·模拟预测）已知函数．
(1)判断的单调性；
(2)设方程的两个根分别为，求证：．
例15．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．
例16．（2024·广东湛江·一模）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个根，，求实数a的取值范围，并证明：．
例17．（2024·海南海口·模拟预测）已知函数.
(1)若的最小值为1，求；
(2)设为两个不相等的正数，且，证明：.
例18．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数．
(1)证明：当时，；当时，．
(2)正项数列满足：，，证明：
（i）数列递减；
（ii）．
例19．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，函数.
（i）证明：在区间上存在极值点；
（ii）记在区间上的极值点为在区间上的零点的和为．证明：.
例20．（2024·河南郑州·一模）设函数．
(1)当时，证明：；
(2)证明：．