山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试题

这是一份山西省吕梁市2024届高三第三次模拟考试数学试题，共24页。试卷主要包含了已知实数满足，则的可能值为，设，当变化时的最小值为，设函数等内容，欢迎下载使用。

吕梁市2024年高三年级第三次模拟考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm的黑色笔迹签字笔写在答题卡上，写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知复数满足，则复数在复平面对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知等边的边长为1，点分别为的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
3.设，则对任意实数是的（ ）
A.必要而不充分条件 B.充分而不必要条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为.若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知实数满足，则的可能值为（ ）
A.6 B.3.5 C.2.5 D.4.5
6.设，当变化时的最小值为（ ）
A. B. C. D.
7.在四面体中，与互相垂直，，且，则四面体体积的最大值为（ ）
A.4 B.6 C.8 D.4.5
8.设函数.若实数使得对任意恒成立，则（ ）
A.-1 B.0 C.1 D.
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）
A.当最大
B.使得成立的最小自然数
C.
D.中最小项为
10.已知椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，两曲线有公共焦点是椭圆与双曲线的一个公共点，，以下结论正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.是公差为-1的等差数列
11.已知正方体的棱长为是空间中的一动点，下列结论正确的是（ ）
A.若点在正方形内部，异面直线与所成角为，则的范围为
B.平面平面
C.若，则的最小值为
D.若，则平面截正方体所得截面面积的最大值为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.在的展开式中，的系数为__________.（用数字作答）
13.设抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，与轴的负半轴交于点，已知，则__________.
14.对任意闭区间I，用表示函数在I上的最大值，若正实数a满足，则a的值为________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题13分）国家高度重视食品、药品的安全工作，某市质监部门根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如下频率分布直方图.
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数x（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数a（精确到0.01）；
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取5家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在的企业数为Y，求Y的分布列与数学期望；
（3）若该市食品生产企业的考核成绩X服从正态分布，其中μ近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数 ， 近似为样本方差 ，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有多少家？（结果保留整数）.
附参考数据与公式：，则，
16.（本小题15分）已知函数
（1）讨论函数的单调性
（2）若对任意的，倠恒成立，则实数的取值范围.
17.（本小㩆15分）如图，为圆锥的顶点，为圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面四的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，.
（1）求证：，并求三棱锥的体积；
（2）若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离.
18.（本小题17分）如图，已知分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的动点，若到左焦点距离的最大值为，最小值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过动点作椭圆的切线，分别与直线和相交于两点，记四边形的对角线相交于点，问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由.
19.（本小题17分）对于无穷数列，若对任意且，存在，使得成立，则称为“数列”.
（1）若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
（2）已知数列为等差数列，
①若是“数列”，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
数学参考答案
1.D
【详解】因为，则
则其对应的点为，所以在第四象限.故选：D.
2.B
【详解】在中，取为基底，
则，
因为点分别为的中点，
所以，
所以.
故选：B.
3.C
【详解】的定义域为，
且，
因为为奇函数，
当时，函数均为单调递增函数，所以在单调递增.
进而可得在上单调递增，，
故对任意实数是的充要条件，故选：C
4.C
5.B
【详解】因为实数满足
所以，则，即.
令，
则.
所以函数的图象与直线在上有两个不同的交点.
令，解得：；令，解得：，
所以函数在区间上单调递增；在区间上单调递减.作出函数的图象：又因为，所以.故选：B
6.C
【详解】在上，在上，设到准线做墼线交准线于点轴于.
，
又为焦点到上点的最小值，故
，故选C.
7.A
【详解】由题可知，点在平面内以为焦点的椭圆上，点在平面内以为焦点的椭圆上，所以，即，由椭圆定义可知，即，所以到中点距离的最大值为，所以中，
时的最大值为3
8.B
【详解】函数，
依题意，对任意的恒成立，
即对恒成立，
因此对恒成
立，
于是，显然，否则且，矛盾，
则，显然，否则且，矛盾，
从而，解得，
所以.故选：B.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9.BD
【详解】根据题意：，即，两式相加，
解得：，当时，最大，故错误
由，可得到，所以，
，所以，故C错误；
由以上可得：，
，而，
当时，；当时，；要使得成立的最大自然数，故B正确.当，或时，；当时，；
由，
所以中最小项为，故D正确.故选：BD.
10.BCD
【详解】设，
由于椭圆与双曲线有公共焦点，所以，所以选项错误.
根据椭圆和双曲线的定义得：
所以，
由余弦定理得，
，
，B选项正确.
，C选项正确.
，
，D选项正确.故选：BCD.
11.BCD
【详解】对于，选项，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
则
则
因为
所以，
故，则的取值范围为，故A不正确；对于B，在正方体中，平面平面显然成立.故B正确；对于C，如图1，在上取点，使得，
在上取点，使得，则由，即，故点是线段上一点.将平面沿展开至与平面共面，此时，当三点共线时（如图2），取得最小值，故C正确；对于D，因为，所以，又，可知是线段上一点，如图3，连接并与交于点.当与重合时，平面与平面重合，此时截面面积为4.当在线段（不含点）上时，平面截正方体所得截面为三角形，且当与重合时，截面为，此时截面面积最大，由三边长均为，故此时截面面积最大值为.当在线段（不含点）上时，如图4，延长异与交于点，作平行于并与交于点，则截面为等腰梯形，设，则，梯形的高，面积为.当与重合时，截面为矩形，面积为.故平面截正方体所得截面面积的最大值为，故D正确，故选BCD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.15
13.
【详解】由，可得，所以①，且，又可设直线的方程为：，与抛物线联立得：，，
故，从而②，
结合①②可得从而.
故答案为：
14.或
【详解】当时，，
由可得，此时；
当时，，或.
若，则由可得，因，故无解；
若，则由可得，此时，即；
当时，，
因区间的长度至少为，故，
而显然不成立，故舍去；
综上，a的值为或.
故答案为：或.
四､解答题：本题共5小题，共77分.
15.解：（1）这50家食品生产企业考核成绩的平均数为：
由频率分布直方图得内，
，
解得中位数（分）.
（2）这50家食品生产企业中考核成绩不低于88分的企业有
家
其中考核成绩在内的企业有家，
由题意可知，的可能取值为，
，
的分布列为：
（3）由题意得，
（家）
估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于95.32分的有11家.
16.解：（1）的定义域为，
令，
又，
，当，即时，，此时在上单调递增
，当，即时，
令，解得
其中，当时，
在单调递增，在单调递减；
当时，，
故在单调递减，单调递增.
综上：
在上单调递增；
在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增.
（2）法一：不妨设，则，同除以得，所以令在
，若恒成立，符合题意.
，当恒成立，
令则，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以
，若，同理恒成立，由知，当
所以不存在满足条件的.
综上所述：
法二：.
令，则只需在单调递增，
即恒成立
，令，则恒成立；
又
①当时，在单调递增成立；
②当时，在单调递增，又，故不恒成立.不满足题意；
③当时，由得在单调递减，在单调递增，
因为恒成立，所以
解得
综上，.
17.解：（1）设，连接，
为底面圆的内接正三角形，
为中点，
又，
；
，
；
平面平面平面平面，
平面平面平面平面，
又面，
又面，又面，
所以
又平面，
平面平面平面；
为中点，，即，
又平面，平面，平面，
平面平面，
，
，
又平面，
.
（2）为中点，又，
为中点，，
，
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，
，
，
设，
；
设平面的法向量，
则
则
令，解得：，
设直线与平面所成角为，
，
令，则，
，
当，
即时，，
，此时，
，
点到平面的距离.
18.解：（1）由题知，设为椭圆上任意一点，
由得
又，得
又
，得
所以椭圆的标准方程为.
（2）因为点在椭圆上，
则，即，
又因为，
取，
所以，
所以切线的斜率，
所以切线方程为
由，可得，
假设，
所以切线方程为：，
即，
所以切线的方程为，
令得，令知：得，
，则直线，①
，则直线，②
由①②知：，
点的轨迹方程为，
即存在定点，使得为定值6.
19.解：（1）数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以是“数列”.
（2）数列为等差数列，
①若是“数列”，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，时，；
时，时，.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，
所以数列是“数列”.0
1
2