上海市交通大学附属中学2024届高三5月阶段测试数学试卷

这是一份上海市交通大学附属中学2024届高三5月阶段测试数学试卷，共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知集合，集合，若，则__________.
2.已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是____________.
3.记等差数列的前项和为，，则___________.
4.已知复数，其中为虚数单位，则___________.
5.在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩X服从正态分布，若，且，则___________.
6.已知，，则向量在向量方向上的投影为_________.
7.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则__________.
8.已知样本的平均数为2，方差为2023，则的平均数为________.
9.已知数列满足：（为正整数），则___________.
10.如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为__________.
11.波斯诗人奥马尔·海亚姆于十一世纪发现了一元三次方程的几何求解方法.在直角坐标系中，P，Q两点在x轴上，以为直径的圆与抛物线C：交于点，.已知是方程的一个解，则点P的坐标为______.
12.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为______.
二、单选题
13.演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ）
A.中位数B.平均数C.方差D.极差
14.设，是两个平面，，，是三条直线，则下列命题为真命题的是（ ）
A.若，，，则
B.若，，，则
C.若，，，则
D.若，，则
15.已知直线：与圆：相交于A，B两点，则下面结论中正确的是（ ）
A.线段长度的最小值为1B.线段长度的最大值为2
C.的面积最小值为4D.的面积最大值为
16.已知函数的定义域为，有下面三个命题，命题：存在且，对任意的，均有恒成立，命题：在上是严格减函数，且恒成立；命题：在上是严格增函数，且存在使得，则下列说法正确的是（ ）
A.、都是p的充分条件B.只有是p的充分条件
C.只有是p的充分条件D.、都不是p的充分条件
三、解答题
17.已知函数，其中.
（1）求在上的解；
（2）已知，若关于的方程在时有解，求实数的取值范围.
18.如图，三棱柱中，侧面底面，且，.
（1）证明：平面；
（2）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
19.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.
（1）从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件“甲工厂提高了生产该零件的质量指标”，事件“该大型企业把零件交给甲工厂生产”、已知，证明：.
20.日日新学习频道刘老师通过学习了解到：法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点Q的轨迹是以椭圆的中心为圆心，（a为椭圆的长半轴长，b为椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆C：.
（1）求椭圆C的蒙日圆的方程；
（2）若斜率为1的直线与椭圆C相切，且与椭圆C的蒙日圆相交于M，N两点，求的面积（O为坐标原点）；
（3）设P为椭圆C的蒙日圆上的任意一点，过点P作椭圆C的两条切线，切点分别为A，B，求面积的最小值.
21.已知函数，.
（1）若直线是曲线在处的切线，求的表达式；
（2）若任意且，有恒成立，求符合要求的数对组成的集合；
（3）当时，方程在区间上恰有1个解，求た的取值范围.
参考答案
一、填空题
1.【答案】0
【解析】由题意，集合，又因为，所以，则.
2.【答案】
【解析】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且，所以实数k的取值范围是.
3.【答案】78
【解析】因为为等差数列，所以.
4.【答案】
【解析】由复数，可得，则，所以.
5.【答案】0.3
【解析】由知：；∵，∴.
6.【答案】
【解析】向量在向量方向上的投影，即.
7.【答案】
【解析】由余弦定理可得，所以，于是有.
8.【答案】2023
【解析】由题意知，，所以，
由，
即，所以.
9.【答案】
【解析】根据题意有：当，得：；
当时，，
即，故，
又不满足上式，所以的通项公式为.
10.【答案】
【解析】由题意，则，所以，
设，，
因为，所以，解得，
所以
，
所以，又由图可知，所以.
11.【答案】
【解析】设，的中点为，则以为直径的圆的方程为，
与抛物线：联立，可得，化简可得：，
由于，可得R，Q的横坐标相等，则方程和方程有相同的解，
即有，解得，则.
12.【答案】
【解析】设从出发最终从1号口出的概率为，
所以，解得.
二、单选题
13.【答案】A
【解析】设9位评委评分按从小到大排列为.
则①原始中位数为，去掉最低分，最高分，后剩余，中位数仍为，∴A正确。
②原始平均数，后来平均数
平均数受极端值影响较大，∴与不一定相同，B不正确
③
由②易知，C不正确.
④原极差，后来极差可能相等可能变小，D不正确.
14.【答案】B
【解析】对于A，若，，，则，相交或平行，故A错误；
对于B，若，，，由线面平行的性质可得，故B正确；
对于C，若，，，当，，两两相交时，m，n，两两相交，故C错误；
对于D，若，，则或，故D错误.
故选：B.
15.【答案】D
【解析】圆心到直线距离，
因为，所以，，
则弦长，所以A和B均错误；
，
令，则，，
因为取不到，所以没有最小值，C错误；
当时，面积最大，为，D正确.
故选：D
16.【答案】A
【解析】若成立，当，有.
因为单调递减，且恒成立，所以，
所以，
故存在（且），对任意的，均有恒成立，
所以是的充分条件；
若成立时，当时，，.
因为单调递增，所以恒成立，
故存在（且），对任意的，均有恒成立，所以也是的充分条件.
故选：A.
三、解答题
17.【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）由已知，
又，所以，
所以或，
所以或，
即在上的解为或；
（2）由已知
，
则在时有解，即在时有解，
因为，所以，
所以，
所以.
18.【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）取的中点，连结、.
因为，，所以，，
由于平面，且，
因此平面，
因为平面，所以，
又因为，所以，
因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，
因为，所以平面.
（2）思路一：因为，且，所以.
以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，
则，可得，
令，则，
设平面的法向量为，
则，可得
令，则，
设平面与平面夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
思路二：将直三棱柱补成长方体.
连接，过点作，垂足为，再过作，垂足为，连接，
因为平面，且平面，所以，
又因为，由于平面，且，
所以平面，则为直角三角形，
由于平面，所以，
因为平面，且，所以平面，
因为平面，所以，
则为平面与平面的夹角或补角，
在中，由等面积法可得，
因为，所以，
因此平面与平面夹角的余弦值为.
19.【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）设甲工厂试生产的这批零件有m件，乙工厂试生产的这批零件有n件，
事件“混合放在一起零件来自甲工厂”，
事件“混合放在一起零件来自乙工厂”，
事件“混合放在一起的某一零件是合格品”，
则，
，
计算得.所以.
的可能取值为0，1，2，3，，
，
，，
，.
所以，的分布列为：
（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，
所以.即.
因为，，所以.
因为，
所以.
即得，
所以.
即.
又因为，，
所以.
因为，，
所以.
即得证.
20.【答案】（1）；（2）2；（3）
【解析】（1）因为椭圆：，所以，
所以椭圆的蒙日圆的方程为；
（2）由（1）知，椭圆的方程为，设直线的方程为，
联立方程，消去并整理得，，
由，得，即，
所以坐标原点到直线：的距离，
所以，
所以；
（3）由（1）知，椭圆C的方程为，椭圆C的蒙日圆方程为，
设，则，设，，
则切线的方程为，切线的方程为，
将代入切线，的方程，有，，
故直线的方程为，
将直线的方程与椭圆的方程联立得，
消去并整理得，
显然，，
所以，，
所以，
又点到直线的距离，
所以，
设，则，，
令，，
则，
所以函数在上单调递增，所以，
所以面积的最小值为.
21.【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】（1）由题意，，故，
故函数在处的切线方程为：，即，
即.
（2）令，
由
整理得：，
即，，
即，，，
故，又，
故两函数图像重合，即，即，则，，
综上，符合要求的数对组成的集合为
（3）∵，∴，
由于，故是方程的1个解，
若符合题意，则也符合题意，故以下仅考虑的情形.
设.
①若，则由，且，
所以，在中另有一根，矛盾.
②若，则由，，
所以，在中另有一根，矛盾.
∴，
以下证明，对任意，符合题意.
当时，由图象在连接两点，的线段的上方知，∴，
当时，，∴，
当时，，，∴，
综上：有且仅有一个解，∴在满足题意.
综上所述：.