安徽省县中联盟2023-2024学年高三下学期5月联考（三模）数学试题

这是一份安徽省县中联盟2023-2024学年高三下学期5月联考（三模）数学试题，共16页。试卷主要包含了若，，，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1．满分150分，考试时间120分钟．
2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3本卷命题范围：高考范围．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”．把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中．现从这十个数中随机抽取六个数，则能成为三组的个数是（ ）
A．10 B．20 C．21 D．42
5．若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在平面直角坐标系xOy中，直线上有且仅有一点P，使，则直线l被圆截得的弦长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．已知F为椭圆的上焦点，过原点的直线与C相交于A，B两点，且轴，若，则C的焦距为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，若关于x的不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．有一组样本数据，，，，，其样本平均数为，现加入一个数据，组成新的一组样本数据，，，，，，与原数据相比，关于新的样本数据下列说法可能正确的是（ ）
A．平均数不变 B．中位数不变 C．众数不变 D．极差不变
10．某质点的位移与运动时间的关系式为其图象如图所示，图象与y轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法错误的是（ ）
A． B．
C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为
11．已知函数的定义域为R，且，，，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数 B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．的展开式中按x降幂排列的第八项的系数是，则实数a的值是________．
13．在棱长为4的正方体中，点P为线段上的动点，则三棱锥的外接球的半径的取值范围是________．
14．已知A，B为抛物线上两点，，F为焦点，O为坐标原点，A在第一象限，且点A的纵坐标大于点B的纵坐标，若，则点A的坐标为________．
15．（本小题满分13分）
如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接矩形，PA是圆柱的母线，点E是PD的中点．
（1）求证：平面ACE；
（2）若三棱锥的体积为，，，求二面角的大小．
16．（本小题满分15分）
记为数列的前n项和，已知，且，．
（1）求证：数列是等差数列；
（2）求的通项公式；
（3）设，求的前n项和．
17．（本小题满分15分）
已知函数，．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数的两个极值点分别为，，证明：．
18．（本小题满分17分）
某工厂有10000名工人，想通过验血的方法筛查出某种细菌感染性疾病，抽样化验显示，当前携带该细菌的人约占，若逐个化验需要化验10000次．统计专家提出一种化验方法：随机按n人一组进行分组，将各组n人的血液混合在一起化验，若混合血样呈阴性，则这n人的血样全部阴性；若混合血样呈阳性，则说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次．
（1）若每个人单独化验一次花费10元，n个人混合化验一次花费元．向n为何值时，每位工人化验费用的数学期望最小？（注：当时，）
（2）该疾病主要通过人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是40岁以上人群．该细菌进入人体后有潜伏期，潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间．潜伏期越长，感染到他人的可能性越高，现对已发现的90个病例的潜伏期（单位：天）进行调查，统计发现潜伏期平均数为7.2，方差为．如果认为超过8天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表（单位：人）：
（i）依据的独立性检验，能否认为“长期潜伏”与年龄有关；
（ii）假设潜伏期X服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．为了防止该疾病的传播，现要求感染者的密接者居家隔离14天，请用概率的知识解释其合理性．
附：
若，则，，．
19．（本小题满分17分）已知双曲线的虚轴长为，一条渐近线方程为，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若直线OP的斜率为，求的值；
（3）设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来．
2023~2024学年安徽省县中联盟高三5月联考最后一卷·数学
参考答案、提示及评分细则
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
1．C因为，，则，故选C．
2．A在中，，，，
由余弦定理可得，解得．
所以，故选A．
3．B由题意可得，，当时，因为，所以，即，解得或；当时，，所以，故，故“”是“”的必要不充分务件，故选B．
4．A从一到十这十个数中随机抽取六个数，能成为三组的个数是，故选A．
5．D易证，，所以，而，所以，所以，故选D．
6．D由题意知坐标原点O到直线l的距离．
∵圆C的圆心为，半径，∴l被圆C截得的弦长为，故选D．
7．B设，如图．记为C的下焦点，连接，则由椭圆的对称性可知，由，设，，则．
又轴，所以，即．
所以，解得．
所以C的焦距为．故选B．
8．C，显然在上单调递增，故存在唯一的，使得，即，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，因此的最小值为，则，即，对两边取对数得，则，代入得，由单调递减且可知不等式的解集为，因此，又，则，故选C．
9．BCD对于A，因为加入一个数据，故平均数一定变大，故A错误；
对于B，如样本数据1，2，2，3，中位数为2，平均数为2，加入一个新数据3后，中位数仍为2，故中位数可能不变，故B正确；
对于C，众数为数据中出现最多次的数据，故加入一个数据后，众数可能不变，故C正确；
对于D，加入后整组数据最大值与最小值的差不一定改变，即极差可能不变，故D正确，故选BCD．
10．ABD设由已知得，函数的周期，所以，令，所以，又，所以，因为，所以或，又，所以，由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，，且在内单调递减，因为，所以在上单调递减，由图象得该质点在内走过的路程为，故选ABD．
11．BC对于A，因为的定义域为R，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误；
对于B，令，，则，而，，所以，故B正确；
对于C，由选项B可知，令，，则，所以，又因为为奇函数，所以，故C正确；
对于D，由选项B以及可得，，，所以，同理可得，因为，故，故D错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．3或
13．连接，交于点E，可得E为的中点，所以在中，E到各顶点的距离相等，过E作平面交于F，则球心O一定在EF上，且．
设正方体棱长为a，三棱锥的外接球半径为r，则题意可得，，，当点P与F重合时，，得，
当点P与或C重合时，，且，
所以，此时r最大．
所以三棱锥的外接球的半径的取值范围是．
14．设，，，则，，结合抛物线定义，，当A，B位于x轴的不同侧时，，，
由，得，
整理可得，所以，，所以，解得（负值舍），此时A的坐标为，
当A，B位于x轴同侧时，同理得，此时无解．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15．（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点，又因为点E是PD的中点，所以
又平面ACE，平面AEC，所以平面ACE．
（2）解：因为PA是圆柱的母线，所以平面ABCD，又四边形ABCD是矩形，
所以，，又点E到平面ACD的距离，
所以，所以．
建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，
平面ADE的法向量可以为，设平面ACE的法向量为，
则，取，
设二面角为，所以，
又，所以，所以二面角的大小为．
16．（1）证明：∵，，∴，
∵，∴数列是首项为1，公差为的等差数列．
（2）解：由（1）知，
即，，两式作差得，
即，∴，即，．
∵符合上式，∴．
（3）解：
．
所以．
17．（1）解：函数的定义域为，，令方程，则．
当，即时，，此时函数的单调增区间为，无单调减区间，
当时，，故当时函数的单调增区间为，无单调减区间，
当时，令，得，，当时，，
当时，，故当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为，
综上所述，当时，函数的单调增区间为，无单调减区间；
当时，函数的单调增区间为和，
单调减区间为．
（2）证明：因为函数的两个极值点分别为，，由（1）得，，
所以
要证，即证
不妨设，则只需要证．
设只需证．
令，其中，则，
所以在上单调递增，所以，得证．
18．解：（1）要使化验费用最小，只能要每个人的化验费用期望最小，
设每个人的化验费用为Y元，若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则，所以，
每位工人的化验费用期望
．
当且仅当，即时取等号，故时，每位工人化验费用的期望最小．
（2）（ⅰ）零假设：“长潜伏期”与年龄无关．
根据列联表中的数据得．
故依据的独立性检验，认为“长潜伏期”与年龄无关．
（ii）因为潜伏期，
由，得知潜伏期超过14天的概率很低，因此隔离14天是合理的.
19．解：（1）由题意知得，，则，，
所以双曲线的离心率．
（2），由题意可知，则直线的斜率，
所以直线的斜率，故直线的方程为，
联立直线和双曲线，得，显然．
由韦达定理得，，
所以．
（3）设，，，则，
因为，故直线的方程为，代入，得点，
所以．
因为点在双曲线上，故，满足双曲线方程，即，
所以，
所以．
又，联立直线OP双曲线，得．
根据题意知，此方程的两根即为，，所以．
所以
所以，即．
年龄
长期潜伏
非长期潜伏
40岁以上
15
50
40岁及40岁以下
10
15
0.1
0.05
0.010
2.706
3.8
6.635
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
B
A
D
D
B
C
题号
9
10
11
答案
BCD
ABD
BC