河北省邯郸市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题

这是一份河北省邯郸市部分示范性高中2024届高三下学期三模数学试题，共23页。试卷主要包含了已知偶函数与其导函数定义域均为，已知数列满足，，则，已知随机变量，则，已知方程的正根构成等差数列，则等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数，则（ ）
A．5B．C．D．
2．已知是椭圆的两个焦点，为的顶点，若的内心和重心重合，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
3．若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，见证了中华民族百年复兴伟业．某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边有三个座位且相邻，另一边两个座位相邻）则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．已知平面和直线，若，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
6．平行四边形中，，以为圆心作与直线相切的圆，为圆上且落在四边形内部任意一点，，若，则角的范围为（ ）
A．B．C．D．
7．已知偶函数与其导函数定义域均为．为奇函数，若2是的极值点，则在区间内解的个数最少有（ ）个．
A．7B．8C．9D．11
8．已知数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知随机变量，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知方程的正根构成等差数列，则（ ）
A．B．C．2D．4
11．函数有三个不同极值点，且．则（ ）
A．B．
C．的最大值为3D．的最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．抛物线上的动点到点的距离等于它到的准线距离，则到焦点距离为______．
13．下图装满水的圆台形容器内放进半径分别为1和3的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为______．
14．已知点，则点到动直线的最大距离的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知数列的前项和，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前项和为，比较和的大小．
16．（15分）如图所示，在等腰直角中，，点分别为的中点，将沿翻折到位置．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）
2021年教育部印发的《进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知》中提出，中小学校要保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间，每天统一安排30分钟的大课间体育活动，一学校某体育项目测试有40%的人满分，而该校有20%的学生每天运动时间超过两个小时，这些人体育项目测试满分率为50%．
（1）从该校随机抽取三人，三人中体育项目测试相互独立，求三人中满分人数的分布列和期望；
（2）现从每天运动时间不超过两个小时的学生中任意调查一名学生，求他体育项目测试满分的概率；
（3）体育测试前甲、乙、丙三人传球做热身训练，每次传球，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，第1次由甲将球传出，求第n次传球后球在乙手中的概率．
18．（17分）函数．
（1）求的单调区间；
（2）若只有一个解，则当时，求使成立的最大整数．
19．（17分）函数是我们最熟悉的函数之一，它是奇函数，且轴和直线是它的渐近线，在第一象限和第三象限存在图象，其图象实质是圆锥曲线中的双曲线．
（1）函数的图象不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，求其对称轴的方程；
（2）若保持原点不动，长度单位不变，只改变坐标轴的方向的坐标系的变换，叫坐标系的旋转，简称转轴．
（ⅰ）请采用适当的变换方法，求函数变换后所对应的双曲线标准方程；
（ⅱ）已知函数图象上任一点到平面内定点的距离差的绝对值为定值，以线段为直径的圆与的图象一个交点为，求的面积．
数学答案与解析
1．D 2．C 3．A 4．A 5．B
6．【答案】B
【解析】由，当在直线上时，，当圆与的切点在延长线上时，圆落在四边形内部部分与直线没有公共点，此时，得，，故答案为．
7．【答案】D
【解析】为偶函数，所以，所以为奇函数．
．因为为奇函数，所以，得，即关于点对称，所以，
即，①
所以，②
得的周期为3．
故为周期为3的奇函数．．
又2是的极值点，得．
，又为奇函数，，得，
所以关于点对称，故，且，
由①，又
由②，又
故在内解最少有，最少有11个．
8．【答案】C
【解析】由，得，
所以
，得．
设①
则②
①-②得
．
9．BD
10．【答案】ACD
【解析】【法一】由得
．
由的图象可知，的值为时，
的正根构成等差数列，得，故选ACD．
【法二】
其周期为，设
则，其图象如图所示．
的正根构成等差数列，得、时成立，故CD正确；
且值也满足题意，
，
得，故A正确．
11．【答案】BCD
【解析】有三个不同极值点，
则有三个不等实根为，则定有三个解．
设，
当，得单调递增，
不会有三个解，所以，
得在单调递增，在单调递减，在单调递增．
定有三个解恒成立，
因为，所以恒成立．
即，得，故A错误；
设
，
故，故，故D正确；
又
，故B正确；
又，
则，
又，故，
的最大值为3，故C正确．
12．3
14．
【解析】由，得，
又，
当时，，
当时，，
由函数与图象可知点位于图中阴影部分区域，
则点到直线最大距离的最小值为函数上切线斜率为1的点到直线的距离的一半．
，
设，得，
点到的距离为．
故答案为．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．解：（1）因为
当时，
又因为时，也满足上式
所以当时，
（2）由，得
当时，
当时．
综上所述：当时，，当时，．
16．解：（1）等腰直角中，，得
点分别为的中点，，
所以．
将沿翻折到位置后，，
面面，
所以．
又，得面，又面，所以平面平面
（2）【法一】由（1）知面，所以面面．
又因为，所以为等边三角形，
设的中点为，则面，过作交于．以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
不妨设，
得
所以
设平面的一个法向量为，
则
可取，
设平面的一个法向量为，
则
可取，
则，
平面与平面夹角的余弦值为．
【法二】点分别为的中点，面，所以面，
面面，且面面，
不妨设，则点到面的距离为，
故点到面的距离为．
设的中点为，则面，
中
所以为等腰三角形，且，得点到的距离为，
又到面的距离为，
所以平面DEF与平面DEC夹角的正弦值为，
得平面DEF与平面DEC夹角的余弦值为．
17．解：（1）该校随机抽取三人，每个人满分的概率为．
设抽取的三人中满分人数为，则．
则，
则的分布列为
，
数学期望．
（2）【法一】设该校总人数为人，则体育项目测试满分的有人，每天运动时间超过两个小时的人数有人，
超过两个小时的人体育项目测试满分率约为，则其中测试满分的有个个人，
因此每天运动时间不超过两个小时的学生有个人中，测试满分的有个人，任取1名学生，他体育测试满分的概率为．
【法二】用表示事件“抽到每天运动时间超过两个小时的学生”，则，．
用表示事件“抽到体育项目测试满分的学生”，
则，且．
又
故．
.9分
（3）【法一】记表示事件“经过次传球后，球在乙的手中”，
设次传球后球在乙手中的概率为，
则有，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以．
即次传球后球在乙手中的概率是．
【法二】记表示事件“经过次传球后，球在甲的手中”，
设次传球后球在甲手中的概率为，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以
即次传球后球在甲手中的概率是，因为由甲先传球，则次传球后球在乙和丙手中的概率相等为
18．解：
因为，设，
则
当时，单调递增．
当时，单调递减．
当时，单调递增．
综上所述：的单调递增区间为，单调递减区间为．
（2）若即只有一个解，
因为使方程成立，所以只有0是的解．
时，无非零解．
设，则，
当单调递减，
当单调递增，
所以最小值为，
当时，，当时，，故定有零点，又因为无非零解，有零点应还是0．
所以，则，
得得
设
令得
因为在上单调递增，
又，
所以使得，且．
单调递减，
单调递增，
所以最小值
且，得
又因为，所以，
故整数的最大值为2．
19．解：（1）函数的图象是圆锥曲线中的双曲线，且轴和直线是它的渐近线可知，对称轴为直线和．
，得
解得，
所以得，
，
所以对称轴的方程为和．
（2）（ⅰ）【法一】在转轴下，设坐标轴的旋转角为，平面上任一点在旧坐标系与新坐标系内的坐标分别为与，作再设，则
，
，
由（1）可知将坐标轴逆时针旋转，函数将变为双曲线标准方程，由公式可得
代入整理得．
【或将代入，
得
得】
【法二】考虑将函数顺时针转，可得双曲线标准方程．
任取上一点，
则点在上．
即
得
（ⅱ）由题意知为双曲线的两个焦点
所以
又因为为直角三角形，所以
由双曲线性质可知||
得
所以
得的面积为（其他方法可酌情给分）
0
1
2
3