河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题

这是一份河北省秦皇岛市青龙满族自治县第一中学2024届高三下学期5月模拟考试数学试题，共14页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．C．D．
3．若集合，，且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且则“”是“且”的（ ）
A．充分不必要条件B．充分必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
5．三人被邀请参加同一个时间段的两个晚会，若两个晚会都必须有人去，去几人自行决定，且每人最多参加一个晚会，则不同的去法有（ ）
A．8种B．12种C．16种D．24种
6．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则（ ）
A．为直角三角形B．为锐角三角形
C．为钝角三角形D．的形状无法确定
7．已知0是函数的极大值点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．假设在某种细菌培养过程中，正常细菌每小时分裂1次（1个正常细菌分裂成2个正常细菌和1个非正常细菌），非正常细菌每小时分裂1次（1个非正常细菌分裂成2个非正常细菌）.若1个正常细菌经过14小时的培养，则可分裂成的细菌的个数为（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知函数，则（ ）
A．是偶函数；B．是周期为的周期函数；
C．在上单调递增；D．的最小值为.
10．设，是双曲线的两条渐近线，若直线与直线关于直线对称，则双曲线的离心率的平方可能为（ ）
A．B．C．D．
11．在长方形中，，，点在线段上（不包含端点），沿将折起，使二面角的大小为，，则（ ）
A．存在某个位置，使得
B．存在某个位置，使得直线平面
C．四棱锥体积的最大值为
D．当时，线段长度的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12．的展开式中的系数为___________.
13．已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为___________.
14．设，则的最大值为___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
已知，函数的图象在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2.
（1）求的值；
（2）求在上的值域.
16．（15分）
教练统计了甲12次投篮训练的投篮次数和乙8次投篮训练的投篮次数，得到如下数据：
已知甲12次投篮次数的方差，乙8次投篮次数的方差.
（1）求这20次投篮次数的平均数与方差.
（2）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为.已知第一次投篮的人是甲，且甲、乙总共投篮了3次，表示甲投篮的次数，求的分布列与期望.
17．（15分）
如图，在三棱柱中，，四边形为菱形，，.
（1）证明：.
（2）已知平面平面，求二面角的正弦值.
18．（17分）
“完全数”是一类特殊的自然数，它的所有正因数的和等于它自身的两倍.寻找“完全数”需要用到函数，记函数，为的所有正因数之和.
（1）判断28是否为完全数，并说明理由.
（2）已知，若为质数，证明：为完全数.
（3）已知，求，的值.
19．（17分）
已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于，（，异于点）两点，且以为直径的圆过点.
（1）求的方程；
（2）已知，，是上的三点，若为正三角形，为的中心，求直线斜率的最大值.
高三数学考试参考答案
1.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
设，则.
因为，所以
则解得即，所以复数在复平面内对应的点为，位于第一象限.
2.B【解析】本题考查椭圆的离心率，考查数学运算的核心素养.
由题可知，，，，解得.
3.D【解析】本题考查集合间的基本关系，考查逻辑推理的核心素养.
依题意得，当时，，符合，
当时，，因为，所以，解得.
故的取值范围为.
4.C【解析】本题考查线与面的位置关系，考查逻辑推理的核心素养.
当时，可能在内或者内，故不能推出且.
当且时，设存在直线，，且，因为，所以，
根据直线与平面平行的性质定理，可知，所以.
故“”是“且”的必要不充分条件.
5.B【解析】本题考查排列组合，考查逻辑推理的核心素养.
第一种情况，只有两人参加晚会，有种去法，第二种情况，三人参加晚会，有种去法，共12种去法.
6.A【解析】本题考查解三角形，考查数学运算的核心素养.
由，可得，则，，，
即，解得，即，，故选A.
7.A【解析】本题考查函数的极值点，考查数学运算的核心素养.
，令，可得或.
因为0是函数的极大值点，所以，解得.
故的取值范围为.
8.C【解析】本题考查数列的递推关系，考查逻辑推理的核心素养.
设经过小时，有个正常细菌，个非正常细菌，则，.
又，，所以，，则，，
所以，所以.
9.AD【解析】本题考查复合函数以及三角函数的图象，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力.
因为，所以是偶函数，故A正确；
，故B错误；
当时，，因为，所以在上单调递减，又单调递增，所以在上单调递减，故C错误；
因为，所以是周期为的周期函数，当时，，则的最小值为，故D正确.
10.CD【解析】本题考查双曲线的渐近线，考查数形结合的数学思想.
由题可知经过第二、四象限，经过第一、三象限，设的倾斜角为.
当时，则，即，，
即，所以.
当时，，即，，
即，所以.
综上，双曲线的离心率的平方为.
11.ACD【解析】本题考查四棱锥以及线面的位置关系，考查空间想象能力以及逻辑推理的核心素养.
设点在平面上的投影为，当时，，这种情况显然存在，故A正确.
若平面，平面，平面平面，所以，矛盾，故B错误.
设，，则点到的距离为，，，要使得四棱锥的体积最大，则，此时四棱锥的体积，
，在上单调递减，且当时，.
令，，则，，
所以在上单调递增，在上单调递减，，即四棱锥体积的最大值为，C正确.
过，作的垂线，垂足分别为，（图略），从而得到，，又，
所以
.
因为二面角的大小为，所以与的夹角为120°.
设，，则，
，，，，所以，
所以.
故当时，有最小值28，故线段长度的最小值为，D正确.
12.【解析】【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养.
，
所以的展开式中含的项为，故的展开式中的系数为.
13.9【解析】本题考查抽象函数以及函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.
由，可得的图象关于点对称，又是奇函数，所以，则的周期为3，所以，，，则.
故在上的零点个数的最小值为9.取，显然满足题意，且恰好在上有9个零点.
14.2【解析】本题考查函数的性质以及不等式的应用，考查逻辑推理的核心素养.
设，则，，当且仅当，时，等号成立，故.
令，解得，，所以，当，时，等号成立.
15.解：（1）因为，所以，则. 2分
因为，所以切点坐标为， 3分
所以的图象在点处的切线方程为. 4分
令，得，所以，又，所以. 6分
（2）由（1）可知，令，解得. 8分
所以在上单调递减，在上单调递增. 10分
又，，， 11分
所以在上的值域为. 13分
评分细则：
【1】第（1）问共6分，未舍去，扣1分.
【2】第（2）问共7分，未求单调性，直接代入得和，得1分.
16.解：（1）甲12次投篮次数的平均数，乙8次投篮次数的平均数.
这20次投篮次数的平均数， 3分
方差
. 7分
（2）的可能取值为1，2，3，
则， 8分
， 9分
， 10分
所以的分布列为
12分
. 15分
评分细则：
【1】第（1）问共7分，正确算出得3分，正确算出得4分
【2】第（2）问共8分，正确列出分布列可得5分，正确写出得3分.
17.（1）证明：设为的中点，连接，，，.
因为，所以. 1分
因为四边形为菱形，，所以为等边三角形，则. 2分
又，所以平面. 3分
因为平面，所以. 4分
因为，，所以平面. 5分
因为平面，所以，所以四边形为菱形，即. 7分
（2）解：因为平面平面，且平面平面，，
所以平面. 9分
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设.
则，，，，，
可得，，.
设平面的法向量为，则
令，则，，可得. 11分
设平面的法向量为，则
令，则，，可得. 13分
，故二面角的正弦值为. 15分
评分细则：
【1】第（2）问，未证明平面，直接建系扣2分.
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.
18.（1）解：28的所有正因数为1，2，4，7，14，28， 1分
因为，所以28是完全数. 3分
（2）证明：的正因数为，，，，，，，，，， 5分
7分
，
所以为完全数. 10分
（3）解：的正因数为，，，，，，，，，，，，，，，，
所以. 14分
因为，
所以
. 17分
评分细则：
【1】第（1）问未说明理由，直接下结论“28是完全数”，可得1分
【2】第（2）问和第（3）问中，未写出正因数，直接写出的答案，不扣分.
19.解：（1）设，，，联立方程得，
则，. 2分
因为以为直径的圆过点，所以，则，即，
解得， 4分
所以，解得，所以的方程为. 5分
（2）设，，.不妨设，，按逆时针顺序排列.
①当有一边斜率不存在时，另一顶点为，不妨设，
则，.
与抛物线的方程联立得，，中心. 7分
②当三边的斜率都存在时，，.
又，所以，
化简可得， 9分
同理可得，
，
三式相加得.
因为，，是上的三点，所以，
又，
所以. 12分
设，则，，代入上式得.
又①也满足，所以的轨迹方程为. 14分
当，直线的斜率为，当且仅当时，直线的斜率取得最大值.当时，直线的斜率.综上，直线斜率的最大值为. 17分
评分细则：
【1】第（1）问按标准答案解题时，未说明有一边斜率不存在的情况，扣2分.
【2】若用其他解法，参照评分标准按步骤给分.甲
77
73
77
81
85
81
77
85
93
73
77
81
乙
71
81
73
73
71
73
85
73
1
2
3