2023-2024学年广东省珠海市六校高一（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年广东省珠海市六校高一（下）期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知复数z=(m+2)+(m+1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)
C. (−1,+∞)D. (−∞,−2)
2.在△ABC中，若BA=a，BC=b，则CA=( )
A. aB. a+bC. b−aD. a−b
3.已知向量a=(2,4)，b=(m,−6)，且a//b，则实数m的值为( )
A. −3B. 3C. 8D. 12
4.已知向量a=(3,1)，b=(2k-1,k)，且(a+b)⊥a，则k的值是( )
A. -1B. 37C. -35D. 35
5.已知a与b均为单位向量，它们的夹角为60∘，那么|a−3b|等于( )
A. 7B. 10C. 13D. 4
6.已知a,b,c为非零平面向量，则下列说法正确的是( )
A. (a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)B. 若a⋅c=b⋅c，则a=b
C. 若a//b，则∃λ∈R,b=λaD. |a⋅b|=|a|⋅|b|
7.在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，A=π3，b=2，c=8，则a−2b+csinA−2sinB+sinC值等于( )
A. 16 33B. 4 3C. 4 393D. 52 33
8.在等边三角形ABC的三边上各取一点D，E，F，满足DE=3,DF=2 3,∠DEF=90∘，则三角形ABC的面积的最大值是( )
A. 7 3B. 13 3C. 73 3D. 133 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量a=(1,−2),b=(3,4)，则( )
A. (a+b)⊥a
B. (b−a)//b
C. |a+b|=20
D. 与向量a同向的单位向量是( 55,−2 55)
10.已知复数z的共轭复数为z−，则下列说法正确的是( )
A. z+z−一定是实数B. z⋅z−一定是实数
C. z−z−一定是纯虚数D. z2=|z|2
11.已知点O是△ABC的重心，则下列说法中正确的有( )
A. OA+OB+OC=0B. AO=13(AB+AC)
C. AO=12(AB+AC)D. OB+OC=16(AB+AC)
12.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是( )
A. 若a2+c2−b2>0，则△ABC为锐角三角形
B. 若△ABC为锐角三角形，则sinA>csB
C. 若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
D. 若c=acsB，则△ABC是直角三角形
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.复数z满足z=3+4ii，则z的虚部为______，|z|=______.
14.已知平面向量a=(2m−1,2)，b=(−2,3m−2)，且a⊥b，则|2a−3b|=______.
15.已知平面向量a与b的夹角为π3，若|a|=1，b=(1,2)，则a在b上的投影向量的坐标为______.
16.在△ABC中，AB=2，∠C=π3，则AB⋅AC的最大值为______
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知复数z1=1+ai(其中a∈R且a<0，i为虚数单位)，且z12为纯虚数.
(1)求实数a的值；
(2)若z2=z11+i+2，求复数z2的共轭复数.
18.(本小题12分)
如图，已知A(−2,1)，B(1,3).
(1)求线段AB的中点M的坐标；
(2)若点P是线段AB的一个三等分点，求点P的坐标.
19.(本小题12分)
如图，斜坐标系xOy中，e1,e2分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量，且e1,e2的夹角为60∘，定义向量OP=xe1+ye2在斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x,y)，记为OP=xe1+ye2=(x,y).在斜坐标系xOy中完成下列问题：
(1)若a=(2,3)，b=(2,−1)，求a⋅b；
(2)若c=(x0,y0)，求|c|.
20.(本小题12分)
如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达).若在河岸选取相距20米的C，D两点，测得∠BCA=60∘，∠ACD=30∘，∠CDB=45∘，∠BDA=60∘，那么此时A，B两点间的距离是多少？
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，设向量p=(csA,sinA)，q=(sinB,csB)，其中A，B分别是△ABC的两个内角.
(1)若p//q，求C的值；
(2)若p⋅q=sin2C，AB=2，求△ABC的面积的最大值.
22.(本小题12分)
某校兴趣小组在如图所示的矩形区域ABCD内举行机器人拦截挑战赛，在E处按EP方向释放机器人甲，同时在A处按AQ方向释放机器人乙，设机器人乙在M处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动，若点M在矩形区域ABCD内(包含边界)，则挑战成功，否则挑战失败.已知AB=6米，E为AB中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记EP与EB的夹角为θ(0<θ<π)，AQ与AB的夹角为α(0<α<π2).
(1)若两机器人运动方向的夹角为π3，AD足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值；
(2)已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍.
(i)若α=θ=π3，AD足够长，求机器人乙能否挑战成功.
(ii)如何设计矩形区域ABCD的宽AD的长度，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度α使机器人乙挑战成功？
答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．
由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解．
【解答】
解：∵复数z=(m+2)+(m+1)i在复平面内对应的点在第四象限，
∴m+2>0m+1<0，解得−2∴实数m的取值范围是(−2,−1)，
故选：A.
2.【答案】D
【解析】解：CA=CB+BA=−b+a=a−b；
故选：D.
根据平面向量的加减法运算，利用三角形法则得到所求．
本题考查了平面向量的加减法运算；属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵a//b，
∴4m+12=0，解得m=−3.
故选：A.
根据平行向量的坐标关系即可求出m的值．
本题考查了平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了计算能力，属于基础题．
利用向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】
解：a+b=(2k+2,k+1)，
∵(a+b)⊥a，
∴(a+b)⋅a=3(2k+2)+k+1=0，解得k=−1.
故选：A.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积，向量的模的计算，属于基础题.
由题意并且结合平面数量积的运算公式可得a⋅b=12，再根据|a−3b|= (a−3b)2可得答案．
【解答】
解：因为a与b均为单位向量，它们的夹角为60∘，
所以a⋅b=|a||b|cs60∘=12，
又因为|a−3b|= (a−3b)2= a2+9b2−6a⋅b，
所以|a−3b|= 7.
故选：A.
6.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，根据平面向量数量积的定义知(a⋅b)⋅c与c共线，a⋅(b⋅c)与a共线，所以选项A错误；
对于B，a⋅c=b⋅c时，a与b不一定相等，如a⊥b和b⊥c时它们的数量积为0，a、b不相等，所以选项B错误；
对于C，根据平面向量的共线定理知，若a//b，则∃λ∈R，使b=λa，所以选项C正确；
对于D，根据平面向量数量积的定义知，a⋅b=|a|×|b|×cs，所以|a⋅b|≤|a|⋅|b|，选项D错误．
故选：C.
根据平面向量共线定理和数量积的定义，依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查了平面向量共线定理和数量积的定义应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由余弦定理得a2=b2+c2−2bccsA=4+64−2×2×8×12=52，
解得a=2 13.设△ABC外接圆半径为R，
则a−2b+csinA−2sinB+sinC=2RsinA−4RsinB+2RsinCsinA−2sinB+sinC=2R=asinA=2 13 32=4 393.
故选：C.
先由余弦定理求得a=2 13，再由正弦定理求解即可．
本题考查正弦定理在解三角形中的应用，属基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由题意，△DEF为直角三角形，且DE=3，DF=2 3，
∴cs∠EDF=DEDF= 32，即∠EDF=π6，
令∠BDE=θ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠A=π3，
则∠BED=π−∠B−∠BDE=2π3−θ，
∵∠FDA=π−∠EDF−∠BDE=5π6−θ，
∴∠DFA=π−∠FDA−∠A=θ−π6，
在△BDE中，由正弦定理得DEsinB=BDsin∠BED，
即BD=2 3sin(2π3−θ)，
在△ADF中，由正弦定理得DFsinA=ADsin∠DFA，
即AD=4sin(θ−π6)，
即AB=AD+BD
=4( 32sinθ−12csθ)+2 3( 32csθ+12sinθ)
=3 3sinθ+csθ=2 7sin(θ+φ)，
则ABmax=2 7，此时△ABC面积最大，最大面积为12× 32×(2 7)2=7 3.
故选：A.
由题意得到∠EDF=π6，令∠BDE=θ，分别得到∠BED，∠FDA和∠DFA，在△BDE和△ADF中，利用正弦定理和三角函数的恒等变换即可求解．
本题考查了正弦定理和三角函数的综合应用，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：向量a=(1,−2),b=(3,4)，
a+b=(4,2)，∴(a+b)⋅a=4−4=0，∴(a+b)⊥a，故A正确；
b−a=(2,6)，∵23≠64，∴(b−a)与b不平行，故B错误；
|a+b|= 42+22=2 5，故C错误；
对于D，与向量a同向的单位向量是a|a|=1 5(1,−2)=( 55,−2 55)，故D正确．
故选：AD.
利用向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行、单位向量的定义直接求解．
本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量垂直、向量平行、单位向量的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：∵复数z的共轭复数为z−，设z=a+bi，a、b∈R，则z−=a−bi，
∴z+z−=2a，为实数，故A正确．
z⋅z−=a2+b2=|z|2为实数，故B正确．
∴z−z−=2bi，可能是实数也可能是纯虚数，故C错误．
∵z2=a2−b2+2abi，z−2=a2+b2−2abi，故D不正确．
故选：AB.
由题意，利用共轭复数的定义和性质，得出结论．
本题主要考查共轭复数的定义和性质，属于基础题．
11.【答案】AB
【解析】解：已知点O是△ABC的重心，
如图记D为BC中点，连接OA，OB，OC，OD，
则O为AD靠近点D的三等分点，
对于A选项：在△OBC中，因为D是BC的中点，
所以OB+OC=2OD,OA=−2OD，所以OA+OB+OC=0，故A选项正确；
对于B、C选项：在△ABC中，因为D是BC的中点，
所以AB+AC=2AD,AO=23AD，所以13(AB+AC)=AO，故B选项正确，C选项错误；
对于D选项：因为OB+OC=2OD,AB+AC=2AD=6OD，所以OB+OC=13(AB+AC)，故D选项错误；
故说法正确的是A、B选项．
故选：AB.
利用重心的性质，结合图形可解．
本题考查了平面向量基本定理和重心的性质，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：由于a2+c2−b2>0，所以csB=a2+c2−b22ac>0，
则△ABC中角B为锐角，其余两角不定，故选项A错误；
△ABC为锐角三角形，可知A+B<π2，即0则sinA>sin(π2−B)，即sinA>csB，故选项B正确；
由于sin2A=sin2B，A，B∈(0,π)，可得2A=2B或2A+2B=π，
则A=B或A+B=π2，故选项C正确；
由c=acsB结合正弦定理可得sinC=sinAcsB，
sin(π−(A+B))=sinAcsB，sin(A+B)=sinAcsB，
csAsinB=0，可得csA=0，则A=π2，故选项D正确．
故选：BCD.
由于锐角三角形需三个角都为锐角，而a2+c2−b2>0只能判定B，选项A可判定；△ABC为锐角三角形中A+B<π2，结合正弦函数的单调性，可判定选项B；由于sin2A=sin2B，可知2A，2B相等或互补，C选项判定；由于c=acsB，结合正弦定理化边为角，再消角化简，可判定选项D.
本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，属于中档题．
13.【答案】−35
【解析】解：由已知可得z=3+4ii=4−3i，
所以，复数z的虚部为−3，
|z|= 42+(−3)2=5.
故答案为：−3；5.
利用复数的除法法则可化简复数z，利用复数的概念及模长公式可得．
本题考查复数的运算，属于基础题．
14.【答案】 65
【解析】【分析】
本题考查了向量数量积的坐标运算及向量模的运算，属基础题．
由向量数量积的坐标运算得：(−2)×(2m−1)+(3m−2)×2=0，解得：m=1，由向量模的运算得：|2a−3b|= 82+12，即可求解．
【解答】
解：由平面向量a=(2m−1,2)，b=(−2,3m−2)，且a⊥b，
得：(−2)×(2m−1)+(3m−2)×2=0，
解得：m=1，
则2a−3b=(8,1)，
所以|2a−3b|= 82+12= 65，
故答案为： 65.
15.【答案】( 510, 55)
【解析】解：向量a在向量b上的投影向量是|a|⋅csπ3⋅b|b|=1⋅12⋅b 5= 510(1,2)=( 510, 55).
故答案为：( 510, 55).
直接利用向量在向量上的投影向量的定义求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
16.【答案】4 33+2
【解析】解：∵△ABC中，AB=2，∠C=π3，
∴c=2；
csinC=bsinB=2sinπ3=4 33；
∴b=4 33sinB；
则AB⋅AC=cbcsA
=8 33sinBcsA
=8 33sinBcs(120∘−B)
=8 33sinB(cs120∘csB+sin120∘sinB)
=8 33sinB( 32sinB−12csB)
=2 33(2 3sin2B−sin2B)
=2 33[ 3(1−cs2B)−sin2B]
=2 33[ 3−2sin(2B+60∘)]；
∴0∘∴当2B+60∘=270∘时⇒即B=105∘；
AB⋅AC取最大值为：2 33[ 3−2×(−1)]=2+4 33；
故答案为：2+4 33.
先利用正弦定理得到b=4 33sinB；再根据AB⋅AC=cbcsA=8 33sinBcsA=8 33sinBcs(120∘−B)结合二倍角以及辅助角公式；即可整理得到AB⋅AC的=2 33[ 3−2sin(2B+60∘)]；之后结合角B的范围即可求解
本题考查了数量积运算性质、正弦定理的应用，三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
17.【答案】解：(1)∵z1=1+ai，
∴z12=1−a2+2ai，
∵z12为纯虚数，
∴1−a2=02a≠0，解得a=−1或a=1(舍去)，
∴a=−1.
(2)由(1)得：z1=1−i
∴z2=z11+i+2=1−i1+i+2=2−i，
∴z2−=2+i.
【解析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解．
(2)根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，复数模公式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)A(−2,1)，B(1,3)，
则线段AB的中点M的坐标为(−12,2)；
(2)当点P是线段靠近A的三等分点时，
设P(x,y)，
AP=13AB，
则(x+2,y−1)=13(3,2)，即x+2=13×3y−1=23，即x=−1y=53，即P(−1,53)；
当点P是线段靠近B的三等分点时，
设P(x,y)，
则AP=23AB，即(x+2,y−1)=23(3,2)，即x+2=23×3y−1=43，即x=0y=73，
故点P(0,73)，
综上所述，P(−1,53)或P(0,73).
【解析】(1)结合中点坐标公式，即可求解；
(2)结合向量的坐标运算法则，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查向量的坐标运算法则，属于基础题．
19.【答案】解：(1)由题设，a=2e1+3e2,b=2e1−e2，
所以a⋅b=(2e1+3e2)⋅(2e1−e2)=4e12+4e1⋅e2−3e22=4+4cs60∘−3=3.
(2)由已知c=x0e1+y0e2，则|c|2=c2=(x0e1+y0e2)2=x02e12+2x0y0e1⋅e2+y02e22=x02+x0y0+y02，
所以|c|= x02+x0y0+y02.
【解析】(1)由题意a=2e1+3e2,b=2e1−e2，应用向量数量积的运算律求a⋅b；
(2)由c=x0e1+y0e2，结合|c|2=c2=(x0e1+y0e2)2即可求结果．
本题主要考查了向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题．
20.【答案】解：在△ADC中，CD=20，∠ACD=30∘，∠ADC=60∘+45∘=105∘，
∴由正弦定理求得AC=DC⋅sin105∘sin45∘=20× 6+ 24 22=10(1+ 3)，
BC=DC⋅sin45∘sin45∘=20sin45∘sin45∘=20，
在△ABC中，由余弦定理得，AB= AC2+BC2−2AC×BCcs∠BCA=10 6米．
∴A，B两点间的距离为10 6米．
【解析】由已知由正弦定理可求得AC，BC，在△ABC中，由余弦定理可求得AB.
本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)已知向量p=(csA,sinA)，q=(sinB,csB)，
因为p//q，
所以csAcsB=sinAsinB，
所以cs(A+B)=0，
因为0所以A+B=π2，
故C=π2.
(2)因为p⋅q=sin2C，
所以csAsinB+sinAcsB=sin2C，
即sin(A+B)=sin2C，
因为A+B+C=π，
则C=π−(A+B)，
所以sinC=sin(A+B)=sin2C，
即sinC=2sinCcsC.
因为C∈(0,π)，
即sinC≠0，
所以csC=12，
即C=π3，
由余弦定理a2+b2−2abcsC=c2得a2+b2−ab=4，(a,b,c分别为内角A，B，C的对边)，
由基本不等式a2+b2≥2ab得ab≤4，当且仅当a=b=2时，取得等号，
所以S△ABC=12absinC= 34ab≤ 3，当且仅当a=b=2时，取得等号，
所以△ABC面积的最大值为 3.
【解析】(1)由向量共线的坐标运算，结合两角和与差的三角函数求解；
(2)由余弦定理，结合三角形的面积公式及基本不等式的应用求解．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了余弦定理及基本不等式的应用，属中档题．
22.【答案】解：(1)△AEM中，由余弦定理得，AE2=MA2+ME2−2MA⋅MEcsπ3=9，
所以MA2+ME2=9+MA⋅ME，
所以(MA+ME)2=MA2+ME2+2MA⋅ME=9+3MA⋅ME≤9+3⋅(MA+ME2)2，解得(MA+ME)2≤36，
即MA+ME≤6，当且仅当MA=ME=3时等号成立，
所以两机器人运动路程和的最大值为6.
(2)(i)在△AEM中，因为机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，所以AM=2EM，
因为α=θ=π3，所以两机器人的运动方向平行，
不论AD多长，机器人乙都不可能拦截到甲，所以不可能拦截成功．
(ii)设EM=x，则AM=2EM=2x，x∈(1,3).
由余弦定理得cs(π−θ)=32+x2−(2x)22×3×x=32x−x2，所以csθ=x2−32x，
所以xsinθ= x2(1−cs2θ)= x2(1−(x2−32x)2)= −14(x2−5)2+4，
由题意得AD≥xsinθ对任意x∈(1,3)恒成立，
所以AD≥(xsinθ)max，当且仅当x= 5时取到等号．
所以矩形区域ABCD的宽AD至少为2米，才能确保无论θ的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域ABCD内成功拦截机器人甲．
【解析】(1)△AEM中，运用余弦定理和不等式的性质，求解即可．
(2)(i)因为α=θ=π3，两机器人的运动方向平行，不能相交，即不可能拦截成功．
(ii)设EM=x，得AM=2EM=2x，x∈(1,3)，运用余弦定理求解csθ，得出xsinθ，再结合AD≥xsinθ对任意x∈(1,3)恒成立，求解即可．
本题考查了函数的实际应用，以及正余弦定理的使用，也考查了运算求解能力，是中档题．