2023-2024学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年江苏省扬州中学高一（下）期中数学试卷-普通用卷，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.复数1+i1−i在复平面内对应的点的坐标是( )
A. (0,1)B. (0,−1)C. (1,0)D. (−1,0)
2.用二分法研究函数f(x)=x2+3x−1的零点时，第一次经过计算发现f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点∈(0,0.5)，则第二次还需计算函数值( )
A. f(1)B. f(−0.5)C. f(0.25)D. f(0.125)
3.已知△ABC中内角A、B、C的对边分别是a、b、c，c=6，a=4，B=120∘，则b=( )
A. 76B. 2 19C. 27D. 2 7
4.已知向量a=(−3,4)，b=(1,0)，向量a在向量b方向上的投影向量的模为( )
A. −35B. 35C. 3D. −3
5.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则BE=( )
A. 23BA+16BC
B. 13BA+13BC
C. 23BA+13BC
D. 13BA+16BC
6.函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x的最大值为( )
A. 4B. 3C. 2+1D. 2
7.已知cs(θ+20∘)=cs(θ+40∘)+cs(θ−40∘)，则tanθ=( )
A. 33B. − 33C. 3D. − 3
8.若△ABC的角A，B，C所对边a，b，c，且满足a−2b+4bsin2A+B2=0，则tanA的最大值为( )
A. 64B. 33C. 34D. 62
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若复数z1>z2，则z1，z2∈R
B. 若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i
C. 若复数z1，z2满足z12+z22=0，则z1=z2=0
D. 若(1+2i)a+b=2i，其中i为虚数单位，a，b为实数，则a=1，b=−1
10.若平面向量a=(n,2)，b=(1,m−1)，其中n，m∈R，则下列说法正确的是( )
A. 若2a+b=(2,6)，则a//b
B. 若a=−2b，则与b同向的单位向量为( 22,− 22)
C. 若n=1，且a与b的夹角为锐角，则实数m的取值范围为(12,3)∪(3,+∞)
D. 若a⊥b，则z=2n+4m的最小值为4
11.在扇形OAB中，OA=2，∠AOB=90∘，点C在弧AB上运动且不与点A，B重合，OD⊥BC于点D，OE⊥AC与点E，则( )
A. DE的长为定值
B. ∠DOE的大小为定值
C. △ODE面积的最大值为12tan3π8
D. 四边形ODCE的面积的最大值为 2+22
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知A(−1,2)，B(2,0)，C(x,3)，且AB⊥AC，则x=______.
13.已知sin(2θ−π6)=−13，θ∈(0,π2)，则sin(θ+π6)=______.
14.已知O为△ABC的内心，cs∠ABC=14，且满足BO=xBA+yBC，则x+y的最大值为______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
复数z=a2−a−6+(a2−3a−10)i，其中a∈R.
(1)若复数z为实数，求a的值；
(2)若复数z为纯虚数，求a的值.
16.(本小题15分)
已知|a|=|b|=1，且(2a−b)⋅(3a−2b)=8.
(1)求a⋅b的值；
(2)求a+b与a的夹角.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边a，b，c，满足b2=ac且2B=A+C.
(1)若b=2，求△ABC的面积；
(2)求1tanA+1tanC的值.
18.(本小题17分)
某商场准备在商场门前“摆地摊”，经营冷饮生意.已知该商场门前是一块角形区域，如图所示，其中∠APB=120∘，且在该区域内点R处有一个路灯，经测量点R到区域边界PA，PB的距离分别为RS=4m，RT=6m.设计者准备过点R修建一条长椅MN(点M，N分别落在PA，PB上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计)，以供购买冷饮的人休息.
(1)求点S到点T的距离；
(2)求点P到点R的距离；
(3)为优化经营面积，当PM等于多少时，该三角形PMN区域面积最小？并求出面积的最小值.
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=asinx+bcsx+csin2x+1(a,b,c∈R).
(1)当a=b=c=1时，求f(x)的值域；
(2)当a=1，b=−1，c=0时，设g(x)=f(x)+32lnx−1，求证：函数g(x)有且只有一个零点；
(3)当a= 3,b=1,c=0时，若实数m，n，p使得mf(x)+nf(x−p)=1对任意实数x恒成立，求csp2024m+n的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：复数1+i1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=i在复平面内对应的点的坐标(0,1).
故选：A.
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，第一次经过计算发现f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点∈(0,0.5)，
由于12(0+0.5)=0.25，则第二次需计算f(0.25)，
故选：C.
根据题意，由二分法的步骤分析可得答案．
本题考查二分法的应用，注意二分法的步骤，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，△ABC中，c=6，a=4，B=120∘，
则b2=a2+c2−2accsB=36+16+24=76，
则b=2 19，
故选：B.
根据题意，由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，代入数据计算可得答案．
本题考查余弦定理的应用，注意余弦定理的形式，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由题意知向量a=(−3,4)，b=(1,0)，则a⋅b=−3
故向量a在向量b方向上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−31⋅(1,0)1=(−3,0)，
故向量a在向量b方向上的投影向量的模为 (−3)2=3.
故选：C.
求出a⋅b，根据投影向量的概念求出向量a在向量b方向上的投影向量，根据模的计算公式，即可求得答案．
本题主要考查投影向量的求解，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：由题意可得：BE=BA+AE，AE=13AD，AD=AB+BD，BD=12BC，
∴BE=23BA+16BC，
故选：A.
利用向量共线定理、三角形法则即可得出结论．
本题考查了向量三角形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：∵函数f(x)=2sinxcsx+2cs2x=sin2x+cs2x+1= 2sin(2x+π4)+1的最大值为 2+1，
故选：C.
由题意利用二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式，化简函数的解析式，再利用正弦函数的最大值，得出结论．
本题主要考查二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式，正弦函数的最大值，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：因为cs(θ+20∘)=cs(θ+40∘)+cs(θ−40∘)=2csθcs40∘，
所以csθcs20∘−sinθsin20∘=2csθcs40∘，
则cs20∘−sin20∘×tanθ=2cs40∘，
则tanθ=cs20∘−2cs40∘sin20∘=cs(30∘−10∘)−cs(30∘+10∘)−cs40∘sin20∘
=cs30∘cs10∘+sin30∘sin10∘−cs30∘cs10∘−sin30∘sin10∘−cs40∘sin20∘
=sin10∘−sin50∘sin20∘=sin(30∘−20∘)−sin(30∘+20∘)sin20∘
=−2sin20∘cs30∘sin20∘
=−2cs30∘=− 3.
故选：D.
由已知结合和差角公式进行化简可表示tanθ，然后结合和差角公式进行化简即可求解．
本题主要考查了和差角公式及同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】解：A+B+C=π，
a−2b+4bsin2A+B2=0，
则a−2b+4bcs2C2=0，即a−2b+4b⋅1+csC2=0，即a+2bcsC=0，即sinA+2sinBsinC=0，
故sin(B+C)+2sinBcsC=3sinBcsC+csBsinC=0，
所以3sinBcsC=−csBsinC，
B，C均为三角形内角，
则sinB>0，sinC>0，
故csB，csC不能同时为0，
所以tanC=−3tanB，
不妨设tanB>0，
tanA=−tan(B+C)=−tanB+tanC1−tanBtanC=2tanB1+3tan2B=21tanB+3tanB≤22 3= 33，
当且仅当tanB= 33，tanC=− 3，即B=π6，C=2π3时，等号成立，
故tanA的最大值为 33.
故选：B.
根据已知条件，结合正弦定理，推得tanC=−3tanB，再结合正切函数的两角和公式，以及基本不等式的公式，即可求解．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，由复数的定义，若复数z1>z2，必有z1，z2∈R，A正确；
对于B，若i为虚数单位，n为正整数，则i4n+3=i3=−i，B错误；
对于C，当z1=1，z2=i时，满足z12+z22=0，但z1=z2=0不成立，C错误；
对于D，若(1+2i)a+b=2i，变形可得a+b+2ai=2i，则有a+b=02a=2，解可得a=1，b=−1，D正确．
故选：AD.
根据题意，由复数的定义分析A，由复数的四则运算分析B和D，举出反例可得C错误，综合可得答案．
本题考查复数的运算和定义，注意复数的定义，属于基础题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于A，2a+b=(2n+1,3+m)=(2,6)，则2n+1=23+m=6，解得n=12m=3，
则a=(12,2)，b=(1,2)，显然不存在λ，使b=λa，即a，b不共线，故A错误；
对于B，a=−2b，则n=22=−2(m−1)，解得m=0n=−2，即a=(−2,2)，b=(1,−1)，|b|= 12+(−1)2= 2，
则与b同向的单位向量为b|b|=( 22,− 22)，故B正确；
对于C，当n=1时，a=(1,2)，又a与b的夹角为锐角，则a⋅b=1×1+2×(m−1)>0m−1≠2，
解得m>12且m≠3，即m∈(12,3)∪(3,+∞)，故C正确；
对于D，由a⊥b，得a⋅b=n+2(m−1)=2m+n−2=0，即2m+n=2，则z=2n+22m≥2 22m+n=2 22=4，
当且仅当2n=22m，即n=2m=1时取等号，故D正确．
故选：BCD.
利用向量坐标运算求出m，n判断A；利用数乘向量结果求出m，n，再求出单位向量判断B；利用向量夹角为锐角列出不等式求解判断C；利用向量垂直的坐标表示，结合基本不等式求解判断D.
本题考查平面向量的数量积与夹角，涉及平行与垂直的性质，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：根据题意，可得∠ACB=12(2π−∠AOB)=3π4，
连接OC，设∠OCA=θ，则∠OCB=3π4−θ，θ∈(π4,π2).
则CD=OCcs∠OCD=2cs(3π4−θ)，CE=OCcs∠OCE=2csθ，
对于A，△CDE中，DE2=CD2+CE2−2CD⋅CEcs3π4=4cs2(3π4−θ)+4cs2θ+4 2csθcs(3π4−θ)
=2[1+cs(3π2−2θ)]+4cs2θ+4 2csθ(− 22csθ+ 22sinθ)
=2−2sin2θ+4cs2θ−4cs2θ+4sinθcsθ=2，可得DE= 2为定值，故A项正确；
对于B，四边形ODCE中，∠DOE=2π−∠ODC−∠OEC−∠DCE=2π−π2−π2−3π4=π4，故B项正确；
对于C，OD=OCsin∠OCD=2sin(3π4−θ)，OE=OCsin∠OCE=2sinθ，
所以△ODE面积S△ODE=12OD⋅OEsinπ4= 2sinθsin(3π4−θ)=sinθcsθ+sin2θ
=12sin2θ+12(1−cs2θ)=12+ 22sin(2θ−π4)，
而θ∈(π4,π2)，即2θ−π4∈(π4,3π4)，所以θ=3π8时，△ODE面积的最大值为12+ 22，
结合tan3π8=1−cs3π4sin3π4= 2+1，可得△ODE面积的最大值为12tan3π8，故C项正确；
对于D，由前面的分析得S△OCD=12OD⋅CD=2sin(3π4−θ)cs(3π4−θ)=sin(3π2−2θ)=−cs2θ，
S△OCE=12OE⋅CE=2sinθcsθ=sin2θ，可得S四边形ODCE=S△OCD+S△OCE=sin⁡2θ−cs⁡2θ= 2sin⁡(2θ−π4)，
当2θ−π4=π2时，即θ=3π8时，sin(2θ−π4)的最大值为1，所以S四边形ODCE的最大值为 2，故D项不正确．
故选：ABC.
连接OC，设∠OCA=θ，可推导出∠OCB=3π4−θ，其中θ∈(π4,π2)，从而将CD、CE、OD、OE表示为θ的三角函数表达式，然后利用余弦定理与三角恒等变换公式，计算出CD长，从而判断出A项的正误；利用四边形内角和定求出∠DOE的大小，从而判断出B项的正误；根据三角形的面积公式、三角恒等变换公式与正弦函数的最值，求出△ODE面积的最大值与四边形ODCE的最大值，进而判断出C、D两项的正误．
本题主要考查三角恒等变换公式、解三角形及其应用、正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．
12.【答案】−13
【解析】解：AB=(3,−2),AC=(x+1,1)，
因为AB⊥AC，所以AB⋅AC=(3,−2)⋅(x+1,1)=3x+3−2=0，
解得x=−13.
故答案为：−13.
先得到AB=(3,−2),AC=(x+1,1)，根据垂直得到方程，求出答案．
本题主要考查平面向量垂直的性质，属于基础题．
13.【答案】 33
【解析】解：∵θ∈(0,π2)，
∴2θ−π6∈(−π6,5π6)，又sin(2θ−π6)=−13<0=−13<0，
∴2θ−π6∈(−π6,0)，cs(2θ−π6)= 1−sin2(2θ−π6)=2 23，
∴2cs2(θ−π12)−1=2 23，解得cs2(θ−π12)=2 2+36，
∴sin2(θ−π12)=1−cs2(θ−π12)=3−2 26，
∵2θ−π6∈(−π6,0)，
∴θ−π12∈(−π12,0)，
∴cs(θ−π12)= 2 2+36=2 3+ 66，sin(θ−π12)=− 3−2 26= 6−2 36，
∴sin(θ+π6)=sin(θ−π12+π4)=sin(θ−π12)csπ4+cs(θ−π12)sinπ4= 6−2 36× 22+2 3+ 66× 22= 33.
故答案为： 33.
由已知结合同角基本关系及二倍角公式可先求出cs(θ−π12)，sin(θ−π12)，然后结合两角和的正弦公式即可求解．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，二倍角公式的应用，属于中档题．
14.【答案】8−2 65
【解析】解：设△ABC的内切圆半径为r，延长BO交AC于D，则OD≥r，
因为O为三角形内心，
所以BD平方∠ABC，
因为cs∠ABC=14=1−2sin2∠ABC
故sinB2= 64，
设BO=λBD=xBA+yBC，
所以BD=xλBA+yλBC，
由A，D，X共线，可得x+y=λ，
所以x+y=λ=|BO||BD|=|BO||BO|+|OD|≤|BO||BO|+r=11+r|BO|=11+sinB2=11+ 64=8−2 65，
故答案为：8−2 65.
延长BO交AC于D，则OD≥r，将x+y取值问题转化为求|BO||BD|的比值问题，将比值展开，结合三角形内心性质即可求解．
本题主要考查了向量的线性表示及三角形内心性质的应用，属于中档题．
15.【答案】解：(1)复数z为实数，则a2−3a−10=0，即a=5或a=−2；
(2)若复数z为纯虚数，则a2−a−6=0a2−3a−10≠0，解得a=3.
【解析】(1)复数z为实数，则a2−3a−10=0，求解即可；
(2)复数z为纯虚数，则a2−a−6=0a2−3a−10≠0，求解即可．
本题考查了复数的概念，属基础题．
16.【答案】解：(1)因为(2a−b)⋅(3a−2b)=6a2−7a⋅b+2b2=−7a⋅b+8=8，
所以a⋅b=0；
(2)由已知可得，(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=2，
所以|a+b|= 2，
又(a+b)⋅a=a2+a⋅b=1，
所以cs=(a+b)⋅a|a+b||a|= 22，
又∈[0,π]，
所以=π4.
【解析】(1)由(2a−b)⋅(3a−2b)=8展开，结合已知，即可得出答案；
(2)根据向量的运算律得出|a+b|以及(a+b)⋅a的值，即可根据数量积定义式，得出答案．
本题考查了平面向量数量积和两向量的夹角公式，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为2B=A+C，在三角形中可得2B+B=π，可得B=π3，
因为b=2，b2=ac，所以ac=4，
所以S△ABC=12acsinB=12×4× 32= 3；
(2)因为1tanA+1tanC=csAsinA+csCsinC=sinCcsA+sinAcsCsinAsinC=sin(A+C)sinAsinC=sinBsinAsinC= 32sinAsinC= 32sinAsinC，
由正弦定理可得asinA=csinC=bsinB=b 32，
可得sinAsinC= 3a2b⋅ 3c2b=3ac4b2，而b2=ac，
由(1)可得sinAsinC=34，
所以1tanA+1tanC= 32×34=2 33.
【解析】(1)由题意及三角形内角和定理，可得角B的大小，由题意题意可得ac的值，代入三角形的面积公式可得该三角形的面积；
(2)将tanA，tanC化简为正弦与余弦之比，再由正弦定理可得sinAsinC的值，即可求出答案．
本题考查正弦定理及三角形的面积公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)连接ST，PR，在四边形SRTP中，
因为RS⊥PA，RT⊥PB，∠APB=120∘，
所以∠SRT=60∘.
在△RST中，
由余弦定理可得ST2=42+62−2×4×6×cs60∘=28，
所以ST=2 7(m).
(2)在△RST中，
由余弦定理可得：
cs∠STR=ST2+RT2−SR22ST⋅RT
=(2 7)2+62−422×2 7×6=2 77，
则sin∠PTS=sin(90∘−∠STR)=cs∠STR=2 77，
在△PST中，由正弦定理可得SPsin∠PTS=STsin∠SPT，
解得SP=STsin∠PTSsin∠SPT=2 7×2 77 32=8 33.
在Rt△SPR中，由勾股定理得PR2=RS2+SP2=42+(8 33)2=1123，
所以PR=4 213(m).
(3)因为S△PMN=12PM⋅PN⋅sin120∘= 34PM⋅PN，
S△PMN=S△PRM+S△PRN=12PM×4+12PN×6=2PM+3PN，
所以 34PM⋅PN=2PM+3PN≥2 6PM⋅PN，
所以PM⋅PN≥128，
当且仅当PM=8 3时等号成立，
因此S△PMN= 34PM⋅PN≥32 3(m2)，
所以当PM=8 3m时，三角形PMN区域面积最小，最小值为32 3m2.
【解析】(1)连接ST，PR，由四边形内角和得∠SRT=60∘，结合余弦定理即可求解；
(2)由余弦定理求得cs∠STR的值，进一步结合诱导公式得sin∠PTS=cs∠STR，再一次，利用正弦定理得SP=STsin∠PTSsin∠SPT，最终在Rt△SPR中，由勾股定理列式即可求解；
(3)由三角形PMN面积的两种表示方法得 34PM⋅PN=2PM+3PN，结合基本不等式得PM⋅PN的范围，进一步结合三角形面积公式即可求解．
本题主要考查函数的应用问题，利用余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
19.【答案】解：(1)当a=b=c=1时，f(x)=sinx+csx+sin2x+1，
令t=sinx+csx= 2sin(x+π4)∈[− 2, 2]，
两边同时平方得，t2=1+2sinxcsx=1+sin2x，
则sin2x=t2−1，
则f(x)=h(t)=t2+t=(t+12)2−14，
根据二次函数的性质可知，函数的值域为[−14,2+ 2]；
证明：(2)当a=1，b=−1，c=0时，g(x)=sinx−csx+32lnx= 2sin(x−π4)+32lnx，x∈(0,+∞)，
当x∈(0,3π4]时，g(x)单调递增，g(π4)=32lnπ4<0,g(π2)=1+32lnπ2>0，所以g(x)在(0,3π4]有唯一零点；
当x∈(3π4,5π4]时， 2sin(x−π4)≥0,32lnx>0，所以g(x)>0无零点；
当x∈(5π4,+∞)时，5π4>e,32lnx>32> 2，所以g(x)>0无零点．
综上：g(x)有且只有一个零点．
解：(3)当a= 3,b=1,c=0时，f(x)= 3sinx+csx+1=2sin(x+π6)+1，
于是mf(x)+nf(x−p)=1，即为2msin(x+π6)+2nsin(x+π6−p)+m+n=1，
所以2(m+ncsp)sin(x+π6)−2nsinpcs(x+π6)+m+n−1=0，对任意意实数x恒成立，
所以m+ncsp=0,(1)nsinp=0,(2)m+n−1=0,(3)，
若n=0，由(1)m=0不满足(3)，故n≠0，
由(2)sinp=0，故p=2kπ或p=2kπ+π(k∈Z)，
当p=2kπ时，csp=1，则(1)(3)矛盾，故p=2kπ+π(k∈Z)，则csp=−1，
由(1)(3)知m=n=12，所以csp2024m+n=−22025.
【解析】(1)把a=b=c=1代入已知函数解析式，利用换元法，结合同角基本关系进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解；
(2)把a=1，b=−1，c=0代入已知函数解析式，求出g(x)，结合g(x)的单调性及零点存在定理即可证明；
(3)结合辅助角公式先对f(x)化简，然后结合已知等式恒成立可得关于m，n，p的方程，结合正弦函数的性质即可求解．
本题综合考查了正弦函数的性质，二次函数性质，函数零点存在定理的综合应用，属于中档题．