2024年江苏省南京师范大学附属中学江宁分校中考数学三模试题

这是一份2024年江苏省南京师范大学附属中学江宁分校中考数学三模试题，共31页。试卷主要包含了全卷满分120分，因式分解等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．有理数的相反数是（ ）
A．B．3C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，若“馬”的坐标为，“車”的坐标为，则“炮”的坐标为（ ）

A．B．C．D．
4．某中学个班参加春季植树活动，具体植树情况统计如下表
则该校班级种植树木的中位数和众数分别为（ ）
A．，7B．，7C．，D．，
5．如图是凸透镜成像示意图，是蜡烛通过凸透镜所成的虚像．已知蜡烛的高为，蜡烛与凸透镜的水平距离为，该凸透镜的焦距为，，则像的高为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，直线交坐标轴于点，，交反比例函数于点，，若，则的值为（ ）
A．6B．C．9D．12
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．今年春节黄金周上海共接待游客约16750000人，16750000这个数用科学记数法表示为 ．
8．因式分解： ．
9．不等式组的解集为，则的取值范围 ．
10．如图，在平行四边形中，，，，点M在上，且，点N在上．若平分四边形的面积，则的长度为 ．

11．月日是世界读书日，某校为了解该校名六年级学生每周阅读课外书籍的时间，随机抽取了该校名六年级学生，调查了他们每周阅读课外书籍的时间，并制作成如图所示的频数分布直方图，那么估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有 名．
12．如图，在中，，，D为边上一动点（不与点B重合），以为边作正方形，连接，则当的面积最大时，的长为 ．
13．已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
14．初三（1）班同学在“2024义卖”活动中表现特别突出，他们设计了甲乙两款纪念品．销售一件甲纪念品可获利：销售一件乙纪念品可获利；当销售量的比为时，总获利为．当销售量的比为时，总获利为 ．
15．如图，在中，，．以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E．若的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，（n为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是2，4，6，…，，顶点均在y轴上，点O是所有等边三角形的中心，点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
18．解方程：.
19．解不等式组：．
20．先化简，然后在中选一个你喜欢的值，代入求值．
21．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套
(1)求书籍和实验器材各有多少套？
(2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来
22．某超市以元每件的价格购进了一批玩具，并以每件不低于进货价且利润率不高于的价格进行销售．设售价为元/件，每天销售量为件，与满足一次函数关系，部分数据如下表所示．
(1)设每天销售利润为元，求与的函数表达式并写出的取值范围；
(2)当这种玩具每天销售利润为元时，求这种玩具的售价；
(3)当这种玩具的售价定为多少时，每天销售利润最大？最大利润是多少？
23．为促进学生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某校就学生对：A．实心球；B．立定跳远；C．跑步；D．跳绳，四种体育活动项目最喜欢的情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成如图1，图2的统计图，请结合图中的信息，解答下列问题：
(1)本次被抽取的学生总人数是______，将条形统计图补充完整．
(2)随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中再任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．
24．小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且、、三点在一直线上如图所示．假设测角仪器的高度忽略不计，求点离地面的距离结果精确到米．(参考数据：，，，)
25．如图，是的外接三角形，点D在上，，AD交BC于点E，交AC延长线于点F．
(1)求证：DF是的切线；
(2)若，，求BD的长；
(3)若BC是直径，如（3）题图，动点D运动到与点A在直径BC同侧，且．求证：．
26．如图1，正方形中，点E是上一点，连接交正方形对角线于点F，连接．

(1)求证：；
(2)如图2，连接交于点O，点M是上一点，连接交于点G，，延长交的延长线于点N．
①求证：；
②若，，求的长．
27．如图，某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式（b，c为常数），通过输入不同的b、c的值，在几何画板的展示区得到对应的抛物线．若所得抛物线恰好经过和两点，解决下列问题．
(1)求与抛物线相对应的b、c的值；
(2)若把抛物线相对应的b、c的值交换后，再次输入得到新的抛物线，求抛物线与x轴交点的坐标，并说明抛物线是否经过的顶点；
(3)另有直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，若的值是整数，请直接写出n的最大值．
题号
一
二
三
总分
得分
植树数目
班级数目
1
4
2
5
7
1
销售单价（元/件）
…
…
每天销售数量（件）
…
…
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查了求一个数的相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可．
【详解】解：有理数的相反数是，
故选：D．
2．D
【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，积的乘方计算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算正确，符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题主要考查了实际问题中用坐标表示位置，根据“馬”和“車”的坐标建立坐标系，进而得到“炮”的坐标即可．
【详解】解：根据题意可建立如下坐标系，
∴炮”的坐标为，
故选：C．

4．D
【分析】本题考查了中位数，众数．熟练掌握中位数，众数是解题的关键．
根据中位数，众数的定义求解作答即可．
【详解】解：由题意知，中位数为第位数的平均数即，
众数为，
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．先证得出，再证，根据相似三角形的对应边成比例得出，即可求出的长．
【详解】解：由题意得，，，，
四边形是平行四边形．
．
，
，
，
．
，
，
，
．
，
故选：D
6．C
【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，平行线分线段成比例，一元二次方程根与系数的关系，先根据，可得，过点作轴的垂线，垂足分别为，可得，根据，联立直线与反比例函数解析式，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解．
【详解】解：∵
∴
如图所示，过点作轴的垂线，垂足分别为，
∴
∴，即
∵
∴
设的横坐标为
∴
联立
即
∴
∴
解得：
故选：C．
7．
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
9．
【分析】本题考查根据不等式组的解集的情况求参数的范围，先解不等式组，根据不等式组的解集，得到关于的不等式，求解即可．
【详解】解不等式组，得：，
∵不等式组的解集为，
∴．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质，先作出辅助线，根据平行四边形的性质以及边长得到的长，再根据面积平分可得到，再根据证明出平行四边形以及直角三角形的勾股定理可得到结果，数形结合，作辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，取中点O，连接并延长交于点N，过A作于点G，过M作于点H，如图所示：
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分四边形的面积，
∴经过平分四边形的中心O，
∵在平行四边形中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查频数分布直方图，样本估计总体．用乘被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时所占的比例即可．解题的关键是正确理解题意并从频数分布直方图中获取相关信息．
【详解】解：由频数分布直方图可知：
每周阅读课外书籍的时间在至小时的学生约有：（名），
∴在被抽取的名六年级学生中每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有：
（名），
∴（名）
∴估计该校六年级学生每周阅读课外书籍的时间不少于小时的学生约有名．
故答案为：．
12．/
【分析】作于H，于 G，作于M，由等腰三角形三线合一可得，再证，计算出，，设，通过证明，可得，从而用含x的二次函数表示出，化为顶点式即可求解．
【详解】解：作于H，于 G，作于M，如图：
∵，，
∴，，
∵ ，，
∴，
∴，即，
∴，，
设，，
∵四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴ ，
∴ ，
∵
∴当时，最大，
此时，
故答案为：．
【点睛】本题考查全等三角形、等腰三角形、相似三角形、正方形、二次函数求最值综合，寻找线段与角度之间的等量关系是解题关键，二次函数求最值通常化为顶点式求解．
13．
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的定义和根与系数的关系，解题的关键是掌握，．把代入原方程得 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出，，整理，即可求解．
【详解】解：把代入原方程得：，
∴，
∵，是方程的两个实数根，
∴，，
∴
；
故答案为：4049．
14．
【分析】本题考查了分式方程，利润、成本及利润率的关系，设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，由“销售量的比为时，总获利为”及利润率公式，可求得a与b的关系，则可求得销售量的比为时的总获利．
【详解】解：设一件甲纪念品的成本为a元，一件乙纪念品的成本为b元，
则，
解得，
当销售量的比为时，总获利为：，
故答案为：．
15．/
【分析】连接，求出，得出，证明四边形为矩形，根据，得出四边形为正方形，根据求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定，扇形面积计算，等腰三角形的性质，解题的关键在作出辅助线，证明四边形四边形为正方形．
16．
【分析】此题考查了点的变化规律，主要利用了等边三角形的性质和解直角三角形求出点、、的坐标，找到点的变化规律，求出点的坐标，再利用轴对称的性质可得．
【详解】解：∵，，，…，（为正整数）均为等边三角形，它们的边长依次是，顶点均在轴上，
过点作轴于点B，连接，
∵点O是所有等边三角形的中心，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的坐标为，
同理可得，，
则第二个三角形的顶点的坐标为，
则第三个三角形的顶点的坐标为，
∵，
∴是第个等边三角形的第1个顶点，位于第三象限，
∴点的坐标是，
由与关于轴对称，
∴点的坐标是
故答案为：
17．
【分析】本题考查特殊三角函数值和实数的混合运算，解题的关键是掌握实数的混合运算法则．
先计算负整数指数幂，绝对值，二实数乘法，特殊三角函数值，再合并即可；
【详解】解：原式
．
18．
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：

经检验为原方程的根
19．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为．
20．，
【分析】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式运算法则是解题的关键．
先将原式小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的除法，最后根据分式有意义的条件选取合适的x的值代入求值．
【详解】解：原式，
当时，原式．
21．(1)书籍和实验器材各有240套，120套；
(2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键．
（1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得；
（2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得．
【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套，
由题意得，，
解得，
答：书籍和实验器材各有240套，120套；
（2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆，
由题意得，，
解得，
∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆．
22．(1)
(2)这种玩具的售价元/件
(3)当售价应定为元/件时，可获得最大利润，最大利润是元
【分析】（）依据题意，设y与x满足一次函数关系式为，再结合表格数据可得一次函数过(21,380), (22,360), 从而列方程组计算求出，即可得销量与售价的关系，再结合利润每件利润销量，即可得解析式，然后根据售价每件不低于进货价且利润率不高于，可得自变量的范围；
（）依据题意，令，从而，求出后，再结合自变量的范围即可得解；
（）依据题意，由利润，再由 ，，然后根据二次函数的性质即可判断得解；
本题主要考查了一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握知识的灵活运用．
【详解】（1）设关于的表达式为，将，代入，
得，
解得，
∴，
，
∵利润率不高于的价格进行销售，
∴
∴与的函数表达式；
（2）∵每天销售利润为元，
∴，
解得，，
∵，
∴，
答：这种玩具的售价元/件；
（3）∵，
∴，，
∴当时，取得最大值，此时，
答：当售价应定为元/件时，可获得最大利润，最大利润是元．
23．(1)150，图见解析
(2)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率：
（1）用的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出的人数，补全条形图即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】（1）解：，
∴的人数为：，补全条形图如图：
（2）画出树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中抽中2名女生的结果有2种，
∴．
24．6.2米
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题；
过点作于点，于点，先根据正切的定义求出，设米，根据坡度的概念用表示出，根据正切的定义列出方程，解方程得到答案．
【详解】解：在中，米，，
，
米，
过点作于点，于点，
则四边形为矩形，
，，
设米，
米，
斜坡的坡比是：，
米，
米，
在中，
解得：，经检验是原方程的解，
答：点离地面的距离约为米．
25．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】本题考查了圆的切线的判定、相似三角形的判定和性质及全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（1）连接，、，、，根据等弧所对弦相等得，在证是线段的中垂线，得，根据平行线的性质得，证，且是半径，再根据切线的判定定理可得答案；
（2）连接，证，即可得出结论；
（3）过点D作于点E，根据直径所对圆周角是直角得，，在证为等腰直角三角形，得，在证，依据，得出结论；
【详解】（1）证明：连接，、，、；
是线段的中垂线，
，
又，
，
，且是半径，
是的切线 ，
（2）连接．
，
，
又，
，
，
，
．
（3）过点D作于点E，
是直径，
，
，
又
在等腰直角三角形中
，
即，
在和中
又

26．(1)见解析
(2)①见解析；②
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理等等：
（1）只需要证明，即可证明．
（2）①先证明．再由全等三角形的性质得到，则，即可证明．
②作于点H．证明，得到．求出，，进而得到，则．再由，得到，则．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，．
在和中，，
∴，
∴．
（2）①证明：∵四边形为正方形，
∴，
∴，．
∵，
∴．
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
②解：如图，作于点H．

∵，，
∴，
∴，
∴．
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
27．(1)，
(2)；经过的顶点
(3)n的最大值为
【分析】（1）把和代入抛物线中解答即可；
（2）确定抛物线的顶点坐标，确定物线的解析式，令，解方程的根即可求抛物线与x轴交点的坐标，把抛物线的顶点坐标代入抛物线的解析式，验证说明即可；
（3）当时，得，，解得,,计算,，
得，令，根据反比例函数性质解答即可．
本题考查了待定系数法，抛物线与x轴的交点，解方程，反比例函数的性质，熟练掌握待定系数法，反比例函数的性质是解题的关键．
【详解】（1）把和代入抛物线，得
，
解得．
（2）∵,
∴的解析式为，
故抛物线的顶点坐标为；
根据题意，得抛物线的解析式，
令，
得，
解得，
故抛物线与x轴交点的坐标为；
当，
，
故抛物线经过的顶点．
（3）∵直线l：与抛物线交于点P，Q，与抛物线交于点M，N，
∴,
∴,
当时，
得，，
解得,,
∴,，
∴，
令，
根据反比例函数的性质，得当越小时，越大，
∵的值是整数，
∴y是整数，且是整数，
当时，不是整数，不符合题意；
当时，不是整数，不符合题意；
当时，是整数，符合题意；
∴的最小值是3，此时最大，此时，
故n的最大值为．
故n的最大值是．