湖南省长沙市广益实验中学2023-2024学年九年级下学期数学试题（三模）

这是一份湖南省长沙市广益实验中学2023-2024学年九年级下学期数学试题（三模），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的. 请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．的相反数是（ ）
A．B．C．D．2023
2．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（ ）
A．B．C．D．
4．顺次连接任意一个四边形各边中点所得到的四边形一定是（ ）
A．矩形B．菱形C．平行四边形D．正方形
5．已知蓄电池的电压（单位：）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示下列说法不正确的是（ ）
A．当时，B．蓄电池的电压是
C．当时，D．函数的表达式
6．如图，平移到的位置，则下列说法错误的是（ ）
A．B．
C．D．平移距离为线段的长
7．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，将菱形绕着点按顺时针方向旋转得到菱形，点的对应点在轴上，则点的对应点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10．已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（ ）

A．B．
C．，则D．若，则
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．比较大小： 5（填、或）
12．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）．
14．某学生数学课堂表现为90分、平时作业为90分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学总评成绩是 分．
15．如图，在中，，，，动点D从点B出发以的速度沿向点C匀速运动，过点D作，交边于点E，当点E落在边上的中点处时，点D移动的时间为 ．

16．雪花是一种美丽的结晶体，其形状我们可近似看作一个正六边形（如图所示），连接，若是边上的中点，连接，则的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
17．计算：．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求代数式的值，其中．
20．如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．求证：．
21．某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
(1)求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
(2)若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
22．如图，四边形内接于，是的直径，于点，是的切线．
(1)求证：平分；
(2)如果，的半径为4，求的长．
23．2020年起，相关统计部门持续推进长三角区域发展指数研究，设置了示范引领等6项一级指标，并测算了2016年以来的长三角区域发展总指数．
长三角区域发展总指数和示范引领分项指数统计表（以2015年为基期，基期指数为100）
请根据表中所给出的信息解答下列问题：
(1)长三角区域示范引领指数稳步增长，2022年为 ，与2015年相比，平均每年大约提高 （精确到0.1）；
(2)为进一步了解2016～2022年长三角区域发展总指数随年份变化的大致发展趋势，我们建立以年份为横坐标、总指数为纵坐标的平面直角坐标系，并根据上面的统计表画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，我们选择两个点、作一条直线来近似地表示2016～2022年长三角区域发展总指数不断增长的变化趋势．请以此估计2030年长三角区域发展总指数．
24．如图1，在中，，，是的中点，点是边上一点，连接，在线段的左侧作，射线与边交于点．

(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)如图2，过点作于点，与线段，交于点，，当点与点重合时，求的值．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，的面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值；
(3)抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标．
题号
一
二
三
总分
得分
分类
指数
2015年
2016年
2017年
2019年
2020年
2021年
2022年
2018年
示范引领
115.8
119.7
121.1
123.1
124.2
100.0
105.6
109.5
总指数
119.8
127.9
129.5
100.0
105.3
110.5
115.9
122.7
参考答案：
1．D
【分析】本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：的相反数为2023．
故选：D
2．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
3．A
【分析】本题考查了根据数轴比较实数的大小，熟知数轴上负方向的数总是小于正方向的数是解本题的关键．
根据数轴上负方向的数总是小于正方向的数即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：，
∴四个数种最小的数为，
故答案为：A．
4．C
【分析】本题考查三角形的中位线定理，平行四边形的的判定．如图，根据三角形的中位线得出，，进而得证平行四边形．
【详解】解：如图，四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式．根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
【详解】设，
∵图象过，
∴，故选项B正确，不符合题意，
∴，故选项D正确，不符合题意；
当时，，选项C正确，不符合题意；
根据函数图象可得当时，，选项A错误，符合题意；
故选：A．
6．D
【分析】本题考查平移的性质，平移前后图形的大小和形状不发生改变，对应线段相等且互相平行，对应点之间的连线互相平行，根据平移的性质逐项进行判断即可．
【详解】解：由平移的性质可知，，故选项A不符合题意；
由平移的性质可知，，故选项B不符合题意；
由平移的性质可知，，故选项C不符合题意；
由平移的性质可知，平移距离为线段的长，故选项D符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种，
∴他们选择的诗人相同的概率为，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查的是圆周角定理．先求得，得到，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．B
【分析】本题考查了坐标与图形、菱形的性质、旋转的性质，连接、交于点，由菱形的性质结合坐标可得，，从而得出，，，由旋转的性质可得，，求出的长度即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、交于点，
，菱形的顶点的坐标为，顶点的坐标为，
，，
，，，
由旋转的性质可得：，，
，
点的对应点的坐标为，
故选：B．
10．B
【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可．
【详解】解：A、根据函数图像可得当时，，故A错误；
B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确；
C、根据函数图像可得当，则，故C错误；
D、根据函数的对称性得：，则，故D错误；
故选：B．
11．
【分析】本题考查实数的大小比较，利用平方法比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数是解题即可．
【详解】由题意可得，
解得，
故答案为：．
13．
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小，
又∵点，在反比例函数的图象上，且，
∴，
故答案为：．
14．88
【分析】本题考查了加权平均数的计算，属于基本题型，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题关键．根据加权平均数的计算方法解答即可．
【详解】解：该学生数学学科总评成绩分．
故答案为：88．
15．
【分析】连接，先证是的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质得出，即可求出的度数，再根据锐角三角函数的定义即可求出的长，于是有的长，根据的长即可求解．本题考查了线段垂直平分线的性质，锐角三角函数，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
，点为的中点，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
是的外角，
，
设
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
即，
点移动的时间，
故答案为：
16．
【分析】本题考查正多边形和圆，根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理进行计算即可，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及勾股定理是正确解答的关键．
【详解】解：如图，取的中点，连接，由对称性可知，所在的直线是正六边形的对称轴，设圆心为，连接，
∵六边形是正六边形，点是中心，
∴，
∵，
∴是正三角形，
∴，
在中，设，则，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题主要考查了实数的运算，化简二次根式，先化简二次根式和绝对值，再计算乘法，最后计算加减法即可．
【详解】解；
．
18．
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：．
19．，
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值、分式的化简求值等知识点，掌握分式的混合运算法则以及特殊角的三角函数值成为解题的关键．
先根据分式的混合运算法则化简，然后再根据特殊角的三角函数值化简，最后代入计算即可．
【详解】解：，
；
，
所以原式．
20．见解析
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出，得到，由推出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
21．(1)600元，1000元
(2)购买A种型号帐篷15顶，购买B种型号帐篷5顶，总费用最低，最低总费用为14000元
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用：
（1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，根据购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元得：，即可解得A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，由B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，可得，而，由一次函数性质可得答案．
【详解】（1）解：设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，
根据题意得：，
解得，
∴A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）解：设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买B种帐篷顶，
∵B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，
∴，解得，
根据题意得：，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，
此时，
∴购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
（1）连接，利用切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质解答即可；
（2）利用圆周角定理和勾股定理求得，再利用相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】（1）证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
∴，
．
，
，
，
平分；
（2）解：是的直径，
，
的半径为4，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
23．(1)124.2，；
(2)136.3
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出直线的函数关系式是解题的关键．
（1）根据统计表数据解答即可；
（2）利用待定系数法求出直线的函数关系式，再把代入计算即可．
【详解】（1）解：由统计表可知，长三角区域示范引领指数稳步增长，2022年为124.2，与2015年相比，平均每年大约提高：，
故答案为：124.2，；
（2）设直线的函数关系式为，根据题意得：
，
解得，
直线的函数关系式为，
当时，，
答：此估计2030年长三角区域发展总指数为136.3．
24．(1)见解析
(2)；
(3)．
【分析】（1）证明，利用相似三角形的性质，即可得到；
（2）利用勾股定理求得，得到，，作，再求得，，据此求解即可；
（3）证明是等腰直角三角形，设，求得，证明，求得，根据，求得，再证明，据此求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
作，垂足为，

∵，
设，则，
∴，即，
∴，
∴，则，
∴，
∴；
（3）解：∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，

∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
设，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，即，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
25．(1)；
(2)或
(3)点横坐标为或或或．
【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据面积求出，将点代入函数解析式即可求的值，从而确定函数解析式即可；
（2）由题可知，再分别求出，，则，，根据，建立方程求出的值即可；
（3）由对称性可求，当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，可证明，设，则或，将点代入函数解析式求出的值即可求点横坐标；当点在轴上方时，同理可得或，再求点横坐标即可．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
、的中点为，
，
的面积为，
，
解得，
，
将点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：点的横坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
∵轴，
，
∵轴，
，
，，
，
，
解得或，
，
或；
（3）解：抛物线与关于轴对称，
，
当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
设，
，，
，
，
解得（舍）或，
点横坐标为；
同理可得，
，
解得或（舍），
点横坐标为；
当点在轴上方时，同理可得，
，
解得或（舍，
点横坐标为；
同理可得，
，
解得或（舍，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
小明小颖