2024年高考第三次模拟考试题：数学（解析版）

这是一份2024年高考第三次模拟考试题：数学（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则集合P的子集共有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
【答案】C
【解析】因为，，
所以，所以，则集合P的子集共有个．故选C.
2.古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分隔率，黄金分割率的值也可以 用2sin18°表示，即,设,则 （ ）
A.B.C.D.
2.【答案】A
【解析】故选A.
3.若的展开式中的的系数为,则实数（ ）
A.8. B.7C.9 D.10
3.【答案】B.
【解析】由题意知，的系数为,解得,故选 B.
4.甲、乙、丙、丁、戊5位同学报名参加学校举办的三项不同活动，每人只能报其中一项活动，每项活动至少有一个人参加，则甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．【答案】C
【解析】先将5名志愿者分成3组，第一类分法是3，1，1，第二类分法是2，2，1，再分配到三项活动中，总安排数为，甲、乙、丙三位同学所报活动各不相同排列数为，设过件为甲、乙、丙三个同学所报活动各不相同，．故选C.
5.设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
5.【答案】D
【解析】由等差数列的前项和公式，可得，可得，
又由且，
所以，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
6.已知函数，若沿轴方向平移的图象，总能保证平移后的曲线与直线在区间上至少有2个交点，至多有3个交点，则正实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.【答案】A
【解析】由题知，，若沿轴方向平移，考点其任意性，不妨设得到的函数，令，即，由正弦曲线性质知，至少有2解，至多有3解，则自变量的区间长度在到之间，耶，那，选A.
7.已知,则（ ）
A.B.C.D.
7.【答案】A
【解析】设则在上单调递减,
所以,所以
所以,故选 A.
8.已知正方体的棱长为为线段上的动点，则三棱锥外接球半径的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8.【答案】C
【解析】如图，连接，交于点，易多为的外心。
進接．交于点，易知平而三棱锥的外接球球心在上。
设的外接四四心为平面，且。
设的外接圆半径为．三棱锥的外接球半径为。
设．
又．
．
设，
设．则．
又易知．故选C.
选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9．已知复数,下列说法正确的有（ ）
A.若,则
B.若,则
C.若,则或
D.若,则
9.【答案】AC
【解析】,则,A对.
,则i满足条件，,B错.
,或,C对.
令，
则
不一定为0，D错，选AC.
10.已知抛物线y的焦点为,准线为,过F的直线与抛物线C交于A,B两点，为线段AB中点，分别为A,B,M在上的射影，且,则下列结论中正确的是
A.F的坐标为(1,0)
B.
C.四点共圆
D.直线AB的方程为
10.【答案】BCD.
【解析】F的坐标为(0,1),故A错.
过点B作BN垂直于AA',N为垂足，如图所示(点A在第一象限时)
设则
所以,直线AB的方程为
同理(点在第二象限时):直线AB的方程为
故D正确.
由题意可知所以.故B正确.
因为
所以
又因为
所以,即
所以四点共圆，故C正确.
所以选BCD.
11.对于满足，且对于．恒有．则（ ）
A．B．C．D．
11．【答案】ABD
【解析】令代入及，得，所以，令代入，得，答案A正确；由，得，进而得，，所以，BD正确，C错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．某工厂生产的产品的质量指标服从正态分布．质量指标介于99至101之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 （若，则
12.【答案】
【解析】因为，且，所以，
又质量指标介于99至101之间的产品为良品，且该产品的良品率达到，
所以，，，即，解得，
所以至多为．
故答案为：．
13.中，,分别为角的对边，若，，则的面积S的最小值为
13.【答案】
【解析】已知;且由余弦定理得,
整理得3,解得12或.(当时，,故舍去),
(当时取等号).从而S,即面积S的最小值为.
14.函数在范围内极值点的个数为
14.【答案】2
【解析】.
当时，；当时，；
当时，和均为单调减函数，又在上是单调增函数，
根据复合函数单调性可知为减函数，又，
故函数在该区间上存在一个零点，该零点为函数的极值点；
从而函数在内一共有2个极值点.
解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分) 己知函数,其中.
(I)若曲线在处的切线在两坐标轴上的截距相等,求的值;
(II)是否存在实数,使得在上的最大值是-3?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.
15.【答案】（1）（2）存在符合题意,此时
【解析】(I),则,
故曲线在处的切线为,即,
当时,此时切线为,不符合要求当时,令,有,
令,有,故,即,故 分
(II),
①当时,在上单调递增,
的最大值是,解得,舍去;分
②当时,由,得,
当,即时,时,时,,
的单调递增区间是,单调递减区间是,又在上的最大值为
; 分
当,即时,在上单调递增,,
解得,舍去.
综上,存在符合题意,此时 分
16.(本小题满分15分)某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票．为提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为36、60和24．
（1）若按购票类型采用分层随机抽样的方法从这120人中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取4人，求随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．
（2）记单程下山票和双程票为回程票，若在征集意见时要求把购买单程上山票的2人和购买回程票的m（且）人组成一组，负责人从某组中任选2人进行询问，若选出的2人的购票类型相同，则该组标为A，否则该组标为B，记询问的某组被标为B的概率为p．
（i）试用含m的代数式表示p；
（ii）若一共询问了5组，用表示恰有3组被标为B的概率，试求的最大值及此时m的值．
16．【答案】（1）（2）（i） （ii）
【解析】（1）因为购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数之比为，
所以这10人中，购买单程上山票、单程下山票和双程票的人数分别为：
，，，
故随机抽取的4人中恰有2人购买单程上山票的概率．…………6分
（2）（i）从人中任选2人，有种选法，其中购票类型相同的有种选法，则询问的某组被标为B的概率．…………8分
（ii）由题意，5组中恰有3组被标为B的概率，
所以，，
所以当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，取得最大值，且最大值为．
由，且，得．
当时，5组中恰有3组被标为B的概率最大，且的最大值为．…………15分
17.(本小题满分15分)如图，在平行六面体中，，，，，点P满足．
(1)证明：O，P，三点共线；
(2)求直线与平面PAB所成角的正弦值．
17．【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）证明：，所以，
而，
所以，即O，P，三点共线．………………6分
（2）连接，，，所以，，
，，，
由余弦定理得，
同理可得，．
又为BD的中点，，．
，，即．
如图，以O为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，………………10分
由（1）可得，P为线段三等分点，
所以，
，，，
设平面PAB的法向量为，则
令，则，．………………12分
设直线与平面PAB所成角为，
则，
直线与平面PAB所成角的正弦值为．………………15分
18.(本小题满分17分)
已知椭圆的左右焦点分别为,点在椭圆上，且在第一象限内，满足
(1)求的平分线所在的直线的方程；
(2)在椭圆上是否存在关于直线对称的相异的两点，若存在，请找出这两点；若不存在请说明理由；
(3)已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且双曲线与椭圆相交于,若四边形的面积最大时，求双曲线的标准方程。
18．【答案】（1）（2）不存在 （3）
【解析】(1)设的平分线与轴交于点，由题意知，，，A
所以，所以，所以，所以，
所以直线的方程为………………………………………5分
(2)假设存在两点关于直线对称，则，所以，
设直线的方程为，联立，得，
则，即,，.
所以的中点坐标为，因为的中点在直线：
所以，所以，所以的中点坐标为，与点A重合，矛盾，
所以不存在满足题设条件相异的两点………………………………………………12分
由题意知，，设与椭圆共焦点的双曲线的标准方程为
，设它们的一个交点坐标为，
它们的交点为顶点的四边形面积记，所以，
当且仅当取得等号，因为，所以，
所以，所以，所以双曲线的标准方程为.………………17分
19.(本小题满分17分)已知数列，记集合.
（1）若数列为，写出集合；
（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
（3）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
19【答案】（1）
（2）不存在，使得成立
（3）
【解析】（1）由题意可得，，，
所以. ……………………………………5分
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.……………………………………………10分
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.…………………………………………………………………17分