2024年高考第三次模拟考试题：数学（新高考新题型专用）（解析版）

这是一份2024年高考第三次模拟考试题：数学（新高考新题型专用）（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全解全析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，若中有2个元素，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两集合的元素特征和中只有2个元素的要求，可得到关于的不等式组，解之即得.
【详解】因为，，
又，中有2个元素，
所以中的2个元素只能是，则，解得.
故选：A.
2．某统计数据共有11个样本，它们依次成公差的等差数列，若第位数为，则它们的平均数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先根据分位数的定义判断第位数的位置，再利用等差数列的性质和平均数的计算公式求解即可.
【详解】由题意可知共有个样本，且从小到大依次排列，
因为，所以，
所以，
所以这11个样本的平均数为，
故选：D
3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据点线面的位置关系结合充分条件和必要条件判断即可.
【详解】若，，，则与的位置关系不能确定；
若，因为，所以，又，所以成立.
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
4．已知双曲线的左焦点为，为C上一点，且P与F关于C的一条渐近线对称，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据对称性求得的斜率，从而求得，再求离心率即可.
【详解】双曲线C的方程可设为，，，，，左焦点为F，O为坐标原点，连接OP．

因为双曲线上的一点与C的左焦点F关于C的一条渐近线对称，
所以，则．
又直线PF的斜率为，直线PF与渐近线垂直，所以该条渐近线的斜率为，
所以，则，所以C的离心率．
故选：D．
5．现将《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》、《三国演义》、《史记》、《资治通鉴》6本不同的书籍分发给甲乙丙3人，每人至少分得1本，已知《西游记》分发给了甲，则不同的分发方式种数是（ ）
A．180B．150C．120D．210
【答案】A
【分析】
根据题意，分2步进行分析：①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，由分步计数原理计算可得答案．
【详解】
根据题意，分2步进行分析：
①将6本不同的书籍分为3组，每组至少1本，
若分为4、1、1的三组，有种分组方法，
若分为3，2，1的三组，有种分组方法，
若分为2，2，2的三组，有种分组方法，
共有种分组方法，
②将《西游记》所在的组分发给了甲，剩下2组任意分配，有2种情况，
则有种分发方式．
故选：A．
6．过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，（ ）
A．B．C．4D．
【答案】D
【分析】利用数形结合，结合对称性，即可确定点的位置，即可求解.
【详解】
若直线关于直线对称，则直线与直线的夹角相等，
则与垂直，所以等于圆心到直线的距离，
即.
故选：D
7．在锐角中，角的对边分别为的面积为，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由面积公式与正余弦定理化简后得出关系后求解
【详解】由题意，而，
所以，由余弦定理得，
故，
又由正弦定理得，
整理得，
故或（舍去），得，
因为是锐角三角形，
故，
解得，故，
.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：关键是适当结合正弦定理、余弦定理进行边角转换由此即可顺利得解.
8．已知是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的中点到直线的距离记为，若，则的最小值为（ ）
A．B．2C．3D．
【答案】C
【分析】求解抛物线焦点和准线方程，设，由，根据余弦定理可得，根据抛物线定义和梯形中位线定理可得，代入，运用基本不等式计算即可求解最小值.
【详解】抛物线，即，则焦点为，
准线为，设，由，
可得，
由抛物线定义可得到准线的距离为，到准线的距离为，
由梯形的中位线定理可得，
由，可得，
即，
得，当且仅当取最小值.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．若复数（为虚数单位），则
B．若复数满足，则
C．若，则或
D．若复数满足，则复数对应点的集合是以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆
【答案】ABC
【分析】根据复数的基本概念、四则运算、几何意义即可得出结果
【详解】解：复数，
因为，所以，故选项A正确；
设，若复数满足，
则，即，所以，故选项B正确；
设，，
则．
因为，且，
所以．
若，则，所以或，故选项C正确；
由复数满足，则复数对应点的集合是一条线段，故选项D错误．
故选：ABC
10．已知函数，则（ ）
A．为偶函数
B．曲线的对称中心为
C．在区间上单调递减
D．在区间上有一条对称轴
【答案】BD
【分析】根据题意利用三角恒等变换整理得，结合正弦函数的性质逐项分析判断.
【详解】由题意可得：，
对于选项A：因为，所以为奇函数，故A错误；
对于选项B：令，解得，
所以曲线的对称中心为，，故B选项正确；
对于选项C：因为，
即，即在内不是单调递减，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且在内有且仅有一条对称轴，
所以在区间上有且仅有一条对称轴，故D选项正确；
故选：BD．
11．已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．为偶函数
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】已知抽象函数满足的条件，利用赋值法求相关性质和函数值．
【详解】因为，
令，得，即，所以函数为奇函数，故选项A不正确；
用替换，令，得，即，
又函数为奇函数，所以，所以，故选项B正确；
令，得，
即，即，
所以，所以函数的周期为2，
再由，令，可得，
由函数的周期性可知，，，
所以，故选项C不正确；
由，
令，得，
即①．
由，
令，得，
即，可得②．
由①+②整理后可得，即，故选项D正确.
故选：BD．
【点睛】方法点睛：
解答抽象函数问题，用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.
赋值主要从以下方面考虑：
① 令等特殊值求抽象函数的函数值；
② 令或，且，判定抽象函数的单调性；
③ 令，判定抽象函数的奇偶性；
④ 换为，确定抽象函数的周期；
⑤ 用或换x为等来解答有关抽象函数的其它一些问题.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设正项等比数列满足，，则的最大值为 .
【答案】64
【分析】根据题意，列出方程求得，代入公式计算，即可得到，从而得到结果.
【详解】设等比数列的公比为，由可得，
解得，所以，
于是当或4时，取得最大值.
故答案为：
13．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为 ．
【答案】
【分析】画出圆锥的截面，由圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，可得为等边三角形，借助圆锥的表面积公式计算即可得.
【详解】画出圆锥的轴截面如图所示，由O为圆锥的内切球球心，则有为的角平分线，
由O为圆锥的外接球球心，则，故，
故，又，故为等边三角形，
故，，则.
故答案为：.
14．已知，则使不等式能成立的正整数的最大值为 ．
【答案】
【分析】先研究的单调性，故可得，从而可求正整数的最大值.
【详解】设，故，
当时，；当时，；
故在上为增函数，在上为减函数，
因为，故即，故，
故，所以即，
而，，
故正整数的最大值为，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：导数背景下多变量的不等式问题，可根据题设中的不等式的形式构建新函数，从而得到各参数的取值范围.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）如图，在三棱柱中，，为的中点，平面.

(1)求证：；
(2)若，求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得，再利用线面垂直的判定、性质推理即得.
（2）由（1）的信息以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.
【详解】（1）在三棱柱中，，则，
由，得，在中，，
由余弦定理，得，，
于是，由平面平面，得，
而平面，因此平面，又平面，
所以，分
（2）由（1）知，两两垂直，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
由，得，则，
于是，设为平面的一个法向量，
则，取，得，显然为平面的一个法向量，
因此，显然二面角的大小为锐角，
所以二面角的余弦值为分

16．（15分）已知函数，.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若方程有三个不同的实根，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为和，单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式即可求出单调区间；
（2）由，可得为的一个根，
所以有两个不同于的实根，令，利用导数说明函数的单调性，从而得到当时且，即可求出参数的取值范围.
【详解】（1）当时，函数，
则，令得或
当或时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，
即当时，单调递增区间为和，单调递减区间为．分
（2），所以为的一个根，
故有两个不同于的实根，
令，则，分
①当时，，故在上单调递增，不符合题意；分
②当时，令，得，
当时，，故在区间上单调递增，
当时，，故在区间上单调递减，
并且当时，；当时，；
所以若要满足题意，只需且，分
因为，所以，
又，所以，
所以实数的取值范围为分
17．（15分）红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y（个）和平均温度x（℃）有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.

(1)根据散点图判断，与（其中…为自然对数的底数）哪一个更适合作为平均产卵数y（个）关于平均温度x（℃）的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）
(2)由（1）的判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.1）
附：回归方程中，，
(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择.
在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益（收益＝产值－防害费用）为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由.
方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；
方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；
方案3：不采取防虫害措施.
【答案】(1)更适宜
(2)
(3)选择方案1最佳，理由见解析
【分析】（1）根据散点图的形状，可判断更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型；
（2）将两边同时取自然对数，转化为线性回归方程，即可得到答案；
（3）求出三种方案的收益的均值，根据均值越大作为判断标准.
【详解】（1）由散点图可以判断，更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型分
（2）将两边同时取自然对数，可得，
由题中的数据可得，，，
所以，
则，
所以z关于x的线性回归方程为，
故y关于x的回归方程为；分
（3）用，和分别表示选择三种方案的收益.
采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，收益为万，即
采用第2种方案，不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为万，
如果发生，则收益为万，即，
同样，采用第3种方案，有
所以，，
，
.
显然，最大，所以选择方案1最佳分
18．（17分）已知椭圆的上顶点为B，右焦点为F，点B、F都在直线上.
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
【答案】(1)椭圆的标准方程为，离心率；
(2)
【分析】（1）由条件列方程求，由此确定椭圆的标准方程和离心率；
（2）根据直线与椭圆相切，求出切点的坐标，再求出直线的斜率；根据，设出的方程，表示出、的坐标，得到的斜率，再探索的值.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，
由已知点的坐标为，点的坐标为，
因为点B、F都在直线上，
所以，，又，
所以，，，
所以椭圆的方程为：，分
椭圆的离心率，分
（2）由消去并整理得： ①
由.
此时方程①可化为：，
解得：（由条件可知：、异号）分
设，则，.
即，所以分
因为，所以可设直线：（，）.
由消去并整理得：，
当时，方程有两个不相等的实根.
设，，
则，分
因为，两点关于原点对称，所以，
所以：.
所以分
【点睛】方法点睛：在求的斜率时，还可以把看成直线与椭圆相交所得弦的中点，利用中点弦公式：，得到.
19．（17分）定义两个维向量，的数量积，，记为的第k个分量（且）.如三维向量，其中的第2分量.若由维向量组成的集合A满足以下三个条件：①集合中含有n个n维向量作为元素；②集合中每个元素的所有分量取0或1；③集合中任意两个元素，，满足（T为常数）且.则称A为T的完美n维向量集.
(1)求2的完美3维向量集；
(2)判断是否存在完美4维向量集，并说明理由；
(3)若存在A为T的完美n维向量集，求证：A的所有元素的第k分量和.
【答案】(1)
(2)不存在完美4维向量集，理由见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）利用的完美维向量集定义求解即可.
（2）分别研究，，，，时，结合新定义及集合中元素的互异性即可判断.
（3）依题意可得，运用反证法，假设存在，使得，不妨设，分别从及两方面证得矛盾即可得，进而可证得结果.
【详解】（1）由题意知，集合中含有3个元素（），且每个元素中含有三个分量，
因为，所以每个元素中的三个分量中有两个取1，一个取0.
所以，，，
又，
所以2的完美3维向量集为分
（2）依题意，完美4维向量集B含有4个元素（），且每个元素中含有四个分量，，
（i）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
（ii）当时，，不满足条件③，舍去；
（iii）当时，，
因为，故与至多有一个在B中，
同理：与至多有一个在B中，与至多有一个在B中，
故集合B中的元素个数小于4，不满足条件①，舍去；
（iv）当时，，不满足条件③，舍去；
（v）当时，，与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
综上所述，不存在完美4维向量集分
（3）依题意，的完美维向量集含有个元素（），且每个元素中含有个分量，
因为，所以每个元素中有个分量为1，其余分量为0，
所以（*），
由（2）知，，故，
假设存在，使得，不妨设.
（i）当时，如下图，
由条件③知，或（），
此时，与（*）矛盾，不合题意 分
（ii）当时，如下图，
记（），
不妨设，，，
下面研究，，，，的前个分量中所有含1的个数.
一方面，考虑，，，，中任意两个向量的数量积为1，
故，，，（）中至多有1个1，
故，，，，的前个分量中，
所有含1的个数至多有个1（**）.
另一方面，考虑（），
故，，，，的前个分量中，含有个1，与（**）矛盾，不合题意.
故对任意且，，由（*）可得分
【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
参考数据（）
5215
17713
714
27
81.3
3.6