专题22 【五年中考+一年模拟】 几何压轴题-最新温州中考数学真题模拟题分类汇编

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一是巩固知识点，查漏补缺。在真题中有一部分一定是考试中易考，常考的，在反复做题的过程中，因为出现的频率高，做得多了自然会掌握技巧，不容易丢分。尤其是选择题，可能你光审完题目就已经知道答案了。
二是了解命题思路和规律，总结方法。每年各大高校的真题，中高考的真题在命题角度、题型、题量、难度等方面都进行了精心设计。我们可以在做题的过程中不断总结规律，知道出题人是如何设置“陷阱”并且如何避免掉进陷阱，完美拿到分数。如果你的孩子想报考的学校有真题，那就一定要看，要做！因为真题的参考性真的非常大。
专专题22 几何压轴题
1．（2022•龙港市模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知，，以为直径构造，交轴于另一点，直线经过点，分别交于点，（点在左侧），连结，，，．
（1）求的值．
（2）求的度数和的长．
（3）点在上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的点的坐标．
【答案】（1）；（2），；（3）当与的一个内角相等时，满足条件的点的坐标为或或
【详解】（1）过点作于点，如图，
为的直径，
，
，
，．
．
，
，
，
，
．
，，
，
．
直线经过点，
，
解得：．
（2），
直线．
设直线与轴交与点，如图，
令，则，
，
．
，
，
．
，，
．
，
．
．
，
，
即，
，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
．
，
．
（3）①当时，连接，，如图，
，
，
为的直径，
．
在和中，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为矩形，
轴，，
，
；
②当时，
连接，过点作于点，如图，
由（2）知：，，
，
，
，
点与点重合．
，
，
，
，
设，则，
，
．
，
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
，
，
；
③当时，
连接，，过点作轴于点，如图，
，
，
，
．
，，
．
，
，
．
为圆内接四边形的外角，
，
轴，
为等腰直角三角形，
，
，
．
综上，当与的一个内角相等时，满足条件的点的坐标为或或．
2．（2022•洞头区模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交的外接圆于点，点，交轴于点，交轴于点．点是的中点，连结，．点，点．
（1）求的长和的解析式．
（2）求点的坐标．
（3）点在轴上，连结，与的任意一边平行时，求的长．
【答案】（1）=10，的解析式为：；（2）；（3）或或
【详解】（1）连接交于点，
，点，
，，
，
点是的中点，
，
，
，
，
把点代入直线，得，
的解析式为：；
（2）连接，
直线交轴于点，交轴于点，
，，
设点，
点在上，
，
，
，
或（舍去），
；
（3）设，
要使与的任意一边平行，分以下三种情况：
①，
，，
，
即，
，
；
②，
过点、作轴垂线，分别交轴于点、，
，
又，
，
，
即，
，
；
③，
连接交于点，作轴垂线，交轴于点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
又，
，
，
即，
，
，
综上所述，或或．
3．（2022•温州）如图1，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点，，交延长线于点，交半圆于点，已知，，点，分别在线段，上（不与端点重合），且满足．设，．
（1）求半圆的半径．
（2）求关于的函数表达式．
（3）如图2，过点作于点，连结，．
①当为直角三角形时，求的值．
②作点关于的对称点，当点落在上时，求的值．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②
【详解】（1）如图1，连接，设半径为，
切半圆于点，
，
，
，
，
，
，
解得，
半圆的半径为；
（2）由（1）得，，
，，
，
，
；
（3）①显然，所以分两种情形，
当时，则四边形是矩形，
，
，
，
，
当时，过点作于点，如图，
则四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
由得：，
，
综上，的值为或；
②如图，连接，，由对称可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半圆的直径，
，
，
，
，
．
4．（2021•温州）如图，在平面直角坐标系中，经过原点，分别交轴、轴于点，，连结．直线分别交于点，（点在左侧），交轴于点，连结．
（1）求的半径和直线的函数表达式；
（2）求点，的坐标；
（3）点在线段上，连结．当与的一个内角相等时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）圆的半径为，；（2）、的坐标分别为、；（3）5或10或
【详解】（1），
为的直径，
点是的中点，则点，
则圆的半径为，
设直线的表达式为，则，解得，
故直线的表达式为；
（2）设点的坐标为，
由得：，
解得或，
故点、的坐标分别为、；
（3）过点作于点，则，，
故，
由点、的坐标，同理可得；
由点、、、的坐标得，，
同理可得：，，
①当时，
则为等腰直角三角形，，
故点的坐标为，
故；
②时，
，
，
，即，解得，
故；
③时，
，
，
，即，解得，
则，
综上所述，为5或10或．
5．（2020•温州）如图，在四边形中，，，分别平分，，并交线段，于点，（点，不重合）．在线段上取点，（点在之间），使．当点从点匀速运动到点时，点恰好从点匀速运动到点．记，，已知，当为中点时，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）求，的长．
（3）若．
①当时，通过计算比较与的大小关系．
②连接，当所在直线经过四边形的一个顶点时，求所有满足条件的的值．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）①见解析；②当或或时，所在的直线经过四边形的一个顶点
【详解】（1）与的位置关系为：，理由如下：
如图1所示：
，
，
、分别平分、，
，，
，
，
，
；
（2）令，得，
，
令，得，
，
把代入，
解得：，即，
，
是中点，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）①连接并延长交于点，如图2所示：
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，
当时，，
解得：，
，
，
；
②（Ⅰ）当经过点时，如图3所示：
，
则；
（Ⅱ）当经过点时，如图4所示：
，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
（Ⅲ）当经过点时，如图5所示：
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
解得：，
由图可知，不可能过点；
综上所述，当或或时，所在的直线经过四边形的一个顶点．
6．（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点，，正方形的顶点在第二象限内，是中点，于点，连接．动点在上从点向终点匀速运动，同时，动点在直线上从某一点向终点匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求点的坐标和的长．
（2）设点为，当时，求点的坐标．
（3）根据（2）的条件，当点运动到中点时，点恰好与点重合．
①延长交直线于点，当点在线段上时，设，，求关于的函数表达式．
②当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1），；（2）；（3）①；②当与的一边平行时，的长为或
【详解】（1）令，则，
，
，
，
，，
在中，，
又为中点，
；
（2）如图1，作于，则，
是的中点
是的中点
，
，
，
，
，
，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
，，
；
（3）①动点、同时做匀速直线运动，
关于成一次函数关系，设，
当点运动到中点时，点恰好与点重合，
时，，，
，
，，
时，，
将和代入得，解得：，
，
，，且，
随的增大而增大，
当时，，即，当时，与重合，
点在线段上，
综上，关于的函数表达式为：；
②当时，如图2，，
作轴于点，则，
中，，，
，
，
，
，
，
，；
当时，如图3，过点作于点，过点作于点，
由△得：，
，
，，
，
，
，
，
，，
由图形可知不可能与平行，
综上，当与的一边平行时，的长为或．
7．（2018•温州）如图，已知为锐角内部一点，过点作于点，于点，以为直径作，交直线于点，连接，，交于点．
（1）求证：．
（2）连接，，当，时，在点的整个运动过程中．
①若，求的长．
②若为等腰三角形，求所有满足条件的的长．
（3）连接，，交于点，当，时，记的面积为，的面积为，请写出的值．
【答案】（1）见解析；（2）①2；②、3或时，为等腰三角形；（3）
【详解】（1）、，
，
，
又，
；
（2）①如图1，
，，
，
，
，
，
，
；
②当时，，
，
，
，
，
；
当时，，
、，
，
，
过点作于点，得四边形是矩形，
、，
，
；
当时，，
，
，
设，则，
，
，
，
，
综上所述，当、3或时，为等腰三角形；
（3）如图3，过点作于点，
，
，
设、，
则、，
过点作于点，
则，，
，
且，
，
，
，
，
，即，
，
，
即、，
则，
，
，即，
则，，
且，
为的中位线，
，
．
8．（2022•鹿城区校级一模）如图，在矩形中，，，点是射线上一动点，且以每秒3个单位的速度从出发向右运动，连结交于点，作于，交直线于，设点运动时间为秒．
（1）若将线段绕点旋转后恰好落在直线上，则 ．
（2）当点在线段上运动时，若，求的值．
（3）连结，点在运动过程中，是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）3；（2）；（3）见解析
【详解】（1）由题意得：，，，，
，
，
，
若将线段绕点旋转后恰好落在直线上，则，
，即，
此时与重合，
，即，
，
故答案为：3；
（2）在中，由勾股定理得：，
，
，
，，
，
，
，
解得：；
（3）存在，当或，使为等腰三角形．
①当时，如图，
在中，，
在中，，即为钝角，
，
由（2）得：，
，
即，
解得或（舍去），
②当时，如图，延长交于点，
，
在中，，即为钝角，
，
，
，
即，
在中，，
，
，
即，
化简得：，
解得；或（舍去），
综上所述，当或，使为等腰三角形．
9．（2022•温州一模）如图1，在矩形中，，，点，分别在边，上，且，延长交的延长线于点，为中点，连结分别交，于点，．
（1）求证：．
（2）当时．
①求的值．
②在线段上取点，以为圆心，为半径作（如图，当与四边形某一边所在直线相切时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，，
，
为的中点，
，
，
，
；
（2）解：①由（1）得，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得，（不合题意，舍去），，
，
，
同理，
，
，
，，
，
；
②显然不与直线相切，故分三种情况：
Ⅰ当与直线相切时，如图：
，
，
，
若点与点重合，，
若点不与点重合，
，
，
，
，
故的长为；，；
Ⅱ当与直线相切时，如图：
可得；
Ⅲ当与直线相切时，如图：
，
，
，
综上所述，当与四边形某一边所在直线相切时，的长为，，，．
10．（2022•平阳县一模）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，以为直径的圆交轴于点，为圆上一点，，直线交轴于点，交轴于点，连结．
（1）求的值和直线的函数表达式．
（2）求点，的坐标．
（3）动点，分别在线段，上，连结．若，当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1），；（2），；（3）或或
【详解】（1）如图，连接，
是直径，
，
轴，
，，
，
，
，，
设，
，
，
，
，；
（2）过点作轴，垂足为点，连接，
，
，
，
，，
，
，，，
设，则，，
，
，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
，；
（3）当时，如图，延长交于，过作交于点，过点作轴于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，即，
．
当时，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，延长交轴于点，
，令，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上，或或．
11．（2022•乐清市一模）如图，是的直径，，点为弧的中点，，交于点，过点作的切线交的延长线于点，．
（1）求证：．
（2）求的值．
（3）若点为上一点，连接，，当与三边中的一条边平行时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或
【详解】（1）证明：连接，
为弧的中点，
，
与相切于点，
，
，
是的直径，
，
，
．
（2）解：连结交于点，
，，
，
，
，
，
设，
则，
，
，
，
解得，
，
，
，
．
（3）解：①当时，得弧弧，
，
，
．
②当时，得弧弧，
，
，，分别为，的中点
为的中位线，
．
③当时，
过点作于，
，
，
，
设，
则，，
，
，
，
，
．
综上所述，的长度为或或．
12．（2022•瓯海区一模）如图，在中，，是上的一点，且，于点，交的平行线于点．
（1）求证：．
（2）若，．
①求的长．
②过点作于点，在射线上取一点与某一边的两端点，构成以为顶点的角等于，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②或或
【详解】（1）证明：，
，，
，
，，
，
，
；
（2）①，
，，
，
，
，
，
；
②如图1，
当以的两个端点与点组成的时，
作交的延长线于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
、、、在以为圆心，为半径的圆上，
，
点和点重合，
此时，
如图2，
当以的两个端点时，
在上截取，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图3，
当以的两个端点时，此时点在点处，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点在处，
，
综上所述：或或．
13．（2022•瑞安市一模）如图1，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，．点是轴正半轴（包括原点）上一动点，连结，过点作轴交于点，连结，设的横坐标为．
（1）用含的代数式表示的长．
（2）当平分时，求的值．
（3）如图2，过点作交轴于点，过作交的延长线于点．
①当时，试说明，并求出和的面积之比．
②当时，且，求的坐标，并求出此时和的面积之差．
【答案】（1）；（2）1；（3）①；②0
【详解】（1）轴交于点，
轴，
，，
为与的同角，
，
，
点，，，
，，，
，
点的横坐标为，
，
，
．
（2）记与轴的交点为点，
平分，轴，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
．
（3）①如图2，
，
点与点重合，点与点重合，
，，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
，
和的面积之比为．
②如图3，过点作轴于点，过点作交于点，过点作轴于点，
轴，轴，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
轴交于点，
轴，
轴，
，
，
，
，
，
轴，轴，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
令，得，
，
点的坐标为，
，，，
，
点的坐标为，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
令，得，
，
点的坐标为，
，
，
，，
，
在中，，
，
和的面积之差为．
14．（2022•龙港市一模）如图，在四边形中，，，点，分别在边，上，且，．当点从点沿方向匀速运动到点时，点恰好从点沿方向匀速运动到点．记，，已知．
（1）求证：．
（2）求的值．
（3）若，连结．
①当时，求的长．
②当所在直线平行于四边形的某一边时，求所有满足条件的的值．（直接写出答案即可）
【答案】（1）见解析；（2）20；（3）①；②或或
【详解】（1）证明：，
，
，
又，
，
，
，，
；
（2）解：，由题意可知，
令，则，
令，则，
，
，
；
（3）解：①如图，
由（2）可知，，，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，，即，
，
作于点，
，，
，
②如图，当时，过点作于，过点作于，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，即，
；
当时，
，
四边形是平行四边形，
，即，
，
；
当时，作交于，
，，，
，
，
即，
，
，
，
，
，
综上，的值为：或或．
15．（2022•苍南县一模）如图，直线分别交轴、轴于点，，以为圆心，为半径作半圆，交半圆弧于点，弦轴，交轴正半轴于点，连结，．
（1）求的半径长及直线的函数表达式．
（2）求的值．
（3）为轴上一点．
①当平行于四边形的一边时，求出所有符合条件的的长．
②若直线恰好平分五边形的面积，求点的横坐标．（直接写出答案即可）
【答案】（1）；（2）2；（3）①2，5，；②
【详解】（1）如图，过点作轴，
直线分别交轴、轴于点，，
令，则；令，则，
，，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
直线的解析式为：．
（2）如图，连接，过点作轴，
，轴，
，
，
．
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在中，，，
，
．
（3），
，
由（2）可知，，
，
．
当时，
，，
令，得，
，
当时，，
，，
；
当时，
，，
，
设直线的解析式为：，过点，
，
直线的解析式为：，
令时，，
，
．
当时，
设直线的解析式为：，
，
，
，
令，得，
，，
．
综上所述，的长分别为2，5，．
②如图，设与，分别交于点，，过点作轴，
，平分五边形，
．
，
，．
①，
由①可知，，
，
，
，
②，
由①②得，，
，
，
，
，
．
，．
，
直线的解析式为：，
令，得，
则点的横坐标为．
16．（2022•温州模拟）如图1，在矩形中，，，是的中点，是边上一点，作的外接圆交直线于点．
（1）求的值．
（2）当是等腰三角形时，求的长．
（3）连结，当点在上时（如图．
①求证：．
②求的面积．
【答案】（1）；（2）或或；（3）①见解析；②
【详解】（1）如图1，连接，
四边形是矩形，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，，是的中点，
，
，
，
的值为．
（2）如图2，是等腰三角形，且，连接，
，，
，
，
，
，
解得；
如图3，是等腰三角形，且，作于点，
，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
；
如图4，是等腰三角形，且，
，
，
，
综上所述，的长为或或．
（3）如图5，连接，作于点，
，
是的直径，
点在上，且，
，
①，
，
，
．
②，，
，
，
，
，
设，则，
由（2）得四边形是矩形，，
，
，
，
解得，
，
，
的面积为.
17．（2022•温州模拟）如图，在四边形中，，，，，，点为的中点，连接，，作于点，动点在线段上从点向终点匀速运动，同时动点在线段上从点向终点匀速运动，它们同时到达终点．
（1）求的值．
（2）求的长．
（3）当与的一边平行时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）；（2）；（3）当与的一边平行时，的长为或5或
【详解】（1）如图1，过点作于点，则，
，，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
；
（2）四边形是矩形，
，
，
，
点为的中点，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，，
，
，
；
（3），动点在线段上从点向终点匀速运动，同时动点在线段上从点向终点匀速运动，它们同时到达终点．
，，
①当时，，
，
解得：；
②当时，如图2，
，
，
，
解得：；
③当时，如图3，延长交于点，过点作于点，
由（2）得：，，，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
综上所述，当与的一边平行时，的长为或5或．
18．（2022•温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，为，为，轴于点，是线段上一点，作交轴于点，取的中点，连结．设的长为．
（1）求证：；
（2）当时，求的值；
（3）当等于中的一个内角时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）1；（3）或
【详解】（1）证明：如图1，过点作轴于点，
则四边形为矩形，
，
，
，
．
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：如图2，过点作轴于点，
则，
，
，
，
，是的中点，
，，
，
，
，
；
（3）解：延长交轴于点，
，
，
当时，，
，
是的中点，
，
，
，
，即，
解得：，
，
，
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的解；
当时，，
，
，
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的解；
由题意可知，，
综上所述：或．
19．（2022•温州模拟）如图，已知是的直径，是半径上一点，作弦交于点，，其中，．是上一点，延长交的延长线于点，延长交于点，连结．
（1）求证：．
（2）连结，当四边形中有一组对边平行时，求的长．
（3）当时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）或6；（3）
【详解】（1）证明，，
，
直径，
，
，
；
（2）解：当时，，
，
，
，
，
直径，
，
，
，，
．
当时，，
，
，
，
，
是的直径，
．
综上所述，满足条件的的值为或6；
（3）在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
20．（2022•永嘉县模拟）如图，矩形内接于，，点在边上，，，交延长线于点．
（1）求证：．
（2）连结交于点，当时，求的长．
（3）连结交于点．
①当时，求的周长．
②当点在上时，求矩形的面积．
【答案】（1）见解析；（2）4；（3）①；②
【详解】（1）证明：，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接，设，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）①，
，
四边形是矩形，
，
，
，
设，则，，
在中，
，
，
（舍去负值），
，
，
，
，
，
，
的周长；
②，，
，
点在上，
，
，
，
，，
，
矩形的面积．
21．（2022•鹿城区校级二模）在四边形中，，，．点为线段上一动点（不与点，重合），连结，过作的垂线交边于点．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）设，求的面积关于的函数表达式．
（3）在点运动过程，当的某一个内角等于时，求所有满足条件的的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或或2
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
四边形是矩形；
（2）过点作于点，交于点．
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）当时，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
当时，，
，
，
，
解得，
，、
当时，与重合，此时与垂直，此时，
综上所述，的长为或或2．
22．（2022•温州模拟）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以为直径的与轴的正半轴交于点．点是劣弧上的一动点．
（1）求的值．
（2）当中有一边是的两倍时，求相应的长．
（3）如图2，以为边向上作等边，线段分别交和于点，．连结，．点在运动过程中，与存在一定的数量关系．
【探究】当点与点重合时，求的值；
【探究二】猜想：当点与点不重合时，【探究一】的结论是否仍然成立．若成立，给出证明：若不成立，请说明理由．
【答案】（1）；（2）或；（3）见解析
【详解】（1）点的坐标为，点的坐标为，
，．
．
为的直径，
，
，
．
．
．
．
，．
．
（2）①当时，
由（1）知：，
．
为的直径，
．
；
②当时，
过点作，交的延长线于点，如图，
，
．
．
四边形是圆的内接四边形，
．
．
设，则，，
．
，
．
．
．
．
．
综上，当中有一边是的两倍时，的长为或；
（3）【探究】当点与点重合时，
连接，，如图，
，，
为的垂直平分线．
．
，
．
．
为等边三角形，
．
．
．
；
【探究二】当点与点不重合时，【探究一】的结论仍然成立．理由：
连接，如图，
由以上【探究】可知：，
，，
．
，
．
．
当点与点不重合时，【探究一】的结论仍然成立，．
23．（2022•文成县一模）如图，已知：在中，，点是边上的动点，交于，以为直径的分别交，于点，．
（1）求证：．
（2）若，．
①当，求的长．
②当为等腰三角形时，请求出所有满足条件的的腰长．
（3）若，且，，在一条直线上，则与的比值为 ．
【答案】（1）见解析；（2）①；②或或；（3）
【详解】（1）证明：为的直径，，
为的切线，
；
（2）解：①，，
，
．
．
，，
．
，
；
②当时，
，
，
，
．
为的直径，
．
，
在和中，
，
，
．
，
，
；
当时，
，
，
为的直径，
，
，
．
，
，
．
，，
，
，
．
．
．
．
，
；
当时，
，
．
，，
，
．
．
，
，
．
设，
，
．
，
．
．
，
．
．
．
．
综上，当为等腰三角形时，满足条件的的腰长为或或．
（3）解：当，，在一条直线上时，
为的直径，
，
，
，
．
，
．
，
．
，
．
，．
．
，
．
解得：或（不合题意，舍去）．
，
故答案为：．
24．（2022•瑞安市二模）如图，在等边中，，为边上一点，以为边向右构造等边，过点作于点，并延长交于点，连结．
（1）求证：．
（2）当时，求的长．
（3）已知，为边的中点，为线段上一点，当直线将的面积分成两部分时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【详解】（1）证明：和是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，
，
，
；
（2）解：过点作，交的延长线于点，
，是等边三角形，
，，
，
设，则，
在中，，，
，，
在中，，
解得，
；
（3）解：①过点作，交于点，如图2，
，
，
是的中点，
，
，
，
直线将的面积分成两部分，
点可以是与的交点，
，
，
；
②过点作，交于点，交于，此时直线将的面积分成两部分．
过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
25．（2022•瓯海区模拟）如图，四边形为的内接四边形，延长，交于点，连结，，于点，连结并延长交于点，交于点，已知，，．
（1）求证：．
（2）求的值与的长．
（3）连结，若是线段上一点，当点关于一边所在直线的对称点落在边或上时，求出所有满足条件的的长．
【答案】（1）见解析；（2），；（3）或或
【详解】（1）证明：四边形为的内接四边形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
是等腰三角形的外心，
；
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：分情况讨论：
①当点与其对称点关于直线对称时，
，
，
，，
，
，
，
即和点关于直线对称，
所以，当与重合时，其对称点在直线上，
，
，
的长为；
②当点与其对称点关于直线对称时，
是等腰三角形，，
是等腰的对称轴，
当点与边上的重合时，其关于直线的对称点在上，
，
的长为；
③当点与其对称点关于直线对称时，设关于直线的对称点为，交于，交于，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
与关于直线对称，
，
，
，
，
．
综上，所有满足条件的的长为或或．
26．（2022•鹿城区二模）如图1，在矩形中，，．为对角线上的点，过点作于点，交于点，是关于的对称点，连结，．
（1）如图2，当落在上时，求证：．
（2）是否存在为等腰三角形的情况？若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
（3）若射线交射线于点，当时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）8
【详解】（1）证明：如图1，连结．
在矩形中，，
．
是关于的对称点，
，，
，
，
．
（2）如图2，当时，
设，则，，
，
，
，
；
如图3，当时，
设，则，，
，
，
，
．
如图4，当时，
设，则，，
，
，
，
．
（3）如图5，
设，则，，
，
，
，
，
，
，，
．
27．（2022•鹿城区校级二模）如图，在平行四边形中，，，，为对角线，的交点，点是线段上一点，以为直径的圆分别交线段，于点，，延长交线段于点，连结，，．
（1）当时，求证：；
（2）当时，求的值；
（3）连结，当是等腰三角形时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【详解】（1）证明：为直径，
，
，
，
，
；
（2）解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，，，
，，，
，
，
为直径，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
，
，，
，
，
，
；
（3）解：①当时，
过点作于点，则，
，，，
，
，
，，
，，
，
，
，
即，
；
②当时，，
由①得，
，
即，
；
③当时，
，
，
，
（不合题意，舍去），
综上，的长为或．
28．（2022•鹿城区校级三模）如图1，直径于点，，，点是延长线上异于点的一个动点，连结交于点，连结，．
（1）求证：．
（2）如图2，连结，当时，求和的面积之比．
（3）当四边形有两边相等时，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）5；（3）2或或40
【详解】（1）证明：，是直径，
，
，
，
；
（2）解：如图，连接，
直径，，，
，，
，
，
，
四边形内接于，
，
又，
，
，
又，
，
（3）解：①当时，
如图，连接，
是的直径，
，
，，
，，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
；
②当时，
如图，在和中，
，
，
；
③当时，
如图，过点作，，连接，
，，
直径于点，，，
，，
由（2）可知：，，
，，
，
，
在中，，
在中，，
，
由（2）可知：，
，
即，
，
又，，
，
，则，
，
，
，
，
，即，
；
④当时，点与点重合，与题意不符；
⑤当时，
四边形为圆内接四边形，
，
又，
，显然不存在；
综上所述，的长为2或或40．
29．（2022•苍南县二模）如图，直线分别交轴、轴于点，，点在线段上，连结，交于点，是的中线，设．
（1）求的长．
（2）当为中点时，求的值．
（3）点关于直线的对称点为点，
①若四边形是菱形，求的值；
②当取到最小值时，请直接写出的长．
【答案】（1）；（2）或3；（3）①；②
【详解】（1）当时，，
，
当时，，
，
，
，
；
（2）如图1，
作于，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
即或3；
（3）①当四边形是菱形时，
，
，
，
，
；
②如图2，
作于，设，，
，，
由（1）知，
，
，
，
，
，
，
设，
，
△，
，
即：，
或，
，
当时，，最小，
，
，
，
，
，
．
30．（2022•龙湾区模拟）如图，在矩形中，于点，交边于点．平分交于点，并经过边的中点．
（1）求证：．
（2）求的值．
（3）若，试在上找一点（不与，重合），使直线经过四边形一边的中点，求所有满足条件的的值．
【答案】（1）见解析；（2）（3），或，或
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
，
平分，
，
，，
，
，
（2）解：为中点，
设，，
由（1）知，
，
又，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
；
（3）若，则，
，
，，，，，，
分三种情况：
①当为中点时，即平分，
此时，
，
②当平分时，如图所示，设中点为，过作交于，
，
，
，
，
，
．
，又，，
，
，
③当平分时，设的中点为，过作从于，
，
，
，
，
为中点，
，
，
，
又在中，，
，
，
，
又，
，，
，
，
综上：，或，或．
31．（2022•乐清市三模）如图，在直角坐标系中有一，，点坐标为，在轴负半轴上，在第一象限内，与轴的交点为，在上，连结绕着点逆时针旋转得到，恰好是的中点．
（1）判断与的数量关系，请说明理由．
（2）若时，
①求直线的解析式．
②是的中点，在上取一点，使得与四边形的一边平行，请求出满足所有条件的的长．
【答案】（1）见解析；（2）①；②或或或
【详解】（1）过点作，垂足为．
绕着点逆时针旋转得到，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
是的中点，，
，
．
（2）①，，
，，
点的坐标为，，
点的坐标为，
设解析式为把，代入中，
；
解得：；
解析式为．
②把代入中，解得，
点的坐标为，，
是的中点，
的坐标为
分类讨论：
当与四边形的一边平行时，
，，，
当与四边形的一边平行时，
，，，
，
，
当与四边形的一边平行时，
，，，
，
当与四边形的一边平行时，
则点和点重合，则点，
综上所述，的坐标为或或或
32．（2022•鹿城区二模）在中，，，过点作，平分交射线于点，是射线上的一个动点，连结交于点．
（1）求的长．
（2）当是等腰三角形时，求的长．
（3）当关于的对称点落在上时，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）的长为或；（3）
【详解】（1）在中，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
在中，，
（2）①当时，是等腰三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，是等腰三角形，如图所示：
，
，
，
，
③，，
，
，
综上所述：的长为或；
（3）作，垂足为，作，垂足为，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，
关于的对称点为，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
，
解得或，
当时，，（舍去），
，
，
，
，
，
△，
，
，
，
，
．
33．（2022•鹿城区校级二模）如图1，中，，，，延长至，使，为边上一点，连结并延长交于点．作的外接圆，为的直径，射线交于点，连结．
（1）求证：．
（2）①如图2，当时，求的长及的值．
②如图3，随着点在边上从下向上移动，的值是否发生变化，若不变，请你求出的值，若变化，求出的范围．
（3）若要使圆心落在的内部（不包括边上），求的长度范围．
【答案】（1）见解析；（2）①；②；（3）
【详解】（1）证明：如图1，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：①如图2，
当时，则，
为外接圆的直径，此时，点、重合，点、重合，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，，，
，
；
②的值不变，如图3，过作于点，延长交的延长线于点，连接，
，
，
是直径，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：当点在上时，如图4，
为直径，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
解得：，
，
当点在上时，如图5，
为直径，
，
为等腰直角三角形，
，
，
综上所述，使圆心落在的内部（不包括边上），的长度范围为：．