2024年甘肃省武威市古浪县直滩学校教研联片中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（共30分）
1. 在﹣4，2，﹣1，3这四个数中，比﹣2小的数是（ ）
A. ﹣4B. 2C. ﹣1D. 3
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵正数和0大于负数，
∴排除2和3．
∵|﹣2|=2，|﹣1|=1，|﹣4|=4，
∴4＞2＞1，即|﹣4|＞|﹣2|＞|﹣1|，
∴﹣4＜﹣2＜﹣1．
故选A．
2. 若单项式和的和也是单项式，则的值为（ ）
A. 8B. 6C. 5D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了同类项的定义“字母和字母指数相同的单项式是同类项”，就题意得出和是同类项，求出m和n的值，即可解答．
【详解】解：∵单项式和的和也是单项式，
∴和是同类项，
∴，
∴，
故选：A．
3. 如图，在下列条件中，能够证明的条件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A． ，内错角相等两直线平行，能判定；故A不符合题意；
B． ，同位角相等两直线平行，能判定；故B不符合题意；
C． ，同旁内角互补两直线平行，能判定；故C不符合题意；
D． ，内错角相等两直线平行，能判定，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定方法，掌握平行线的判定方法“同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键．
4. 若关于x的方程有正数解，则( )．
A. m＞0且m≠3B. m＜6且m≠3C. m＜0D. m＞6
【答案】B
【解析】
【分析】首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据解为正数以及x3求出m的取值范围．
【详解】解：将方程两边同时乘以(x-3)可得：x-2(x-3)=m，
解得：x=6-m，
根据解为正数可得：且，
则：且，
解得：且．
故选B．
【点睛】本题主要考查的就是解含有参数的分式方程以及分式的增根问题．在解决这个问题的时候很多同学容易忽视这个增根，从而导致答案错误.如果本题将正数解改为负数解，对于增根我们就没有必要再去考虑，所以同学们一定要注意增根是否在给出的解的范围之内，从而进行解答．
5. 如图，等腰△ABC中，点P是底边BC上的动点（不与点B，C重合），过点P分别作AB、AC的平行线PM、PN，交AC、AB于点M、N，则下列数量关系一定正确的是（ ）
A. PM+PN＝ABB. PM+PN＝BC
C. PM+PN＝2BCD. PM+PN＝AB+BC
【答案】A
【解析】
【分析】证明∠B＝∠BPN，得PN＝BN，证明四边形AMPN为平行四边形得PM＝AN，进而便可得PM+PN＝AB．
【详解】解：∵△ABC为等腰三角形，BC为底边
∴∠B＝∠C，
∵PN∥AC，
∴∠BPN＝∠C＝∠B，
∴PN＝BN，
∵PM∥AB，PN∥AC，
∴四边形AMPN是平行四边形，
∴PM＝AN，
∴PM+PN＝AN+BN＝AB，
故选A．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，平行四边形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
6. 如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是菱形，则的度数为（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】设∠ADC=α，∠ABC=β，由菱形的性质与圆周角定理可得 ，求出β即可解决问题．
【详解】解：设∠ADC=α，∠ABC=β；
∵四边形ABCO是菱形，
∴∠ABC=∠AOC；
∠ADC=β；
四边形为圆的内接四边形，
α+β=180°，
∴ ，
解得：β=120°，α=60°，则∠ADC=60°，
故选：B．
【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键.
7. 如图，是的直径，弦，，，则阴影部分的面积为（ ）

A. 2πB. πC. D. 2π3
【答案】D
【解析】
【详解】分析：连接OD，则根据垂径定理可得出CE=DE，继而将阴影部分的面积转化为扇形OBD的面积，代入扇形的面积公式求解即可．
详解：连接OD,
∵CD⊥AB，
∴ (垂径定理)，
故
即可得阴影部分的面积等于扇形OBD的面积，
又∵
∴ (圆周角定理)，
∴OC=2，
故S扇形OBD=
即阴影部分的面积为.
故选D.

点睛：考查圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解题的关键.
8. 如图，正方形的顶点在轴上，点，点在反比例函数图象上.若直线的函数表达式为，则反比例函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，过A作轴于E，过C作轴于F，证明，推出，，再证，推出，设，，则，，根据反比例函数图象上点的坐标特征，可得，求出a值即可．
【详解】解：设直线与y轴的交点为G，
中，令，得，解得，
令，得，
，，
如图，过A作轴于E，过C作轴于F，
四边形是正方形，
，，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，即，
，
设，，
，，
，，
点，点在反比例函数图象上，
，
解得，（不合题意，舍去），
，
，
∴反比例函数表达式为，
故选A．
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，求反比例函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，涉及知识点较多，难度一般，掌握一线三等角模型，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9. 如图，在正方形中，是等边三角形，，的延长线分别交于点，，连接，；与相交于点．给出下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】由是等边三角形，得，而，故①正确；由，，可判定②正确；过点作于，过点作于，则，，可推出，，则，判定③正确；由可得，进而得到，得到，又因为不是中点，故，可判定④错误；由，得，则，可判定⑤正确．
【详解】解：为等边三角形，
，，
四边形是正方形
，，
，
又，
，
，
，，
，
在中，，
，
又，
，故①正确；
，，
，
，故②正确；
过点作于，过点作于，
由题意可得，，
，，
，故③正确；
，
，
，
又与同高，
，
又，不是中点，
，
，故④错误；
，，
，
，
，
又，，，故⑤正确，
综上所述：正确的结论有4个，
故选：D．
【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形性质、锐角三角函数、相似三角形的判定及性质，掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解本题的关键．
10. 如图，在菱形纸片中，点在边上，将纸片沿折叠，点落在处，，垂足为．若，，则（ ）．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】过点作于点，由折叠的性质可得，，由菱形的性质可得，，，结合，易得，进而可得，利用勾股定理解得；再证明为等腰直角三角形，可得；然后利用三角形函数，，可得，，易得，求解即可获得答案．
【详解】解：过点作于点，如下图，
则，
∵，，
∴，
由折叠的性质可得，，，
∵四边形为菱形，
∴，，，
∵，即，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，正确作出辅助线是解题关键．
二、填空题（共24分）
11. 的相反数是________．
【答案】-5
【解析】
【分析】先求-5的绝对值，再求它的相反数即可
【详解】解：∵=5，5的相反数是-5，
故答案为：-5
【点睛】本题考查了绝对值和相反数，认真审题是解题的关键．
12. 如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点到点的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分的面积为__．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是全等三角形的性质、平移的性质，掌握全等形的面积相等是解题的关键．
根据平移的性质分别求出、，根据题意求出，根据全等三角形的性质、梯形的面积公式计算，得到答案．
【详解】解：由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为：．
13. 因式分解：__________．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因数，再运用平方差公式分解因式即可；
【详解】解：，
故答案为：；
【点睛】本题考查了因式分解，掌握平方差公式解题关键．
14. 如图，四边形ABCD是边长为cm的菱形，其中对角线BD的长为2cm，则菱形ABCD的面积为 _____cm2．
【答案】4
【解析】
【分析】首先根据菱形的性质可得BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，然后再根据勾股定理计算出AO长，进而得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BO＝DO，AC⊥DB，AO＝CO，
∵BD＝2cm，
∴BO＝1cm，
∵AB＝cm，
∴AO＝
＝＝2（cm），
∴AC＝2AO＝4cm．
∴S菱形ABCD＝（cm2）．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理；解题的关键是熟悉菱形的面积公式和直角三角形三边之间的关系．
15. 如图，在中，，，，将以B为中心逆时针方向旋转，得到，当点C的对应点E落在边AB上时，线段AD的长度值是______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据勾股定理计算出,根据旋转的性质求得，从而计算出，最后根据勾股定理即可计算出．
【详解】解：∵，
∴，
根据旋转的性质得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查旋转的性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的相关知识．
16. 如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于_____________.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到，，，利用圆周角定理求出求出，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理即可得，垂径定理即可求得的长．
【详解】解：如图所示，设交于点，
是直径，丄，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，在等边中，为边上一点，为边上一点，且，，，则等边的边长为______．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，由，可证得；可用等边三角形的边长表示出的长，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得的边长．
【详解】解：是等边三角形，
，；
，
；
，
，
，
，
又，
；
，
，
即；
解得．
故答案为：6．
18. 如图，四边形中，，，，，点是四边形内的一个动点，满足，则面积的最小值为______．
【答案】
【解析】
【分析】取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，通过计算得出当三点共线时，有最小值，求出最小值即可．
【详解】解：如图，
取的中点，连接，过点作交的延长线于点，过点作于，交于，则，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为等腰梯形，
，
，，，
，
点在以点为圆心，2为半径的圆上，
，
，
，
，，
，
，
，，，
，
当三点共线时，有最小值，
面积的最小值为．
【点睛】本题考查了解直角三角形、隐圆、直角三角形的性质等知识点，点位置的确定是解题关键．
三、计算题（共8分）
19. （1）计算：；
（2）已知，求代数式的值
【答案】（1）；（2）12
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、有理数的乘方、绝对值的意义进行计算即可求出答案；
（2）首先计算完全平方公式和平方差公式，然后计算加减，然后整体代入即可求值．
【详解】（1）
；
（2）∵
∴
∴
．
四、作图题（共6分）
20. 如图，在平面直角坐标系中，已知 的三个顶点坐标分别是，，．
（1）请作出绕点逆时针旋转的；
（2）以点为位似中心，将扩大为原来的2倍，得到，请在轴的左侧画出；
（3）请求出的正弦值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）的正弦值为
【解析】
【分析】本题考查了作图－位似变换和旋转变换，勾股定理，正弦函数的定义．
（1）根据旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案;
（3）利用割补法求得的值，利用勾股定理求得的长，利用等积法求得的长，利用正弦函数的定义即可求解．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求．
【小问3详解】
解：由题意得：
，
，，
作，垂足为，
则，
解得，
即的正弦值为．
五、解答题（共52分）
21. 如图，已知在△ABC中，D是BC上的一点，∠BAC＝90°，∠BAD＝2∠C．
求证：AD＝AB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠C=90°；然后由已知条件∠BAD=2∠C求得∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，即∠B=∠C+∠DAC；最后根据△ADC的外角性质以及等量代换证得∠ABD=∠ADB，最后利用等角对等边即可证明．
【详解】证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°；
∵∠BAD=2∠C，
∴∠BAD+∠DAC=2∠C+∠DAC=∠B+∠C，
即∠B=∠C+∠DAC，
∵∠ADB=∠C+∠DAC
∴∠ABD=∠ADB
∴AD＝AB．
【点睛】本题考查了三角形外角性质、直角三角形的性质．直角三角形的两个锐角互余．
22. 如图，矩形的对角线相交于点O，过点D作的平行线交的延长线于点E．

（1）求证：；
（2）连接，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得，对边平行可得，再证明出四边形是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得，从而得证；
（2）如图，过点O作于点F，欲求，只需在直角中求得的值即可．结合三角形中位线求得，结合矩形、平行四边形的性质以及勾股定理求得即可．
【小问1详解】
∵四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴；
【小问2详解】
如图，过点O作于点F，

∵四边形是矩形，
∴点O是的中点，
∴
∴
∴，
∴点是的中点，
∴是的中位线，
∴
又∵四边形是平行四边形，
∴．
∴．
在中，由勾股定理可得：．
【点睛】本题考查了矩形性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形是平行四边形是解题的关键．
23. 如图，AB为的直径，AC平分交于点C，，垂足为点D.求证：CD是的切线．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OC，根据角平分线的定义和等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定得出OC∥AD，根据平行线的性质得出OC⊥DC，再根据切线的判定得出即可．
【详解】解：证明：连接OC，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠BAC=∠ACO，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵CD⊥AD，
∴OC⊥DC，
∵OC过圆心O，
∴CD是⊙O的切线．
【点睛】本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质等知识点，能熟记经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线是解此题的关键．
24. 在一个不透明的布袋里装有3个标号为1、2、3的小球，它们的材质、形状、大小完全相同，小凯从布袋里随机取出一个小球，记下数字为x，小敏从剩下的2个小球中随机取出一个小球，记下数字为y，这样确定了点P的坐标(x，y)．
（1）请你运用画树状图或列表的方法，写出点P所有可能的坐标；
（2）求点P(x，y)在函数y＝﹣x+3图象上的概率．
【答案】（1）树状图见解析，共有6种等可能的结果，点P所有可能的坐标为(1，2)、(1，3)、(2，1)、(2，3)、(3，1)、(3，2)；（2）
【解析】
【分析】（1）画出树状图，即可求解；
（2）共有6种等可能的结果，点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）画树状图如下：
共有6种等可能的结果，点P所有可能的坐标为（1，2）、（1，3）、（2，1）、（2，3）、（3，1）、（3，2）；
（2）由（1）可知，共有6种等可能的结果，点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的结果有2种，
∴点P（x，y）在函数y＝﹣x+3图象上的概率为．
【点睛】此题考查了用列举法求概率，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
25. 一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？
【答案】该校共购买了80棵树苗
【解析】
【分析】由题意知该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，根据题意列方程求解即可．
【详解】解：因为60棵树苗售价为120元×60＝7200元＜8800元，
所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：
x[120－0.5(x－60)]＝8800，
解得：x1＝220，x2＝80．
当x2＝220时，120－0.5×(220－60)＝40＜100，
∴x1＝220(不合题意，舍去)；
当x2＝80时，120－0.5×(80－60)＝110＞100，
∴x＝80，
答：该校共购买了80棵树苗．
26. 正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点，若．
（1）求正方形的边长.
（2）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
（1）通过证明，可得，即，则可求解；
（2）设，则，利用勾股定理列方程可求解．
【小问1详解】
解： ，
．
，
，
，
，
（负值舍去），
正方形的边长为3；
【小问2详解】
解：设，则，
则，．
在中，，
，
（舍去）或，
．
27. 如图，已知：关于y的二次函数的图像与x轴交于点和点B，与y轴交于点，抛物线的对称轴与x轴交于点D．
（1）求二次函数的表达式．
（2）在y轴上是否存在一点P，使为直角三角形．若存在，请求出点P的坐标．
（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达B点时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，面积最大，试求出面积．
【答案】（1）y＝x2﹣5x+6，（2）（0，）或（0，0）；（3）当M（，0）、N（，1）或（，﹣1）时△MNB面积最大，最大面积是
【解析】
【分析】（1）代入A（2，0）和C（0，6），解方程组即可；
（2）求出点B的坐标，设P点坐标为（0，m）,根据∠CBP=90°或∠CPB=90°，分类讨论，勾股定理列方程即可；
（3）设A运动时间为t，则DN＝2t，得BM＝1﹣t，S△MNB＝×（1﹣t）×2t＝﹣t2+t，运用二次函数的顶点坐标解决问题．
【详解】解：（1）把A（2，0）和C（0，6）代入y＝x2+bx+c，

解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝x2﹣5x+6；
（2）令y＝0，则x2﹣5x+6＝0，
解得：x＝2或x＝3，
∴B（3，0），抛物线对称轴是x=，
∴BC2＝32+62=45，
设P点坐标为（0，m）,
CP2=(6-m)2，BP2=32+m2=9+ m2，
当∠CBP=90°时，BC2+ BP2= CP2，
45+9+m2=(6-m)2，
解得，m=，P点坐标为（0，）；
当∠CPB=90°时， CP2+ BP2= BC2，
45=9+m2+(6-m)2，
解得，m1=0，m2=6（舍去），P点坐标为（0，0）；
综上所述，点P的坐标为：（0，）或（0，0）；
（3）如图2，设A运动时间为t，由AB＝1，得BM＝1﹣t，则DN＝2t，
∴S△MNB＝×（1﹣t）×2t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣）2+，
当t=时，S△MNB面积最大，最大面积为；
即当M（，0）、N（，1）或（，﹣1）时△MNB面积最大，最大面积是．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，直角三角形的性质，动点求函数解析式等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．