2024年甘肃省武威四中联片教研九年级第三次模拟数学试题（原卷版+解析版）

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1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D. 2023
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查相反数，关键是掌握相反数的定义．只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【详解】解：的相反数为2023．
故选：D
2. 一个长方形周长为，其中一边的长为，则另边的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据长方形的周长等于两邻边和的2倍计算可得．
【详解】解：长方形另一边的长为，
故选：A．
【点睛】此题考查了整式的加减运算，正确掌握整式加减运算法则是解题的关键．
3. 不等式组的解集为，则a满足的条件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解不等式组，解集为且，而不等式组的解集为，根据“同小取较小"的原则，求得a取值范围即可．
【详解】解不等式组得：且，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选D．
【点睛】本题考查了不等式组解集的四种情况：①同大取较大，②同小取较小，③小大大小中间找，④大大小小解不了．
4. 如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（ ）．

A. 4B. 6C. 2D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】过点E作于F，设，运用等腰直角三角形将其它各未知线段用表示；延长AD与BC的延长线交于点G，依据ASA判定△ABD≌△GBD，依据全等的性质求得DG=AD=2，，继而得到AG=4，；接着在直角△ACG中，运用勾股定理列出关于的方程，解出代入到中即可.
【详解】解：延长AD与BC的延长线交于点G，过点E作于F，

易得是等腰直角三角形，
∴
∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，,
∴EF=EC,,
∴
设
则，，
∵AD⊥BE,
∴,
∵在△ABD和△GBD中，
∴△ABD≌△GBD（ASA）
∴DG=AD=2,
∴AG=4,
∵在直角△ACG中，ACG=90°，，AG=4，，
∴
∴
∴=4.
故选：A.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形三边关系、运用全等构造等腰三角形和勾股定理的综合问题，设立未知数表示各未知线段、根据图形特征作辅助线构造熟悉图形、并根据勾股定理建立起各未知量之间的等式是解题的关键.
5. 如图，E为正方形ABCD的对角线上一点，四边形EFCG为矩形，若正方形ABCD的边长为4，则EG＋GC的长为（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】A
【解析】
【分析】先根据矩形的性质可得∠EDG=90°，再根据正方形的性质可得∠EDG=45，从而得出EG=DG，进一步可求出EG＋GC的值．
【详解】解：∵E为正方形ABCD的对角线上一点，
∴∠EDG=45°．
∵四边形EFCG为矩形，
∴∠EGD=90°，
∴∠EDG=∠DEG=45°．
∴EG=DG．
∴EG＋GC=DG+GC=CD=4．
故选A．
【点睛】本题考查了正方形和矩形的性质，掌握相关知识是解题的关键．
6. 下列标志既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可．此题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是寻找对称中心，旋转后与自身重合．
【详解】解：A．标志既是中心对称图形又是轴对称图形，故选项符合题意；
B．标志轴对称图形但不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C．标志是中心对称图形但不是轴对称图形，故选项不符合题意；
D．标志既不是轴对称又不是中心对称图形，故选项不符合题意．
故选：A．
7. 如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（ ）
A. 3B. 3C. 6D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．
【详解】连接OA，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=30°，OB=3，
∴AO=3，则OP=6，
故BP=6-3=3．
故选A．
【点睛】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确作出辅助线是解题关键．
8. 如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为（ ）
A. y＝B. y＝C. y＝D. y＝
【答案】C
【解析】
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【详解】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
阴影部分的面积等于圆的面积的，∴πr2=10π,解得：r=2．
∵点P（3a，a）是反比例函y=（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴k=3且OP=r==a=2
∴ a=2，∴k=3×4=12，
则反比例函数的解析式是：y=．
故选C
【点睛】本题主要考查反比例函数图象的对称性的知识点，解决本题的关键是利用反比例函数的对称性得到阴影部分与圆之间的关系．
9. 如图，在矩形中，，连接，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，，直线分别交，于点，．下列结论：①四边形是菱形；②；③；④若平分，则．其中正确结论的个数是（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】结合作图方法可知是的中垂线，结合矩形的性质易证四边形是菱形，，利用等积法可知③错误；利用含角的直角三角形的性质易证④错误．
【详解】解：设交于点
由作图知，垂直平分
在矩形中，
四边形是菱形
∴①正确
四边形是菱形
∴②正确
∴③错误
平分
∴④错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，垂直平分线的作法及菱形的性质，熟练掌握垂直平分线的作法，矩形和菱形的性质是解决本题的关键．
10. 将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据折叠的性质得OC等于半径的一半，即OA =2OC，再根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAC=30°，则∠AOC=60°，所以∠AOB=120°，则利用弧长公式可计算出弧AB的长，再求出底面圆的半径为1，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高．
【详解】如图，过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
由折叠的性质可知，OD=OC=OA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠OAD=30°，
同理可得∠OBD=30°，
在△AOB中，由三角形内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°．
∴弧AB的长为．
设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π，
∴r=1．
∴圆锥的高为．
故选A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
二、填空题（共24分）
11. 已知关于的方程的解是，则的值为 ________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，正确解方程是解题关键．
【详解】解：关于的方程的解是，
，
解得：．
故答案为：2．
12. 若的算术平方根是5，则a的算术平方根是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：∵的算术平方根是5，
∴，
∴，
∴，
∴a的算术平方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，解题的关键是掌握算术平方根的定义进行判断．
13. 正十边形的每个内角的度数是：________．
【答案】##114度
【解析】
【分析】本题考查多边形的内角和计算．熟知多边形的内角和计算公式是正确解题的关键．
先利用多边形的内角和计算公式求出正十边形的内角和，再除以边数即可．
【详解】正十边形的内角和为：，
正十边形的每个内角的度数为：
，
故答案为：．
14. 如图，在中，平分于点于点，则______．
【答案】2.6
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形中求线段长，涉及等腰三角形性质、三角形面积等知识，由等腰三角形三线合一得到，根据三角形面积公式代值列方程求解即可得到答案，熟记等腰三角形性质是解决问题的关键．
【详解】解：在中，平分，
是的中线，则，
，即，
，
，
故答案为：2.6．
15. 已知是关于的一次函数，则一次函数解析式是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键．
根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可．
【详解】解：是关于的一次函数，
且，
解得：，
一次函数解析式是，
故答案为：．
16. 如图，在中，是直径，，＝，，那么的长等于_____________.
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了圆的垂径定理，勾股定理，圆周角定理；根据垂径定理得到，，，利用圆周角定理求出求出，得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，求得，勾股定理即可得，垂径定理即可求得的长．
【详解】解：如图所示，设交于点，
是直径，丄，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
17. 如图，点D、E是边 上的点，，连接，交点为F，，那么的值是___________．
【答案】##
【解析】
【分析】过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到，，进而可得的值．
【详解】解：如图所示，过作，交于，
则，即：，，
，即：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
18. 在菱形中，，点P是对角线上一动点，点Q是边上一动点，与始终相等，连结，交点为E，连结，则的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】先证明，根据定长定角构造辅助圆，当与相切时，最大，此时最小，设半径，然后利用解直角三角形和相似三角形的性质列出关于的方程，表示出即可求出的最小值．
【详解】解：∵在菱形中，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P在对角线上运动时，的大小保持不变，
作的外接圆，圆心为O，连接、连接交于点F，
则，，
当与相切时，最大，此时最小，
设，则菱形边长为，，
∴在中，
在中，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了几何最值问题，全等三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，难度较大，解题的关键是根据定长定角构造辅助圆，利用相似三角形的性质列出方程求解．
三、计算题（共8分）
19. （1）计算：；
（2）化简：
【答案】（1）6
（2）1
【解析】
【分析】本题考查了分式的混合运算及特殊角三角函数值的混合运算，注意计算的准确性即可．
（1）分别计算零指数幂、三角函数值以及负整数指数幂即可；
（2）根据分式的混合运算法则即可求解．
【详解】解：（1）原式
（2）原式
四、作图题（共4分）
20. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示）
（1）请在图1中画出的高．
（2）请在图2中在线段上找一点E，使．
【答案】（1） （2）
【解析】
【分析】本题考查了作图-格点作图，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形．
（1）取格点，连接交于点，连接，线段即为所求；
（2）取格点，连接交于，点就是所求的点．
【小问1详解】
解：取格点，连接交于点，连接，如图：
由图可知，，
∴，
∵四边形矩形，
∴为中点，
∴，
∴为的高．
【小问2详解】
解：取格点，连接交于，如图：
由图可得，四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点就是所求的点．
五、解答题（共54分）
21. 如图，△ABC中，AB=AC，点E，D，F分别在三边上，且BE=CD，CF=BD．
（1）求证：△BDE≌△CFD；
（2）若∠EDF=50°，求∠A的度数．
【答案】（1）见解析；（2）∠A=80°
【解析】
【分析】（1）由等边对等角可得出∠B=∠C，结合BE=CD，CF=BD可证出△BDE≌△CFD（SAS）；
（2）由△BDE≌△CFD可得出∠BDE=∠CFD，由∠EDF=50°利用三角形内角和定理可得出∠BDE+∠FDC=130°，进而可得出∠CFD+∠FDC=130°，利用三角形内角和和定理可求出∠C的度数，结合∠B=∠C可得出∠B的度数，再利用三角形内角和定理可求出∠A的度数．
【详解】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△BDE和△CFD中，
，
∴△BDE≌△CFD（SAS）．
（2）∵△BDE≌△CFD，
∴∠BDE=∠CFD．
∵∠EDF=50°，
∴∠BDE+∠FDC=130°，
∴∠CFD+∠FDC=130°，
∴∠C=180°-∠CFD-∠FDC=50°，
∴∠B+∠C=2∠C=100°，
∴∠A=180°-∠B-∠C=80°．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质以及三角形内角和定理，解题的关键是：（1）利用全等三角形的判定定理SAS证出△BDE≌△CFD；（2）利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠A的度数．
22. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．
【答案】证明过程见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠A=∠C，由“AAS”可证△ADE≌△CBF，可得ED=FB，AE=CF，可得BE=DF，则可得结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD＝BC，∠A＝∠C，AB=DC，
又∵∠1＝∠2，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，DE＝BF，
∴AE+BE＝CF+DF，
∴BE＝DF，且DE＝BF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用平行四边形的判定和性质．
23. 某校团体操表演队伍有6行8列，后又增加了51人，使得团体操表演队伍增加的行、列数相同，求增加了多少行或多少列？
【答案】增加了3行3列．
【解析】
【分析】设增加了行，则增加的列数为，用增加后的总人数原队伍的总人数列出方程求解即可．
【详解】解：设增加了行，则增加的列数为，
根据题意，得：，
整理，得：，
解得，（舍，
答：增加了3行3列．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．
24. 中国共产党第二十次全国代表大会于10月16日至22日在北京举行，这是一次具有里程碑意义的大会，必将对中国和世界产生深远影响．某校积极组织学生学习二十大相关会议精神，并组织了二十大知识问答赛，将比赛结果分为A，B，C，D四个等级，根据如下不完整的统计图解答下列问题：
（1）求该校参加知识问答赛中C等级的学生人数，并补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中C级所对应的圆心角的度数；
（3）已知结果为A等级的这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，现准备从这4人中随机抽取两名同学参加二十大宣讲，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．
【答案】（1）C级人数为12人，补全条形统计图见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了统计和随机抽样的概率．根据题意求出总人数、正确画出树状图并按照公式求解是解题的关键．
（1）根据A在频数统计图数据除以扇形统计图中的数据可求得总人数，再求出C级人数，即可补全条形统计图；
（2）用乘以C总人数所占的比例即可；
（3）画树状图，求出所有可能和符合条件数，根据概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：总人数为：（人）；
C级人数：（人），
补全条形统计图如图：
；
【小问2详解】
解：C级所对应的圆心角的度数为：
；
【小问3详解】
解：画树状图如下：
从四人中随机抽取两名同学共有种可能，
恰好抽到的2名学生来自不同年级的有10种可能，
恰好抽到的2名学生来自不同年级的概率为：．
25. 如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求证平分，并求的大小；
（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆半径的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）圆的半径长是4
【解析】
【分析】（1）由圆周角定理得到，而，因此，得到平分，由圆内接四边形的性质得到，即可求出；
（2）由垂径定理推出是等边三角形，得到由，得到，由平行线的性质求出，由圆内接四边形的性质求出，得到，由直角三角形的性质得到，因为是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．
【小问1详解】
证明：，，
，
平分，
平分，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：，，
，
，
，
是圆的直径，
垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，则，
，
，，
，则，
是圆的直径，
圆的半径长是4．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，关键是由圆内接四边形的性质得到，由垂径定理推出是等边三角形．
26. 如图，的两条弦，互相垂直，垂足为，直径交线段于点，且．

（1）求证：．
（2）若的半径为4，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得出，再根据平行线的判定，得出，再根据平行线的性质，得出，再根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得出结论；
（2）连接，，根据直径所对的圆周角是直角，得出，再根据，得出，再根据等边对等角，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，再根据相似三角形的判定，得出，再根据相似三角形的性质，得出，然后计算即可得出答案；
【小问1详解】
证明：连接，，如图所示：

是的直径，
，
，
，
，
；
【小问2详解】
解：连接，，如图所示：

是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
27. 如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线的解析式为：
（2）点D的坐标为或
（3）存在满足条件的Q点的坐标为或或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）设点D的坐标为，利用的面积为10，列出等式求解即可；
（3）分情况讨论，当为四边形的对角线时或当为边时，分别求解即可．
【小问1详解】
将、代入得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
【小问2详解】
设点D的坐标为，
、，
，
∴，
即，
∴或（无解舍去），
解得：，，
∴点D的坐标为或；
【小问3详解】
抛物线的对称轴为：，
假设存在，设，，
，
分两种情况讨论：
当为四边形的对角线时，，，
∴，
即，
此时点Q的坐标为；
②当为边时，，，
∴，即，
解得：或，
此时点Q的坐标为或．
综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或．

【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．