2024年河南省驻马店市确山县中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的．
1. 2月19日至25日，受强冷空气影响，我市出现寒潮和阶段性低温雨雪冰冻天气．19日，气温；20日气温；日气温；25日气温．这几日的最低气温为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握正数>0>负数，负数绝对值大的反而小．直接比较这几天各自的最低气温，即可解答．
【详解】解：∵，
∴这几日的最低气温最低为，
故选：D．
2. 如图，这个几何体的左视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据三视图概念即可解题.
【详解】解：因为物体的左侧高,所以会将右侧图形完全遮挡,看不见的直线要用虚线代替,
故选B.
【点睛】本题考查了三视图的识别,属于简单题,熟悉三视图的概念是解题关键.
3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苍蒴，某孢子体的苍蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则的值是（ ）
A. 6B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据中0的个数进行解答即可．
【详解】解：用科学记数法表示为，
∴，故D正确．
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的加减，积的乘方，完全平方公式以及多项式除以单项式．根据二次根式的加减，积的乘方，完全平方公式以及多项式除以单项式的运算法则计算即可求解．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：B
5. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（ ）度时，与平行．

A. 16B. 60C. 66D. 114
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故选：C．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
6. 关于的一元二次方程有两个实数根，那么整数的可能值是（ ）
A. B. 0C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】若一元二次方程有两实数根，则根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．还要注意二次项系数不为．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，
∴，且，
解得：且，
∴整数的值可能是．
故选：C．
【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．理解和掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
7. 校运动会前夕，要选60名身高基本相同的女生组成表演方队，现从全校200名女生中随机抽取40人，了解了她们的身高情况，数据如下：
根据以上数据，估计入选表演方队的女生身高范围为______cm．（ ）
A. 150—155B. 155—160C. 160—165D. 165—170
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了方差、众数、平均数、中位数．根据方差、众数、平均数、中位数所代表的意义，即可判定．
【详解】解：在这个问题中，最值得关注的是队伍的整齐，身高必须差不多，
故应该关注该校所有女生身高的众数，
∴估计入选表演方队女生身高范围为: ；
故选：C．
8. 有张完全相同的卡片，每张卡片的正面都写有一种常见的生活现象，将所有卡片背面朝上，从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式求概率，解题的关键是掌握概率公式．根据概率公式求解即可．
【详解】解：张卡片中，属于物理变化的有水结成冰，灯泡发光两种，
从中任意抽出一张，抽到的“生活现象”只有物理变化的概率是，
故选：B．
9. 我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为6的正六边形，若圆的内接正六边形为正六边形，则的长为（ ）

A. 12B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形与圆，解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系以及圆内接正六边形的性质是正确解答的前提．根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．
【详解】解：如图，连接、，

六边形是的内接正六边形，
，，
，
，
∵，
是等边三角形，
∴，
在中，，，
，
，
故选：C．
10. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是，点B是函数图象上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图象于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：
①四边形ABCD可能是菱形；
②四边形ABCD可能是正方形；
③四边形ABCD的周长是定值；
④四边形ABCD的面积是定值．
所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②B. ③④C. ①③D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意可得四边形ABCD是平行四边形，设点，则，根据BC=AB，可得关于a的方程，有解，可得①正确；若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，可得到点B，C的坐标，从而得到AB≠BC，可得②错误；取a的不同的数值，可得③错误；根据平行四边的面积，可得平行四边的面积等于8，可得④正确，即可求解．
【详解】解：如图，
∵BC⊥y轴，
∴BC∥AD，
∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
设点，则，
①若四边形ABCD是菱形，则BC=AB，
∴，
∵点A的坐标是，
∴，
∴，解得：，该方程有解，
∴四边形ABCD可能是菱形，故①正确；
②若四边形ABCD是正方形，则AB⊥x轴，AB⊥BC，BC=AB，
∵点A的坐标是，
∴点B的横坐标为5，
∵点B是函数图象上，
∴点B的纵坐标为，
∴
∵BC⊥y轴，
∴点C的纵坐标为，
∵点C是函数的图象的一点，
∴点C的横坐标为，
∴此时，
∴四边形ABCD不可能是正方形，故②错误；
③若a=1时，点，则，
∴AD=BC=7，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
若a=2时，点，则，
∴AD=BC=4，，
∴此时四边形ABCD的周长为，
∴四边形ABCD的周长不是定值，故③错误；
∵，，
∴AD=，点B到x轴的距离为a，
∴四边形ABCD的面积为，
∴四边形ABCD的面积是定值，故④正确；
∴正确的有①④．
故选：D
【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，平行四边形的性质，菱形的判定，正方形的判定，平行四边形的周长、面积公式，利用数形结合思想解答是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 请写出一个y随x的增大而减小的函数的表达式：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了函数的增减性，结合一次函数的性质解答即可．
【详解】根据题意，得，
故答案为：．
12. 不等式组的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了解一元一次不等式组．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
故答案为：．
13. 某路口红绿灯的时间设置为：红灯20秒，绿灯35秒，黄灯5秒，当人或车随意经过该路口时，遇到红灯的概率是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：遇到红灯的概率为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．
14. 如图，扇形的半径，，则以为直径的半圆与围成的区域（图中阴影部分）的面积是 ____．

【答案】
【解析】
【分析】根据垂直的定义及直角三角形的性质可知，再根据勾股定理可知，最后根据扇形的面积及半圆的面积即可解答．
【详解】解：过点作于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
∵扇形的半径，，
∴，
∴，
，
∴阴影部分的面积是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积，掌握垂直的定义及直角三角形的性质是解题的关键．
15. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理、线段最小值问题等知识点，找到最短线段出现的点是解答本题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分）
16. （1）计算∶；
（2）化简∶．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）首先计算绝对值，负整数指数幂，零指数幂和算术平方根，然后计算加减；
（2）根据分式的混合运算法则求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
．
【点睛】本题考查了实数的运算、异分母分式的加减运算，涉及了算术平方根、负指数幂、零指数幂的运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
17. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》中，对学生每天的作业时间提出明确要求：“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”．为了更好地落实文件精神，某县对辖区内部分初中学生就“每天完成书面作业的时间”进行了随机调查，为便于统计学生每天完成书面作业的时间（用t表示，单位h）状况设置了如下四个选项，分别为A：，B：，C：，D：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．

请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）此次调查，选项A中的学生人数是多少？
（2）在扇形统计图中，选项D所对应的扇形圆心角的大小为多少？
（3）如果该县有15000名初中学生，那么请估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有多少人？
（4）请回答你每天完成书面作业的时间属于哪个选项，并对老师的书面作业布置提出合理化建议．
【答案】（1）8人 （2）
（3）9600人 （4）见解析
【解析】
【分析】（1）用选项C中的学生人数除以其所占比例求出总人数，然后用总人数减去其它三个组的人数即可求出选项A的人数；
（2）用乘以其所占比例即可求出答案；
（3）利用样本估计总体的思想解答即可；
（4）答案不唯一，合理即可；如可以结合（3）小题的结果分析．
【小问1详解】
解：此次调查的总人数是人，
所以选项A中的学生人数是（人）；
【小问2详解】
，
选项D所对应的扇形圆心角的大小为；
【小问3详解】
；
所以估算该县“每天完成书面作业的时间不超过90分钟”的初中学生约有9600人；
【小问4详解】
我的作业时间属于B选项；从调查结果来看：仅有的学生符合“初中书面作业平均完成时间不超过90分钟”，还有的学生每天完成书面作业的时间超过了90分钟，所以布置的作业应该精简量少．（答案不唯一，合理即可）．
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图以及利用样本估计总体等知识，正确理解题意、从统计图中获取解题所需要的信息是解题的关键．
18. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交，其中一个交点A的横坐标是2．

（1）求反比例函数的表达式；
（2）将一次函数的图象向下平移4个单位长度，请在图中直接画出平移后的图象，并求出平移后的图象与反比例函数的图象的交点坐标．
【答案】（1）
（2）、
【解析】
【分析】（1）将代入一次函数，即可求出交点A的坐标，再将交点A的坐标代入反比例函数，即可求解；
（2）根据“上加下减”的方法求出平移后的一次函数解析式，将此解析式与反比例函数解析式联立，解方程组，即可求解．
【小问1详解】
根据题意，有当时，，
即交点A的坐标为，
将交点A的坐标代入反比例函数，有，
即，
则反比例函数表达式为：；
小问2详解】
一次函数向下平移4个单位，得到的新的一次函数为：，
联立：，
解得：，或者，
即交点坐标为：、．
【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合题，考查了求解一次函数与反比例函数的交点的问题以及一次函数平移的知识．掌握根据“上加下减、左加右减”的规则得到一次函数平移后的解析式是解答本题的关键．
19. 如图1，晓嘉在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测角仪．将此测角仪拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达树的最高点M．
（1）在图1中，过点A画出水平线，并标记观测M的仰角．若铅垂线在量角器上的读数为53°，求的值；
（2）如图2，已知晓嘉眼睛离地1.5米，站在B处观测M的仰角为（1）中的，向前走1.25米到达D处，此时观测点M的仰角为45°，求树的高度．（注：，，）
【答案】（1）
（2）米
【解析】
【分析】本题考查了仰角的解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
（1）根据互余的性质计算即可；
（2）如图，过点作，垂足为，则米．设米，解直角三角形求解即可．
【小问1详解】
解：如图1；；
【小问2详解】
解：如图，过点作，垂足为，则米．设米．
在中，（米），
在中，（米），
（米），
解得．
答：树的高度为米．
20. 根据表中素材，探索完成以下任务：
【答案】分析：；；问题1：，；问题2：时，则
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用．根据题意列出一次函数解析式是关键．
分析：根据题意即可完成表格；
问题1：根据题意得出y与x的函数关系，并利用一次函数的性质得结论；
问题2：设新的总运费为W，根据题意得出W与x的函数关系，并利用一次函数的性质得结论．
【详解】分析：由从乙仓库运往B村（吨），可得从乙仓库运往B村的运费为（元），；
故答案为：；；
问题1：
化简，得
当时，则
问题2：由题意得，设新总运费为W，则
，
随着x的增大而减小，
∴当时，则．
21. 如图，以 的直角边 为直径作，交斜边 于点 ，点 是 的中点，连接 .
（1）求证：是 的切线；
（2）若 ，求 的长；
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，先根据直角三角形的性质，证明，再证明即可；
（2）由（1）中结论，得，先根据三角函数及勾股定理求出的长，再证明即可；
【小问1详解】
证明：连接，

在中，，
是的直径，
即，
在中，点是的中点，
，
又，
，
，
在上
是的切线．
【小问2详解】
解：由（1）中结论，得，
在中，，
，
，
，
又，
∴，
∴．
【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质与判定，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，判断出是解本题的关键．
22. 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
（1）求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
【答案】（1）
（2）7 （3）
【解析】
【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线函数为，再代入抛物线上已知点的坐标可求出的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）根据（1）所得的函数解析式，代入时求得的值，结合图形即可得出答案；
（3）根据（1）的函数解析式求出与轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，再由函数图象过点代入函数表达式，求出的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得第一象限抛物线顶点坐标为，
∵水柱关于轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为．
【小问2详解】
解：当函数值时，有，
解得，，
结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
【小问3详解】
解：当时，，
喷出水柱的形状不变，水池的高度不变，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该函数图象过点，
，
解得，
改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该抛物线的顶点坐标为，
故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值；（3）根据点的坐标及二次函数性质，利用待定系数法求出二次函数表达式．
23. 综合与实践
数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地．

（1）发现问题：如图1，在和中，，，，连接，，延长交于点．则与的数量关系：______，______；
（2）类比探究：如图2，在和中，，，，连接，，延长，交于点．请猜想与的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：如图3，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点，，在一条直线上，过点作，垂足为点．则，，之间的数量关系：______；
（4）实践应用：正方形中，，若平面内存在点满足，，则______．
【答案】（1），
（2），，证明见解析
（3）
（4）或
【解析】
【分析】（1）根据已知得出，即可证明，得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解；
（2）同（1）的方法即可得证；
（3）同（1）的方法证明，根据等腰直角三角形的性质得出，即可得出结论；
（4）根据题意画出图形，连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，延长至，使得，证明，得出，勾股定理求得，进而求得，根据相似三角形的性质即可得出，勾股定理求得，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
设交于点，

∵
∴，
故答案为：，．
【小问2详解】
结论：，；
证明：∵，
∴，即，
又∵，，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
【小问3详解】
，理由如下，
∵，
∴，
即，
又∵和均为等腰直角三角形
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴；
【小问4详解】
解：如图所示，

连接，以为直径,的中点为圆心作圆，以点为圆心，为半径作圆，两圆交于点，
延长至，使得，
则是等腰直角三角形，

∵,
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
在中，，
∴
∴
过点作于点，
设，则，
在中，，
在中，
∴
∴
解得：，则，
设交于点，则是等腰直角三角形，
∴
在中，
∴
∴
又，
∴
∴
∴，
∴
∴，
在中，，
∴，
综上所述，或
故答案为：或．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，熟练运用已知模型是解题的关键．
身高/cm
人数/人
2
6
10
16
4
2
建设“美丽乡村”，落实“乡村振兴”
问题情境
素材1
己知甲、乙两仓库分别有水泥40吨和60吨．
素材2
现在A村需要水泥48吨，B村需要水泥52吨．
素材3
从甲仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；
从乙仓库往A，B两村运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨．
问题解决
分析
设从甲仓库运往A村水泥x吨，补全以下表格．
运量（吨）
运费（元）
甲仓库
乙仓库
甲仓库
乙仓库
A村
x
B村
①
②
问题1
设总运费为y元，请写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．
问题2
为了更好地支援乡村建设，甲仓库运往A村的运费每吨减少元，这时甲仓库运往A村的水泥多少吨时总运费最少？最少费用为多少元？（用含a的代数式表示）