2024年山东省济南市天桥区中考二模数学试题（原卷版+解析版）

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本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．
答卷前，请考生务必将自己的姓名、座号和准考证号填写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号和座号填写在试卷规定的位置上．
答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答．答案写在试卷上无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列四个数中，最大的数是（ ）
A -1B. 0C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小进行比较即可．
【详解】解：∵，
∴，
四个数中最大的数是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了实数的大小比较，关键是掌握比较大小的法则．
2. 如图所示，由四个相同的小正方体组成的几何图形的左视图是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了三视图的知识；找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【详解】解：从左面看，底层是两个小正方形，左边上层是一个小正方形，

故选：B．
3. 地球绕太阳转动一天通过的路程约是2640000千米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4. 如图，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据得到，结合，得到，计算即可，本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】∵，
∴，，
∴，
又，
∴，
解得，
故选A．
5. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，轴对称图形等知识，根据中心对称图形，轴对称图形的定义判断即可，解题的关键是理解中心对称图形，轴对称图形的定义．
【详解】选项A中的图形是轴对称图形，不符合题意；
选项B中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意，
选项C中的图形是轴对称图形，不符合题意，
选项D中的图形是中心对称图形，不符合题意，
故选：B．
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查整式的运算．利用合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式及同底数幂的除法法则逐项判断即可．
【详解】解：与无法合并，则选项A不符合题意；
，则选项B不符合题意；
，则选项C不符合题意；
，则选项D符合题意；
故选：D．
7. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点A的坐标是，点B的坐标是，顶点A，C分别在反比例函数和的图象上，则的值为（ ）
A. 6B. 4C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．利用平行四边形性质得到，利用全等得到点横坐标，根据图象上点的坐标特征得到点纵坐标即可求出值．
【详解】解：作轴，交轴于点，
点的坐标是，
，
，
，
是平行四边形，
，
，
，
，
在反比例函数的图象上，
，
故选：C．
8. 下列说法正确的是（ ）
A. 为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用扇形统计图最合适
B. 为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式
C. 一组数据的方差不可能为0
D. 在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”表示抽奖l00次一定会中奖
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了方差、概率、抽样调查和全面调查等知识，理解并掌握相关知识是解题关键．根据统计图的特点判断选项A；根据抽样调查和全面调查的特点及适用场合判断选项B；根据方差的概念判断选项C；根据概率的概念判断选项D即可．
【详解】解：A．为了解近十年全国初中生的肥胖人数变化趋势，采用折线统计图最合适，故选项A不正确，不符合题意；
B．为了解我省中学生的睡眠情况，应采用抽样调查的方式，故选项B正确，符合题意；
C．一组数据的方差有可能为0，故选项C不正确，不符合题意；
D．在一次抽奖活动中，“中奖的概率是”， 不表示抽奖100次就有1次中奖，则抽奖l00次不一定会中奖，故选项C不正确，不符合题意；
故选：B．
9. 如图，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（ ）
A. B. 3C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得MN垂直平分AD，AB=10，则有AD=4，AF=2，然后可得，
进而问题可求解．
【详解】解：由题意得：MN垂直平分AD，，
∴，
∵BC＝6，AC＝8，∠C＝90°，
∴，
∴AD=4，AF=2，，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数，熟练掌握勾股定理、垂直平分线的性质及三角函数是解题的关键．
10. 现定义对于一个数a，我们把称为a的“邻一数”；若，则；若，则．例如：，．下列说法，其中正确结论有（ ）个
①若，则；
②当，时，，那么代数式的值为4；
③方程的解为或或；
④若函数，当时，x的取值范围是．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】当，时，根据“邻一数”定义，可得，可判定①；当，时，根据“邻一数”定义，可得，代入计算即可判定②；当时，可解得，当时，可解得，当时，解得，舍去，可判定③；根据“邻一数”定义，得，画出函数图象，根据图象求出x的取值范围，即可判定④．
【详解】解：①当，时，则，，
∴，
∴若，则错误，故①错误；
②当，时，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
③∵，
当时，
，解得；
当时，
，解得；
当时，
，解得，舍去；
∴方程的解为或，故 ③错误；
④∵，
其图象为：
由图象可得：当时，，故④正确．
综上，正确的有②④，共2个，
故选：C．
【点睛】本题考查新定义，代数式求值，解一元一次方程，利用函数图象求不等式解集．理解并运用新定义是解题的关键．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
注意事项:
1．第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
2．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 分解因式： _______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】解：．
故答案为.
12. 若一元一次方程的解为，则____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，把代入方程得出，再求出方程的解即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
故答案为：3．
13. 已知反比例函数的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是_____．
【答案】k＞1．
【解析】
【分析】根据反比例函数的图象经过一、三象限得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可．
【详解】∵反比例函数的图象经过一、三象限，
∴k﹣1＞0，即k＞1．
故答案为k＞1．
【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
14. 爸爸生日快到了，亮亮准备为爸爸煮四个大汤圆作早点:一个芝麻馅，一个水果馅，两个花生馅，妈妈担心爸爸不够吃又增加了两个花生馅的汤圆．这些汤圆除内部馅料不同外，其它一切均相同．则增加两个花生馅的汤圆后爸爸吃到的前两个汤圆都是花生馅的概率是____．
【答案】##0.4
【解析】
【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，首先分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，然后根据题意画树状图，再由树状图求得所有等可能的结果与爸爸吃前两个汤圆刚好都是花生馅的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案；
【详解】解：分别用A，B，C表示芝麻馅、水果馅、花生馅的大汤圆，画树状图得：
∵共有30种等可能的结果，爸爸吃前两个汤圆都是花生的有12种情况，
∴爸爸吃前两个汤圆都是花生的概率为：，
故答案为：．
15. 如图，已知四边形内接于圆，连接、．若为等边三角形，，点、、共线，则阴影部分的面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、锐角三角函数、扇形面积公式等知识，过点作于点，与相交于点，由点共线，可知是的直径，进而得垂径定理，根据是等边三角形，求得的长，分别求出，即可求解．
【详解】解：过点作于点，与相交于点，
点共线，
是的直径，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故答案为．
16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，点E为矩形对角线BD上一动点，连接CE，以CE为边向上作正方形CEFG，对角线CF，EG交于点H，连接DH，则线段DH的最小值为____．
【答案】
【解析】
【分析】作于点I，则，由正方形的性质得，，所以，取的中点O，连接，以点O为圆心为半径作，则点H、点I都在上，所以，可知点H在过点I且与直线所交成的锐角为的直线上运动，则当时，线段的值最小，此时，由矩形的性质得，则，由得，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：如图1，作于点I，则，
∵四边形是正方形，
∴，且，
∴，
∴，
取的中点O，连接，以点O为圆心为半径作，
∵，
∴点H、点I都在上，
∴，
∴点H在过点I且与直线所交成的锐角为的直线上运动，
∴当时，线段的值最小，
如图2，，则，
∵点H、点I都在以为直径的上，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、正方形的性质、圆周角定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形、垂线段最短等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
三、解答题:（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）
17. 计算：
【答案】2
【解析】
【分析】根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简计算即可．
【详解】解：
=
=2．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，二次根式的性质化简，熟练掌握负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．
18. 解方程:．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
整理得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
故原方程的解为．
19. 如图，在平行四边形中，点E在边上，且，点F为线段上一点，且．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出，得到，由推出．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
20. 2024年3月5日上午，国务院总理李强代表国务院在十四届全国人大二次会议上作政府工作报告，提到“深化全民阅读活动”，某校为了解全校学生每周的课外阅读时间情况，随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，根据调查结果绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图．

请根据图表中的信息解答下列问题:
（1）被调查的这些学生的总人数是 人，频数分布表中的 ， ，补全频数分布直方图；
（2）被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第 组；
（3）本校共有1800名学生，试估计本校学生每周课外阅读时间不少于120分钟学生人数．
【答案】（1）40，14，0.15，图见解析
（2）三 （3）675人
【解析】
【分析】本题考查的是频数分布直方图，用样本估计总体，频数分布表和中位数:
（1）被调查的这些学生的总人数是：（人）；则频数分布表中的（人）；；即可补全的频数分布直方图；
（2）根据中位数的定义可知，被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第三组；
（3）估计本校学生每周课外阅读时间不少于120分钟学生人数有，计算即可．
【小问1详解】
QEV : 被调查的这些学生的总人数是：（人）；
频数分布表中的（人）；
；
补全的频数分布直方图如图所示：

故答案为：40；14；0.15．
【小问2详解】
解：由频数分布表可知，被调查的这些学生每周课外阅读时间的中位数落在第三组，
故答案为：三．
【小问3详解】
解：（人），
答：估计本校学生每周课外阅读时间不少于120分钟学生人数有675人．
21. 图1是可折叠哑铃凳的示意图，其侧面可抽象成图2，，为固定支撑点，，为的中点，点在处滑动，使靠背可绕点转动．已知，，．
（1）当从最小角转动到最大角时，求点运动的路径长．
（2）在H转动过程中，求点到地面的最大距离．（结果精确到0.1cm，参考数据：，，，，，，）
【答案】（1）62.8cm
（2）125.8cm
【解析】
【分析】（1）利用弧长公式求解即可．
（2）由题意可知，当 时，点H到地面的距离最大．过点H作HP⊥AB分别交AB、DC延长线于P、K，过点D作DQ⊥AB于点Q．构造直角三角形，利用锐角三角函数，可求出KH，KP的值，相加即是所求．
【小问1详解】
解：（1）∵100°≤∠DCH≤180°，
∴旋转角为180°﹣100°＝80°，
∵CM＝MH＝CH＝45，
∴当∠DCH从最小角转动到最大角时，
点M运动的路径长＝＝＝cm．
∴点M运动的路径长62.8cm．
【小问2详解】
如图2，
当 时，点H到地面的距离最大．
过点H作HP⊥AB分别交AB、DC延长线于P、K，过点D作DQ⊥AB交AB于点Q．则四边形DQPK是矩形．
∴DQ＝KP
在Rt△ADQ中，cm，
在Rt△CKH中，cm，
∴DQ＝KP＝37.6cm，
∴HP＝HK+KP＝88.2+37.6+＝125.8cm，
∴在线段CH转动过程中，H点到地面l的最大距离为125.8cm．
【点睛】本题考查了点的运动轨迹，弧长公式，解直角三角形等知识．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形．
22. 如图，四边形内接于，是的直径，于点，是的切线．
（1）求证：平分；
（2）如果，半径为4，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，平行线的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
（1）连接，利用切线的性质定理，平行线的判定与性质，同圆的半径相等，等腰三角形的性质解答即可；
（2）利用圆周角定理和勾股定理求得，再利用相似三角形判定与性质解答即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
∴，
．
，
，
，
平分；
【小问2详解】
解：是的直径，
，
的半径为4，
，
．
，
．
，
，
，
，
，
．
23. 某景区为落实《关于推动露营旅游休闲健康有序发展的指导意见》，拟购买A，B两种型号的帐篷，为游客提供露营服务．已知购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元．
（1）求A种帐篷和B种帐篷的单价各是多少元？
（2）若该景区要购买A，B两种型号的帐篷共20顶，其中B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种帐篷和B种帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？
【答案】（1）600元，1000元
（2）购买A种型号帐篷15顶，购买B种型号帐篷5顶，总费用最低，最低总费用为14000元
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用：
（1）设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，根据购买A种帐篷2顶和B种帐篷4顶，共需5200元；购买A种帐篷3顶和B种帐篷1顶，共需2800元得：，即可解得A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
（2）设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，由B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，可得，而，由一次函数性质可得答案．
【小问1详解】
解：设A种帐篷的单价是m元，B种帐篷的单价是n元，
根据题意得：，
解得，
∴A种帐篷的单价是600元，B种帐篷的单价是1000元；
小问2详解】
解：设购买A种帐篷x顶，购买帐篷的总费用为y元，则购买B种帐篷顶，
∵B种帐篷数量不少于A种帐篷数量的，
∴，解得，
根据题意得：，
∵，
∴y随x的增大而减小，
∴当时，y取最大值，
此时，
∴购买A种帐篷15顶，购买B种帐篷5顶，总费用最低为14000元．
24. 某中学综合实践小组为制作弹簧测力计，需要先了解在弹性限度内，弹簧长度和所挂物体质量的关系．因此设计了如下实验．
【实验操作】
弹簧未挂重物之前长度为，在弹性限度内，将弹簧依次挂上不同质量的物体，然后测量出相应的弹簧长度．得到如下数据:
任务1:
将这些数据表示为点的坐标: ,，经过描点、连线发现点和点 在同一条直线上．
【建立模型】
讨论发现:“”是初始状态下的准确数据，弹簧长度的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画弹簧长度与所挂物体质量的关系．
任务2:
根据以上点的坐标求出三条直线的函数解析式．
【反思优化】
经过上面的计算，到底选择哪个函数更合适呢?小组成员决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道:将值代入函数解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应的测量值之差的平方和的平均值，记为，即，越小，偏差越小．
任务3:
①计算任务2中三条直线的值；
②如果从这三条直线中选择一条来描述弹簧长度与所挂物体质量的关系，你认为最接近的是直线 ；
③实际上，经过的直线有无数条，我们把最小时对应的函数称为最优函数．若最优函数表达式为，则 ．
【答案】任务1：；任务2：AB：；AC：；AE：；任务三：①；；；②；③
【解析】
【分析】本题主要考查一次函数的应用和新定义的应用:
任务1：描点、连线画出图象，得出结论；
任务2：利用待定系数法求函数解析式即可；
任务3：①利用w的计算公式分别求出的w值；
②由①和题意得出结论；
③按照w的计算公式计算出，由函数性质得出结论．
【详解】解：任务1：描点、连线：
由图象可知，点和点在同一条直线上．
故答案为：；
任务2：设直线的解析式为
把代入解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为；
同理：直线的解析式为；
直线的解析式为；
任务3：①；
；
；
②由①可知，最接近的是直线，
故答案为：；
③
，
∵，
∴当时，w有最小值，最小值为0.0076．
故答案为：0.48．
25. （1）如图1，网格中每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D均在格点上，且点D在线段上，连接，将绕点D顺时针旋转，使点C的对应点E落在线段上，作关于直线的对称线段．
① °；
②线段可以看作是由线段绕点D顺时针旋转 °得到．
（2）如图2，等腰直角中，，点D为边上一点，连接，将绕点D顺时针旋转，使点C的对应点E落在边上（点E不与点A，点C重合）．分别作关于直线的对称线段和，连接，解答下列问题:
①求的度数；
②请探究线段之间的数量关系，并说明理由．
（3）若（2）中点C的对应点E落在直线上，其他条件不变，连接，当，时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①45；②90；（2）①；②，理由见解析；（3）或
【解析】
【分析】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理及应用，三角形内角和定理及应用等知识．
（1）①由图知是等腰直角三角形，故；②可知，故，根据关于直线的对称线段，可得，故，从而知线段可以看作是由线段绕点P顺时针旋转得到；
（2）①同（1）②可得的度数为；②连接，根据关于直线的对称线段和，可得是等腰直角三角形，故，又，从而；
（3）分两种情况：①当E在线段上时，连接，根据关于直线的对称线段和，E在上，知F在上，，而，故，可得，有，,即得；②当E在线段的延长线上时，同理可知．
【详解】解：（1）①由图1可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为：45；
②如图：
∵将绕点D顺时针旋转，使点C的对应点E落在边上，
∴，
∴，
∴，
∵关于直线的对称线段，
∴，
∴，
∴，
由①知：，即，
∴，
∴线段可以看作是由线段绕点P顺时针旋转得到，
故答案为：90；
（2）①如图：
∵将绕点D顺时针旋转，使点C的对应点E落在边上，
∴，
∴，
∴，
∵关于直线的对称线段，
∴，
∴，
∴，
∵等腰直角三角形，
∴，即，
∴；
即的度数为；
②，理由如下：
连接，如图：
∵关于直线的对称线段和，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）①当E在线段上时，连接，如图：
∵关于直线的对称线段和，E在上，
∴F在上，，
由（2）知，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②当E在线段的延长线上时，如图：
同理可知F，A，G共线，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
26. 已知抛物线:交轴于点A，B，交轴于点C．
（1）如图1，当点A坐标为时，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，点D是第二象限内抛物线上的一点，连接，若将四边形平分成面积相等的两部分，求点D的横坐标；
（3）如图2，为等边三角形，点F，H在轴上，且点E的坐标为，将抛物线:向右平移个单位，再向下平移个单位后得到新的抛物线，若与等边三边恰有四个交点，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的图象及性质，求一次函数解析式，等边三角形的性质等知识点，
（1）将点代入，即可求函数的解析式；
（2）设，求出直线的解析式为，再由，可得方程，即可求D点横坐标；
（3）根据等边三角形的性质，分别求出，，再由平移的性质求出平移后的函数解析式为，求出直线的解析式为，直线的解析式为，当直线、与抛物线相切时，与抛物线与三个交点，当抛物线经过、时，与抛物线与三个交点，根据此临界情况，可得当或时，与等边三边恰有四个交点；
熟练掌握二次函数的图象及性质，等边三角形的性质，函数图象平移的性质是解题的关键．
【小问1详解】
解：将代入中得，
，
解得：，
∴；
【小问2详解】
设，y轴与直线交于点E，
当时，，
解得：（舍去），，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
令得，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵D是第二象限内抛物线上的一点，
∴（舍去），
∴点D的横坐标是；
【小问3详解】
将抛物线：向右平移个单位，向下平移个单位后得到新的抛物线：，
①如图2，当抛物线与边相切时，抛物线与等边三角形三边有三个交点，
∵，为等边三角形，
∴，
∴，，
设直线的解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
解得（舍去），
当抛物线过点时，抛物线与等边三角形三边有三个交点，
，
，
∴当抛物线等边三角形三边恰有四个交点时，，
②如图3，当抛物线与边相切时，抛物线与等边三角形三边有三个交点，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
解得（ 舍去），
当抛物线过点时，抛物线与等边三角形三边有三个交点，
，
∴，
∴当抛物线等边三角形三边恰有四个交点时，，
综上：或时，抛物线与等边三边恰有四个交点．
组别
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频率
第一组
4
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第二组
7
0.175
第三组
0.35
第四组
9
0.225
第五组
6
所挂物体质量
0
1
2
3
4
弹簧长度（测量值）
3
3.5
4.1
4.5
4.8