2024年四川省成都市简阳市九年级中考数学二诊试题（原卷版+解析版）

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1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效．
3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．
A卷（共100分）
第Ⅰ卷（选择题，共32分）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1. 在数轴上，2，，离原点最近的是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是数轴．先求出各数的绝对值，再比较出其大小即可．
【详解】解：，，，，
，
离原点最近的点是．
故选：C．
2. 据光明网消息，2023年1月16日复兴号家族中最“抗冻”、最智能的成员——CR400BF—GZ型复兴号高寒智能动车组落户黑龙江，春运期间将首次在我国最北端高寒地区开行．这标志着时速350千米的复兴号动车组再次刷新极寒运行纪录，中国高铁实现新突破350千米用科学记数法表示为（ ）
A. 米B. 米C. 米D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较大的数，科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题先将350千米化为单位米后，小数点往左移动5位到的后面，所以
【详解】解：
故选：B．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别根据积的乘方，合并同类项，完全平方公式和平方差公式法则进行判断即可．
【详解】解：A．，原式计算错误；
B． ，原式计算错误；
C． ，计算正确；
D． ，原式计算错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，平方差公式和幂的乘方，熟练掌握运算法则，牢记乘法公式是解题的关键．
4. 小明同学在喝水时发现了这样一个有趣的现象：当水杯保持某一静止状态时，水面始终与桌面保持平行．如图所示，矩形为静止状态的某水杯的截面图，杯中水面与的交点为，当水杯侧面与桌面的夹角为54°时，则的度数为（ ）
A. 46°B. 36°C. 54°D. 56°
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，平行线的性质．由平行线的性质可得，由矩形的性质可得，即可求解．
【详解】解：∵，
，
四边形是矩形，
，
，
故选：B．
5. 随着自动驾驶技术的不断发展，某知名汽车制造公司近期对研发的自动驾驶汽车进行了一次大规模的路测，有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试．测试结束后，技术部门对每辆汽车的性能进行评估（车辆的自动驾驶技术、安全性、反应速度等综合表现），得分如下：
得分的中位数和众数分别是（ ）
A. 80，80B. 82.5，80C. 80，85D. 85，80
【答案】D
【解析】
【分析】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．
【详解】有45辆自动驾驶汽车参与了这次测试，45个分数，按大小顺序排列最中间的数据是第23个数：85，
故得分的中位数是85（分），
得80分的人数最多，有16人，故众数为80，
故选D．
6. 有这样一个数学问题：今有五人分十钱，令上三人所得与下两人等，问各得几何．其意思为：现在有五个人分十钱（钱为古代一种货币单位），要求上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等，问每个人各得到多少钱．设上面三个人各得钱，下面两个人各得钱，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．根据“五个人分十钱”，“上面三个人得到的总钱数和下面两个人得到的总钱数相等”，即可列出方程组．
【详解】解：根据题意得．
故选：A．
7. 如图，中，为弦，为半径，且于点．若，则的度数为（ ）
A. 28°B. 26°C. 25°D. 24°
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理．由题意易得，进而可得，再根据等边对等角即可得出结论．
【详解】解：∵，，
∴
∵，
∴，
∵
∴，
故选：B．
8. 某同学用描点法画二次函数的图象时，列出了下面的表格，请你根据获得的信息分析下列四个结论，错误的是（ ）
A.
B. 抛物线与轴的交点为和
C. 若点，在该抛物线上，当时，则
D. 对于任意实数（），总成立
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征以及抛物线与轴的交点；根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等可判断A；根据二次函数的与x轴交点可判断B；根据二次函数的值与该点到对称轴的距离可判断C；根据二次函数的最值可判断D．
【详解】解：A．由函数图象关于对称轴对称，得，在函数图象上，
，
，故A正确，不符合题意；
B．当时，，当时，，
抛物线与轴的交点为和，故B正确，不符合题意；
C．二次函数图象以为对称轴，抛物线开口向上；
点，在抛物线图象上，，
，即，
当时， ，此时，
当时， ，此时，
当时，此时无解，
∴综上所述：．故C正确，不符合题意．
D．顶点为，函数有最小值，即最小值是，
对于任意实数，则，即总成立，故D错误，符合题意；
故选：D．
第Ⅱ卷（非选择题，共68分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
9. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】先提取公因式b，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
【详解】解：a2b﹣b＝b（a2﹣1）＝b（a+1）（a﹣1）．
故答案为：b（a+1）（a﹣1）．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．
10. 如图，与位似，点是它们的位似中心，其中，若的面积是3，则的面积是__________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到， ，得到，根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：，
，
与位似，
，，
，
，
，
的面积是3，
的面积是12，
故答案为：12．
11. 据新华社消息，四川作为第五批高考综合改革省份之一，从2022年启动高考综合改革，2025年起实施．改革后，四川高考将不再分文理科，实行“3+1+2”模式，除语文、数学、外语3门科目以外，学生应从历史和物理2门科目中首选1门科目，从思想政治、地理、化学、生物学4门科目中再选2门科目．张颖同学从再选的4门科目中随机选择科目，恰好选到生物学和化学的概率为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查列表法与树状图法．列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选择化学和生物的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：思想政治简称为思政，列表如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好选择化学和生物的结果有2种，
恰好选择化学和生物的概率为，
故答案为：．
12. 若点，都在函数的图象上，则________（填“”或“”）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点．先根据函数解析式判断出函数的增减性，进而可得出结论．
【详解】解：函数中，，
随的增大而增大，
，
．
故答案为：．
13. 如图，在中，，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，连接，若，则的长为___________．

【答案】3
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识．证明，再证明，可得结论．
【详解】解：由题意垂直平分线段，
，
，，
，，
，
，
．
故答案为：3．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上）
14. （1）计算：．
（2）解不等式组：
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组．
（1）先计算零指数幂、去绝对值符号、计算算术平方根和负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）
；
（2）解：解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
则不等式组的解集为．
15. 随着教育改革的不断深入，学校越来越注重学生的个性化发展和兴趣培养．为了更深入地了解同学们对社团课程的兴趣和爱好，某校特别设计了一项关于课程兴趣的问卷调查，问卷包含了同学们对人文底蕴、科学精神、健康生活、实践创新和学科拓展课程喜好程度的调查，小颖根据收集到的数据绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）本次调查的学生共有_________人，请补全条形统计图
（2）在扇形统计图中，求“人文底蕴”对应的圆心角度数；
（3）为了进一步提升学生对社团课程的兴趣，增强课程的参与度，学校从喜爱“科学精神”课程的学生中随机邀请了4名学生（两男两女）参与课程体验．完成课程体验，校园电视台从这4名学生中随机选出2名学生进行现场采访，求选出的2名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）200，图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图信息关联问题，以及概率的应用，旨在考查学生的数据处理能力．
（1）根据科学精神在条形统计图和扇形统计图的数据即可求出本次调查的学生，根据被调查学生数求出被调查学生中“健康生活”、“学科拓展”的人数，再补全图形即可；
（2）计算出人文底蕴的百分比再乘以360度即可求解；
（3）画出树状图，确定可能出现的所有结果以及满足条件的结果数，即可求解．
【小问1详解】
解：本次调查的学生共有：（人）；
本次调查的学生中“健康生活”的人数（人）
本次调查的学生中“学科拓展”的人数（人）
补全条形统计图如下：
【小问2详解】
表示“人文底蕴”对应的圆心角度数为：；
答：“人文底蕴”对应的圆心角度数为．
【小问3详解】
解：画出树状图如下：
一共有种等可能的情况，恰好是一男一女的情况有种，
∴恰好是一男一女的概率是：
16. 现代化的写字楼为了优化室内通风效果，特别设计了一种可调整角度的平开窗．窗户推开不同角度时，室内通风效果会有所不同．图1为一面宽为60cm，高为120cm的平开窗，图2为平开窗的正面图，图3为平开窗的侧面图，现在用表示窗户所在的墙面，将窗户向外推开至的位置，此时，室内通风效果一般．为了让室内通风效果更好，现将窗户继续向外推开至的位置，此时，窗户从运动到的开窗过程中，求点上升的高度．（结果精确到0.1cm；参考数据：，，，，，）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
过点作于点，过点作于点，在中，求出的长度，在中，求出的度数，从而求出的长度，最后由点上升的高度为，进行计算即可得到答案．
【详解】解：如图，
，
在中，，，
，
在中，，
，
点上升的高度：，
答：点上升的高度约为．
17. 如图，已知是的直径，点是的中点，点是的中点，连接，，，与交于点，过点作于点．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连结交于点由圆周角定理可得，可推出，即可证明DF为的切线．
（2）由可得比例关系（平行线分线段成比例），从而求出的长．
【小问1详解】
解：如图，连结交于点，

点为的中点，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
【小问2详解】
点C为的中点，
，
，
由（1）得，
，
，
，，
，
即，
，
，
，
．
【点睛】本题重点考查垂径定理、圆周角定理、切线的判定定角平分线的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识的综合运用，解题关键是正确作出辅助线．
18. 如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点A的坐标为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，连接，求的面积；
（3）作直线分别垂直于x轴和y轴，垂足为M，N，与交于点C，在第一象限内存在一点D使得，连接，若点P是的中点，连接，当最大时，求出此时点D的坐标及的值．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）将代入，可求，则，将代入，可求，进而可得反比例函数的解析式；
（2）如图1，记直线与轴的交点为，则，联立，可求，根据，计算求解即可；
（3）如图2，取中点为G，连接，取中点Q，连接，，则，，在中，，则，，则，，由，可知当C，P，Q三点共线时，有最大值，即，如图2，过点P作PH⊥BC于点H，则，此时点P坐标为，进而可求点D坐标．
【小问1详解】
解：将代入得，
解得，，
∴，
将代入得，，
解得，，
反比例函数的解析式为；
【小问2详解】
解：如图1，记直线与轴的交点为，
当时，，
∴，
联立，
解得，，
，
∴，
∴的面积为；
【小问3详解】
解：如图2，取中点为G，连接，取中点Q，连接，，
，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴等腰中，，
∴，
在中，，
∵，
当C，P，Q三点共线时，有最大值，即，
如图2，过点P作PH⊥BC于点H，
，此时点P的坐标为，
P是的中点，
点D的坐标为，
∴点D的坐标为，的值为．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，三角形三边关系的应用，正弦等知识．熟练掌握反比例函数解析式，反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，中位线，三角形三边关系的应用，正弦是解题的关键．
B卷（共50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）
19. 如图，矩形位于数轴上，为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为，则点表示的数为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查的是实数与数轴．利用勾股定理求得，再根据两点间的距离公式即可求出点表示的数．
【详解】解：为3个单位长度，为2个单位长度，以为圆心，矩形对角线长为半径作弧与正半轴的交点为，
，
点表示的数为：，
故答案为：．
20. 已知，是关于的方程的两个实数根，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程根的定义及根与系数关系由一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再利用整体代入的方法即可得到答案．
【详解】解：∵m，n是方程两个实数根，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：5
21. 如图，在正方形中，点在边上，且，过点作交于点，在矩形内部作正方形，若矩形的面积为2，则正方形的面积为：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正方形的性质，二次根式的混合运算；设，根据可得正方形边长，进而由矩形的面积为2，得出，即可由正方形面积公式解题．
【详解】解：设，则，
∴，
∴在正方形中，，
∴，
∵矩形的面积为2，即：，
∴，
∴，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
22. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点．点，点在平面直角坐标系内且满足，连接，，，则的最小值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，平行四边形的判定与性质，两点之间线段最短，分别求出直线与轴交点坐标以及点的坐标，根据点坐标可得，要求的最小值只要求最小，平移点B，构造平行四边形和直角三角形，根据两点之间线段最短可解决问题
【详解】解：∴直线与反比例函数的图象交于，两点，
∴联立方程组，
解得，
∴
对于，当时，，
∴，
∵点，点，
∴，轴，
要求的最小值只要求最小，将点B向左平移3个单位，连接，如图，
则，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴
当三点共线时，最小，即最小，
在中，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
23. 如图，在中，，，，点D是边上一点（且点D不与点A，B重合），连接，将沿翻折得到，连接，若是直角三角形，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，先由勾股定理求出，再由由折叠的性质可得，，由求出，再利用证明，然后利用相似三角形分两种情况求解即可.
【详解】解：是直角三角形，当，则与或重合，不符合题意；
当，为斜边，不符合题意；
故，根据点的位置不同，有两种情况．
①当在上方时，如图所示，延长交延长线于，
在中，，，，
∴，
由折叠的性质可得，，
在中，由勾股定理得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
②在下方时，如图：延长交延长线于，
同理可得：，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
故答案为：或．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）
24. 某服装店销售某品牌服饰，经调查发现，该服装店每件服装售价至少为66元且不高于98元，每月的销售量（件）与售价（元/件）之间满足一次函数关系，如图所示．
（1）求与的函数解析式；
（2）①该服装店3月份每件服装售价为94元/件，利润为6120元，求每件服装的成本；
②4月份服装店为减少库存，决定进行降价销售（每件服装降低5元销售，成本与3月相同，但售价与3月不同），4月该服装店可获得的最大利润是多少元?
【答案】（1）；
（2）①每件服装的成本为34元；②4月该服装店可获得的最大利润是元
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数的应用及二次函数的应用，解题时要能读懂题意，灵活运用二次函数的性质是关键．
（1）依据题意，设所求函数解析式为，利用待定系数法可以得解；
（2）①依据题意，令，从而可得销售量为（件，即可得解；
②依据题意，设4月份原来售价为元，利润为元，故可得销售量，又成本与3月份相同，可得4月该服装店可获得的利润为：，再由二次函数的性质即可判断得解．
【小问1详解】
解：由题意，设所求函数解析式为，
又函数图象过点，，
．
．
函数的解析式为；
【小问2详解】
解：①由题意，令，
销售量为（件）．
每件服装的成本为：（元）．
②由题意，设4月份原来售价为元，利润为，则降价5元后售价为元，
销售量为（件）．
又成本与3月份相同，
月该服装店可获得的利润为：．
当时，利润取最大值为．
答：4月该服装店可获得的最大利润是元．
25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，对称轴直线与轴交于点，连接，，的面积为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点为抛物线上的一个动点，点的横坐标为，过点作直线轴交直线于点，于点，当时，求的值；
（3）抛物线与关于轴对称，若点是抛物线上一点，点在直线上，点在坐标平面内，当四边形是正方形时，请求出点的横坐标．
【答案】（1）；
（2）或
（3）点横坐标为或或或．
【解析】
【分析】（1）设抛物线的解析式为，根据面积求出，将点代入函数解析式即可求的值，从而确定函数解析式即可；
（2）由题可知，再分别求出，，则，，根据，建立方程求出的值即可；
（3）由对称性可求，当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，可证明，设，则或，将点代入函数解析式求出的值即可求点横坐标；当点在轴上方时，同理可得或，再求点横坐标即可．
【小问1详解】
解：设抛物线的解析式为，
、的中点为，
，
的面积为，
，
解得，
，
将点代入，
，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
解：点的横坐标为，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
∵轴，
，
∵轴，
，
，，
，
，
解得或，
，
或；
【小问3详解】
解：抛物线与关于轴对称，
，
当点在轴下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，
四边形是正方形，
，，
，
，
，，
设，
，，
，
，
解得（舍）或，
点横坐标为；
同理可得，
，
解得或（舍），
点横坐标为；
当点在轴上方时，同理可得，
，
解得或（舍，
点横坐标为；
同理可得，
，
解得或（舍，
点横坐标为；
综上所述：点横坐标为或或或．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
26. 如图，在中，，，是的中点，点是边上一点，连接，在线段的左侧作，射线与边交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）如图，过点作于点，与线段交于点，当点与点重合时，求值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）．
【解析】
分析】（）证明即可求证；
（）过点作交于点，可得，得到，，进而得，，又由是的中点得到，可得，利用勾股定理得到，得到，即得，即可得到；
（）由是的中点得，设，则，由勾股定理的，由得，根据，得到，即得，可得，再证明，得到，又证明，得到，可得，在中，利用三角函数得，再代入计算即可求解；
【小问1详解】
证明：，，
，
，
；
【小问2详解】
解：过点作交于点，
∴，
，，
，
，，
∵是的中点，
，
，
中，由勾股定理得：，
，
，
；
【小问3详解】
解：，是的中点，
，
设，则，，
∴
∵，
，
∵点与点重合，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
在中，，
，
，
，
，
在中，于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
得分（分）
75
80
85
90
车辆（辆）
5
16
14
10
…
0
1
2
3
…
…
0
0
…
思政
地理
化学
生物
思政
（思政，地理）
（思政，化学）
（思政，生物）
地理
（地理，思政）
（地理，化学）
（地理，生物）
化学
（化学，思政）
（化学，地理）
（化学，生物）
生物
（生物，思政）
（生物，地理）
（生物，化学）