2024年山东省日照山海天旅游度假区青岛路中学九年级二模考试数学试题（原卷版+解析版）

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1. （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的定义可求．
【详解】解：-2，
故选A．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，要注意正确区分平方根与算术平方根，解题的关键是掌握算术平方根的定义．
2. 可燃冰是一种新型能源，它的密度很小，可燃冰的质量仅为．数字用科学记数法表示是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：用科学记数法表示为．
故选：B．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
3. 如图是一个由6个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】观察图中几何体中正方体摆放的位置，根据俯视图是从上面看到的图形即可判定．
【详解】解：由俯视图的定义可知：从上往下观察发现∶
故选C．
【点睛】本题考查三视图，解题的关键是熟练掌握俯视图是从物体上面看所得到的图形．
4. 如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线l与出射光线m平行．若入射光线l与镜面的夹角，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，可求出∠5，由//可得∠6=∠5
【详解】解：由入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，可得∠1=∠2，
∵
∴
∴
∵//
∴
故选：C
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等是解答本题的关键．
5. 下列各式运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用去括号的法则，幂的运算法则和零指数幂的意义对每个选项进行判断即可．
【详解】A：，故选项A不正确；
B：，故选项B不正确；
C：，故选项C正确；
D：，故选项D不正确；
故选：C．
【点睛】本题考查了去括号法则，幂的运算法则和零指数幂的意义，正确利用上述法则对每个选项做出判断是解题的关键．
6. 一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是x km/h，根据题意所列方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设这辆汽车原计划的速度是x km/h，，则实际速度为km/h，根据题意“提前1小时到达目的地”，列分式方程即可求解．
【详解】解：设这辆汽车原计划的速度是x km/h，则实际速度为km/h，
根据题意所列方程是
故选C
【点睛】本题考查了列分式方程，理解题意列出方程是解题关键．
7. 关于x，y的方程组的解满足，则的值是（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】法一：利用加减法解方程组，用表示出，再将求得的代数式代入，得到的关系，最后将变形，即可解答．
法二：中得到，再根据求出代入代数式进行求解即可.
【详解】解：法一：，
得，
解得，
将代入，解得，
，
，
得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，
∴，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出的关系是解题的关键．
8. 如图在中，，分别以点A、B为圆心，大于线段长度一半的长为半径作弧，两弧相交于E、F两点，作直线，交于点D，点O为的中点，若，，则（ ）

A. B. C. 2.5D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得：是的垂直平分线，得出，求出，然后在直角三角形中，利用勾股定理设未知数求出，再根据直角三角形斜边中线的性质求解.
【详解】解：根据题意可得：是的垂直平分线，
∴，
∵，，，
∴，
设，
则，
在直角三角形中，
∵，
∴，
解得，
即，
∵O为的中点，
∴；
故选：C.
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、勾股定理、锐角三角函数以及直角三角形的性质等知识，得出、求出是解题的关键.
9. 如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线．有下列结论：①；②；③；④当时，；⑤若、（）是方程的两根，则方程的两根m、n（）满足，且．其中，正确结论的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据一次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2−4ac＞0，求得4ac−b2＜0，故②正确；根据对称轴为直线x＝−1得到b＝2a，当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，于是得到c−a＜0，故③错误；当x＝−n2−2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2＋bx＋c＝a（−n2−2）2＋b（−n2−2）＋c＝an2（n2＋2）＋c，于是得到y＝an2（n2＋2）＋c≥c，故④正确；⑤由方程的根得到函数与x轴的交点横坐标分
别为x1，x2(x1 < x2)，进而由方程的两根为m，n即为函数与直线y= 1的交点横坐标，得到x1与m、x2与n之间的关系.
【详解】解：由图象开口向上，可知a＞0，
与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，
又对称轴为直线x＝−1，所以−＜0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①错误；
∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，
∴b2−4ac＞0，
∴4ac−b2＜0，故②正确；
∵−＝−1，
∴b＝2a，
∵当x＝−1时，y＝a−b＋c＜0，
∴a−2a＋c＜0，
∴c−a＜0，故③错误；
当x＝−n2−2（n为实数）时，y＝ax2＋bx＋c＝a（−n2−2）2＋b（−n2−2）＋c＝an2（n2＋2）＋c，
∵a＞0，n2≥0，n2＋2＞0，
∴y＝an2（n2＋2）＋c≥c，故④正确，
⑤∵x1，x2(x1 < x2)是方程的两根，
∴ (a > 0)与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2 (x1∵方程a(x- x1)(x-x2)- 1 = 0的两根为m，n，
∴函数与直线y=1的交点横坐标为m，n，
∵函数图象开口向上，
∴x1>m，x2∴正确的个数有3个，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象与x轴的交点坐标与方程的解之间的关系，解题的关键是熟知函数的图象与系数的关系.
10. 如图的半径为3，的顶点、在上，，，当点在上运动时，的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接，当时，最短，利用圆性质，三角函数，计算即可.
本题考查了圆的性质，垂线段最短，勾股定理，三角函数，熟练掌握圆的性质，三角函数是解题的关键.
【详解】连接，当时，最短，
∵，
∴延长线与的延长线交于D，点D在圆上，
设，则，
∵，，
∴，

∴，
∴，
∴，
∴.
故选A.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11. 点关于原点的对称点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，可以直接得到答案．
【详解】点关于原点对称的点的坐标是
故答案为：
【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y）．
12. 若（a﹣3）2+=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为________．
【答案】11或13##13或11
【解析】
【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性求得的值，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论，根据构成三角形的条件取舍即可求解．
【详解】解：∵（a﹣3）2+=0，
∴，，
当为腰时，周长为：，
当为腰时，三角形的周长为，
故答案为：11或13．
【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，非负数的性质，掌握以上知识是解题的关键．
13. 《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的周长为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的周长为______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查位似变换，相似多边形的性质，圆的周长等知识，利用“相似多边形的周长之比等于相似比”求得答案．解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
【详解】解：根据题意知，正方形∽正方形，且相似比为：，
∴正方形的周长：四边形的周长．
∵正方形ABCD的周长为4，
∴四边形的周长为8．
故答案为：8．
14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用一元二次方程有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数关系得到，代入，解得的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，
∵，，
∴，
解得（不合题意，舍去），
∴
故答案为：3
【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．
15. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，与反比例函数在第一象限内的图象交于点B，连接．若，，则的值是___________．
【答案】8
【解析】
【分析】过点B作轴于点D，先求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式，求出，根据，求出，即可得到点B的坐标，将点B的坐标代入即可求解．
【详解】解：把代入得：，
∴，则，
过点B作轴于点D，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
把点代入得：，
解得：，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，解直角三角形，解题的关键是正确画出辅助线，构造直角三角形，以及用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
16. 如图，在等边中，过点C作射线，点M，N分别在边，上，将沿折叠，使点B落在射线上的点处，连接，已知．给出下列四个结论：①为定值；②当时，四边形为菱形；③当点N与C重合时，；④当最短时，．其中正确的结论是________（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】根据等边三角形的性质可得，根据折叠的性质可得，由此即可判断①正确；先解直角三角形可得，从而可得，然后根据平行线的判定可得，根据菱形的判定即可得②正确；先根据折叠的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据即可判断③错误；当最短时，则，过点作于点，连接，交于点，先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可得，设，则，，再利用勾股定理可得，，然后根据建立方程，解一元二次方程可得的值，由此即可判断④正确．
【详解】解：是等边三角形，且，
，，
由折叠的性质得：，
，是定值，则结论①正确；
当时，则，
在中，，
，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
四边形为平行四边形，
又，
四边形为菱形，则结论②正确；
如图，当点与重合时，
，
，
由折叠的性质得：，
，，
，
，则结论③错误；
当最短时，则，
如图，过点作于点，连接，交于点，
，
，
，
由折叠的性质得：，
设，则，
在中，，即，
解得，
，
设，则，，
，
，
，
，
解得或（不符合题意，舍去），
，则结论④正确；
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、解直角三角形、菱形的判定、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握折叠的性质是解题关键．
三、解答题（本大题共8小题共72分、解答应写出必要的文字说明或推演步骤：）
17. （1）计算．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）3 （2），．
【解析】
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的性质，绝对值化简解答即可．
（2）先对分式通分、因式分解、约分化简，化成最简分式，后代入求值．
本题考查了特殊角的三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，分式的化简求值，熟练掌握相关公式，运用因式分解，通分，约分等技巧化简是解题的关键．
【详解】（1）
．
（2）解：
，
当，时，
原式．
18. 劳动教育具有树德、增智、强体、育美的综合育人价值，有利于学生树立正确的劳动价值观．某学校为了解学生参加家务劳动的情况，随机抽取了名学生在某个休息日做家务的劳动时间作为样本，并绘制了以下不完整的频数分布表和扇形统计图．根据题中已有信息，解答下列问题：
（1）________，________；
（2）若该校学生有640人，试估计劳动时间在范围的学生有多少人？
（3）劳动时间在范围的4名学生中有男生2名，女生2名，学校准备从中任意抽取2名交流劳动感受，求抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】（1）80，20
（2）160人 （3）
【解析】
【分析】（1）先用的频数除以百分比求出抽取的人数m，再用m减去其他的人数求出a的值；
（2）用该校的总人数乘以所占的百分比；
（3）画出树状图，根据概率的计算公式即可得出答案．
【小问1详解】
m=，
a=80-12-28-16-4=20；
故答案为：80，20；
【小问2详解】
（人），
∴劳动时间在范围的学生有160人；
【小问3详解】
画树状图如图所示：
总共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
∴抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生概率：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法、用样本估计总体、频数分布表和扇形统计图，解决本题的关键是掌握概率公式．
19. 如图，在Rt中，，．点D是的中点，过点D作交于点E.延长至点F，使得，连接、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，则的值为_______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可得证；
（2）设，则，根据菱形的性质可得，，勾股定理求得，根据，，即可求解．
【小问1详解】
证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
四边形菱形；
【小问2详解】
解：，
设，则，
四边形是菱形；
，，
，
在中，，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，求正切，掌握以上知识是解题的关键．
20. 某水果店经销甲、乙两种水果，两次购进水果的情况如下表所示：
（1）求甲、乙两种水果的进价；
（2）销售完前两次购进的水果后，该水果店决定回馈顾客，开展促销活动．第三次购进甲、乙两种水果共200千克，且投入的资金不超过3360元．将其中的m千克甲种水果和3m千克乙种水果按进价销售，剩余的甲种水果以每千克17元、乙种水果以每千克30元的价格销售．若第三次购进的200千克水果全部售出后，获得的最大利润不低于800元，求正整数m的最大值．
【答案】（1）甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元
（2）正整数m的最大值为22
【解析】
【分析】（1）设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元，根据总费用列方程组即可；
（2）设水果店第三次购进x千克甲种水果，根据题意先求出x的取值范围，再表示出总利润w与x的关系式，根据一次函数的性质判断即可．
【小问1详解】
设甲种水果的进价为每千克a元，乙种水果的进价为每千克b元．
根据题意，得
解方程组，得
答：甲种水果的进价为每千克12元，乙种水果的进价为每千克20元．
【小问2详解】
设水果店第三次购进x千克甲种水果，则购进千克乙种水果，
根据题意，得．
解这个不等式，得．
设获得的利润为w元，
根据题意，得
．
∵，
∴w随x的增大而减小．
∴当时，w的最大值为．
根据题意，得．
解这个不等式，得．
∴正整数m的最大值为22．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的二元一次方程，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求最值．
21. 某校无人机兴趣小组为学校“五四青年节庆祝活动”提供空中摄像支持，提前在学校操场上试飞无人机．如图1，为了测算无人机飞行高度，兴趣小组进行了如下操作：无人机从C处垂直上升到D处，在此处测得操场两端A，B的俯角分别为，，且A，B，C在同一水平线上，已知操场两端米．

（1）求无人机飞行的高度（结果保留根号）；
（2）如图2，无人机由点D沿水平方向飞行至点F，当时，求飞行的距离（结果精确到1米，）．
【答案】（1）米
（2）205 米
【解析】
【分析】（1）根据题意，得到，，得到米，根据计算即可．
（2）过点A作交于点H，证明四边形是矩形，解， 即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴米，
在中，，
解得：米，
答：无人机飞行的高度为米．
【小问2详解】
解：过点A作交于点H，
∵，
∴四边形是矩形，，米，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，（米），
在中，（米），

∴（米），
答：无人机飞行的距离约为205 米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的基本步骤是解题的关键．
22. 如图，与相切于点A，半径，与相交于点D，连接．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，再由平行线的性质得出，利用圆周角定理及等腰直角三角形的性质即可证明；
（2）过点A作，过点C作的延长线于点F，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质得出，再由正切函数确定，，再由正方形的判定和性质及相似三角形的判定和性质求解即可．
【小问1详解】
证明：连接，如图所示：

∵与相切于点A，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
过点A作，过点C作交的延长线于点F，如图所示：

由（1）得，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，，
由（1）得，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∵，
∴
∴即，
解得：，
∴．
【点睛】题目主要考查圆周角定理，解直角三角形及正方形与相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
23. （1）【问题发现】
如图1，在中，，，点为的中点以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________．
（2）【拓展探究】
在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，请判断线段与的数量关系，并就图2的情形说明理由．
（3）【问题解决】
当，且第（2）中的正方形旋转到，，三点共线时，请直接写出线段的长．

【答案】（1）（2）见解析（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到与的关系，再根据正方形的四条边都相等的性质得到，由此即可得到线段与的数量关系．
（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明即可得证．
（3）根据勾股定理求得的长，根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质得到的长，设与的交点为O，再结合得到对应线段成比例即可求出的长.
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质的运用及勾股定理的应用.熟练掌握相关的判定及性质定理是解题的关键.
【详解】（1）∵中，，，点为的中点,
∴，，
设，则，，
∵正方形，
∴，，
∵点恰好与点重合，
∴线段，与，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）．理由如下：
连接，
∵中，，，点为的中点,
∴，，，
设，则，，
∵正方形，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
．
（3）∵中，，，点为的中点,
∴，，，
设，则，，
∵正方形，
∴，，，，
当时，
则即，
∴，，，

此时，，
∴，
∵，
∴，
如图，

∴，
∵，
∴，
故或．
24. 如图，抛物线交轴于、两点，其中点坐标，与轴交于点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图①，连接，点在抛物线上，且满足．求点的坐标；
（3）如图②，点为轴下方抛物线上任意一点，点是抛物线对称轴与轴的交点，直线、分别交抛物线的对称轴于点、．请问是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）或（3）为定值，定值为8．
【解析】
【分析】（1）把点、坐标代入抛物线解析式即求得、的值．
（2）点可以在轴上方或下方，需分类讨论．①若点在轴下方，延长到，使构造等腰，作中点，即有，利用的三角函数值，求、的长，进而求得的坐标，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．②若点在轴上方，根据对称性，一定经过点关于轴的对称点，求得直线的解析式后与抛物线解析式联立，即求出点坐标．
（3）设点横坐标为，用表示直线、的解析式，把分别代入即求得点、的纵坐标，再求、的长，即得到为定值．
【详解】（1）∵抛物线经过点，．
∴，解得：．
∴抛物线的函数表达式为．
（2）①若点在轴下方，如图1，
延长到，使，过点作轴，连接，作中点，连接并延长交于点，过点作于点．
∵当，解得：，
∴
∵，，
∴，，，，
∴中，，，
∵，为中点，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴中，，，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴中，，，.
∴，，
∴，，即，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
②若点在轴上方，如图2，
在上截取，则与关于轴对称，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：.
∵，解得：（即点），，
∴.
综上所述，点的坐标为或．
（3）为定值.
∵抛物线的对称轴为：直线，
∴，，
设，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线：，
当时，，
∴，
∴，为定值．
【点睛】本题考查了求二次函数解析式、求一次函数解析式，解一元二次方程、二元一次方程组，等腰三角形的性质，三角函数的应用．解题关键在于第（2）题由于不确定点位置需分类讨论；（2）（3）计算量较大，应认真理清线段之间的关系再进行计算．
劳动时间（单位：小时）
频数
12
28
16
4
进货批次
甲种水果质量
（单位：千克）
乙种水果质量
（单位：千克）
总费用
（单位：元）
第一次
60
40
1520
第二次
30
50
1360