2023-2024学年辽宁省沈阳134中教育集团七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳134中教育集团七年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）可乐中含有大量的咖啡因，世界卫生组织建议青少年每天咖啡因的摄入量不能超过0.000085kg．则数0.000085用科学记数法表示为（ ）
A．8.5×10﹣5B．0.85×10﹣4C．8.5×105D．85×10﹣6
2．（3分）如图中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列各式中，运算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．a6÷a2＝a4D．a2+a2＝2a4
4．（3分）在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（3分）某种蔬菜的价格随季节变化如表，根据表中信息，下列结论错误的是（ ）
A．x是自变量，y是因变量
B．2月份这种蔬菜的价格最高，为5.50元/千克
C．2～8月份这种蔬菜的价格一直在下降
D．8～12月份这种蔬菜的价格一直在上升
6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠D′O′C′=∠DOC，需要证明△D′O′C′≌△DOC，则这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．AAS
7．（3分）图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数为（ ）
​
A．60°B．80°C．100°D．110°
8．（3分）夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T（℃）随时间t变化的关系的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
9．（3分）如图，小李用若干长方体小木块，分别垒了两堵与地面垂直的木块墙，其中木块墙AD=24cm,CE=12cm.木块墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板，点B在DE上，点A和C分别与木块墙的顶端重合，则两堵木块墙之间的距离DE为（ ）
A．48cmB．42cmC．38cmD．36cm
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积=△BCE的面积；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④BH=CH．
A．①②③④B．①②③C．②④D．①③
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）三角形的面积是ab2﹣2a，底边上的高线为a，那么底边的长是 ．
12．（3分）如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
13．（3分）某公司制作毕业纪念册的收费如下，设计费与加工费共300元，另外每册收取材料费4元（元）与制作纪念册的册数x（册）之间的关系式为 ．
14．（3分）在在如图所示的3×3网格中，△ABC是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与△ABC有一条公共边且全等（不含△ABC）的所有格点三角形的个数是 ．
15．（3分）如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，B分别落在A'B'的位置，A'B'交AD于G．再将△A′EG沿AD翻折得到△HEG，若点H恰好落在线段EF上，则∠B′FC= ．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（11分）（1）计算．
．
（2）用乘法公式计算．
①2023×2025﹣20242；
②（x+4）2﹣（x+2）（x﹣5）．
17．（6分）先化简，再求值：[（2x+y）2﹣y（y+4x）﹣8xy]÷（2x），其中x＝2
18．（8分）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：已知线段α，b和∠α．
求作：△ABC使BC＝a，AC＝b，∠BAC＝∠α．
19．（8分）如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°．
（1）求证：∠FAB＝∠BDC．请将下面证明过程补充完整：
证明：∵AC∥EF（已知），
∴∠1+∠FAC＝180°（ ①），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴ ②（ ③），
∴FA∥CD（ ④），
∴∠FAB＝∠BDC（两直线平行，同位角相等）．
（2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．
20．（8分）已知：如图AC与BD交于点O，且AB＝CD，AC＝BD．求证：OA＝OD．
21．（10分）【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．学习整式乘法时我们有这样的发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．
（1）如图1，由边长分别为x,y的正方形和两个长为x,宽为y的长方形拼成的大正方形，可知大正方形的边长为（x+y），即可求得大正方形的面积．将图1大正方形看作由4个小图形拼成，则4个小图形面积之和也为大正方形的面积．即可得到一个乘法公式 ．
（2）思考：爱动脑的小东通过图1的启示，发现拼图还能解决直角三角形三边的关系．如图2，现有4张大小形状相同的直角三角形纸片，三边长分别为a,b,c,将它们拼成一个大的正方形ABCD，中间是一个小正方形EFGH．
①由图2中你能得到a,b,c之间的数量关系是什么？请写出你的推理过程；
②问题解决：如图3，直线BC为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点B到引水点A的距离为12米，渠岸上点C到引水点A的距离为5米，且CA⊥BA．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并求出最短距离．
（12分）下面是某项目化学小组的部分学习过程再现，请阅读并解答问题：
【项目主题】品味经典，感悟数学
【童话故事】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉：兔子和乌龟同时从起点出发，比赛跑步．领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，就在路边的小树下睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，最终乌龟先到达终点．
【分组探究】我们假设乌龟和兔子的速度及赛场均保持不变，第一小组经探讨研究用图1刻画了“龟兔赛跑”的故事，其中x（分）表示乌龟从起点出发所行的时间，y1（米）表示兔子所行的路程，y2（米）表示乌龟所行的路程．
问题1：分别求乌龟和兔子的速度．
问题2：乌龟是在何时超过的兔子？
第二小组对童话故事进行了改编：
象子输了比赛，心里很不服气它们约定再次赛跑，兔子让乌龟先跑30分钟，它才开始追赶．
问题3：请在图2中画出兔子所行的路程y1与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点．
第三小组也对童话故事进行了改编：
兔子让乌龟从路边小树处（兔子第一次睡觉的地方）起跑，它们同时出发．
问题4：请在图3中画出兔子所行的路程y1与和乌龟所行路程y2与x之间的图象，并直接判断谁先到达终点．
（仿照图1完成图2和图3．要求标注出关键点对应横轴与纵轴的位置及数量）
23．（12分）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：
如图1：在△ABC中，AB=3，AC=5，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
【问题初探】：
第一小组经过合作交流，得到如下解决方法：如图2延长AD至E，使得DE=AD，连接BE．利用三角形全等将线段AC转移到线段BE，这样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABE中，利用三角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围，
第二小组经过合作交流，得到另一种解决方法：如图3过点B作AG的平行线交AD的延长线于点F，利用三角形全等将线段AC转移到BF，同样就把线段AB，AC，2AD集中到△ABF中，利用一角形三边的关系即可得到中线AD的取值范围．
（1）请你选择一个小组的解题思路，写出证明过程．
【方法感悟】
当条件中出现“中点”“中线”等条件时，可考虑将中线延长一倍或者作一条边的平行线．构造出“平行八字型”全等三角形；这样就把分散的已知条件和所证的结论集中到一个三角形中，顺利解决问题．
【类比分析】
（2）如图4在△ABC中，∠B=90°，AB=6，AD是△ABC的中线，CE⊥BC，CE=10且∠ADE=90°，求AE的长度．
【思维拓展】
（3）如图5：在△ABC中，AF⊥BC于点F在AB右侧作AD⊥AB，且AD=AB，在AC的左侧作AE⊥AC，且AE=AC，连接DE，延长AF交DE于点O，证明O为DE中点．
2023-2024学年辽宁省沈阳134中教育集团七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.）
1．【答案】A
【解答】解：0.000085＝8.5×10﹣5．
故选：A．
2．【答案】C
【解答】解：A．不是“F”型；
B．不是“F”型；
C．是“F”型；
D．不是“F”型；
故选：C．
3．【答案】C
【解答】解：A、错误3）2＝a6；
B、错误2＝a2﹣6ab+b2；
C、正确．
D、错误．a2+a3＝2a2
故选：C．
4．【答案】B
【解答】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有B符合条件，
故选：B．
5．【答案】D
【解答】解：A．x是自变量，本选项正确；
B.2月份这种蔬菜的价格最高，为5.50元/千克；
C.6～8月份这种蔬菜的价格一直在下降，本选项正确；
D.8～12月份这种蔬菜的价格有升有降，本选项错误；
故选：D．
6．【答案】B
【解答】解：在△D′O′C′和△DOC中，
，
∴△D′O′C′≌△DOC（SSS），
∴∠D′O′C′＝∠DOC．
则全等的依据为SSS．
故选：B．
7．【答案】B
【解答】解；过F作FM∥CD，
∵CD∥AB，
∴FM∥AB，
∴∠DEF+∠EFM＝180°，∠MFA+∠BAF＝180°，
∴∠DEF+∠EFM+∠MFA+∠BAF＝360°，
∴∠DEF+∠EFA+∠BAF＝360°，
∵∠BAG＝150°，∠DEF＝130°，
∴∠EFA＝80°，
∵CG∥EF，
∴∠AGC＝∠EFA＝80°．
故选：B．
8．【答案】B
【解答】解：根据题意：杯中水的温度T（℃）随时间t变化的关系为逐渐降低，且降低的越来越慢．
故选：B．
9．【答案】D
【解答】解：由题意得AB＝BC，∠ABC＝90°，CE⊥DE，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠ABD+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，
∴∠ABD＝∠BCE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS）；
∴AD＝BE＝24cm，DB＝EC＝12cm，
∴DE＝DB+BE＝36cm，
答：两堵木墙之间的距离为36cm．
故选：D．
10．【答案】B
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝6∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH；
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】2b2﹣4．
【解答】解：三角形底边的长是：
2（ab2﹣7a）÷a
＝（2ab2﹣5a）÷a
＝2b2﹣5，
故答案为：2b2﹣8．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等．
故答案为同位角相等，两直线平行．
13．【答案】y＝4x+300．
【解答】解：根据题意，得y＝4x+300．
故答案为：y＝4x+300．
14．【答案】4．
【解答】解：如图，观察图象可知满足条件的三角形有4个．
故答案为：4．
15．【答案】60°．
【解答】解：由△A′EG沿AD翻折得到△HEG，若点H恰好落在线段EF上，
得∠A'EF＝2∠DEF，
由长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点A，
得∠AEF＝∠A'EF＝2∠DEF，
由∠AEF+∠DEF＝180°，
得6∠DEF＝180°，
得∠B′FC＝∠DEF＝60°．
故答案为：60°．
三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．【答案】（1）3；
（2）①﹣1；
②11x+26．
【解答】解：（1）
＝﹣1×8+9﹣5
＝﹣3+9﹣5
＝6；
（2）①2023×2025﹣20242
＝（2024﹣1）×（2024+6）﹣20242
＝20242﹣8﹣20242
＝﹣1；
②（x+6）2﹣（x+2）（x﹣4）
＝x2+8x+16﹣（x6﹣3x﹣10）
＝x2+8x+16﹣x2+3x+10
＝11x+26．
17．【答案】见试题解答内容
【解答】解：[（2x+y）2﹣y（y+5x）﹣8xy]÷（2x）
＝[8x2+4xy+y4﹣y2﹣4xy﹣4xy]÷（2x）
＝（4x2﹣8xy）÷（2x）
＝4x﹣4y，
当x＝2，y＝﹣5时．
18．【答案】见解析．
【解答】解：如图，△ABC或△AB′C即为所求．
19．【答案】（1）两直线平行，同旁内角互补；∠FAC＝∠2；等角的补角相等；内错角相等，两直线平行；
（2）∠BCD＝50°．
【解答】（1）证明：∵AC∥EF（已知），
∴∠1+∠FAC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴∠FAC＝∠2（等角的补角相等），
∴FA∥CD（内错角相等，两直线平行），
∴∠FAB＝∠BDC（两直线平行，同位角相等），
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等，两直线平行；
（2）解：∵AC平分∠FAD，
∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC，
由（1）知∠FAC＝∠7，
∴∠FAD＝2∠2，
∴∠6＝∠FAD，
∵∠FAD＝80°，
∴∠2＝×80°＝40°，
∵EF⊥BE，AC∥EF，
∴AC⊥BE，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠8＝50°．
20．【答案】答案见解答过程．
【解答】证明：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠BDA＝∠CAD，
即∠ODA＝∠OAD，
∴OA＝OD．
21．【答案】（1）（x+y）2＝x2+2xy+y2；
（2）①c2＝a2+b2，推理过程见解答；
②米．
【解答】解：（1）图1中大正方形的面积可表示为（x+y）2，也可表示为7个小图形的面积之和，即x2+2xy+y8，两种方法表示的面积相等，
∴（x+y）2＝x2+6xy+y2．
故答案为：（x+y）2＝x6+2xy+y2．
（2）①c8＝a2+b2．推理过程如下：
图6中大正方形的面积可表示为c2，也可表示为5个小图形面积之和，即ab×4+（b﹣a）5＝a2+b2，两种方法表示的面积相等，
∴c7＝a2+b2．
②过点A作AD⊥BC于点D，AD的长即为所求．
∵CA⊥BA，
∴根据①中得到的a，b，c之间的数量关系6＝AB2+AC2，
∵AB＝12米，AC＝6米，
∴BC＝＝13（米），
∵S△ABC＝BC•AD＝，
∴AD＝＝（米），
∴最短距离为米．
22．【答案】问题1：乌龟的速度为20米/分钟，兔子的速度为40米/分；
问题2：乌龟在出发20分钟后超过兔子；
问题3：图象见解答，乌龟和兔子同时到达终点；
问题4：图象见解答，兔子比乌龟早10分钟到达终点．
【解答】解：问题1：乌龟的速度为：＝20（米/分钟），
兔子的速度为400÷10＝40（米/分）；
问题2：设乌龟x分钟追上兔子，
则20x＝400，
解得x＝20，
答：乌龟在出发20分钟后超过兔子；
问题3：∵乌龟的速度为20米/分，
∴乌龟到达终点需要1200÷20＝60（分钟），
∵兔子的速度为40米/分，
∴兔子到达终点需要1200÷40＝30（分钟），
根据题意画出兔子所行的路程y1与x之间的图象，如图：
从图向上可以看出，乌龟和兔子同时到达终点；
问题4：：∵乌龟的速度为20米/分，
∴乌龟到达终点需要（1200﹣400）÷20＝40（分钟），
∵兔子的速度为40米/分，
∴兔子到达终点需要1200÷40＝30（分钟），
根据题意画出兔子所行的路程y4与和乌龟所行路程y2与x之间的图象，如图：
从图向上可以看出，兔子比乌龟早10分钟到达终点．
23．【答案】（1）证明见解析；
（2）16；
（3）证明见解析．
【解答】（1）第一小组证明：延长AD到点E，使DE＝AD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝8，
在△ABE中，BE﹣AB＜AE＜BE+AB，
∴2＜3AD＜14，
∴1＜AD＜7，
（2）解：如图，延长AD交EC的延长线于F，
∵∠B＝90°，EF⊥BC，
∴∠ABD＝∠FCD＝90°，
在△ABD和△FCD中，
，
∴△ABD≌△FCD（ASA），
∴CF＝AB＝7，AD＝DF，
∵∠ADE＝90°，
∴DE⊥AF，
∴AE＝EF，
∵EF＝CE+CF＝10+6＝16，
∴AE＝16．
（3）证明：过点D作DM∥AE，交AO的延长线于M，
∵DM∥AE，
∴∠M＝∠EAO，
∵AE⊥AC，AF⊥BC，
∴∠EAO+∠FAC＝∠FAC+∠C＝90°，
∴∠EAO＝∠C，
∴∠M＝∠C，
同理可得∠MAD+∠BAO＝∠BAO+∠ABC＝90°，
∴∠MAD＝∠ABC，
∵AB＝AD，
∴△ABC≌△DAM（AAS），
∴AC＝DM，
∵AC＝AE，
∴AE＝DM，
∵AE∥DM，
∴∠E＝∠ODM，∠M＝∠EAO，
∴△AOE≌△MOD（ASA），
∴OE＝OD，
即O为DE中点．月份x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
价格y
（元/千克）
5.00
5.50
5.00
4.80
2.00
1.50
1.00
0.90
1.50
3.00
2.50
3.50