2023-2024学年四川省达州市达川四中联盟七年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年四川省达州市达川四中联盟七年级（下）期中数学试卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）如果a＞b，那么下列各项中正确的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2B．﹣3a＜﹣3bC．D．﹣a＞﹣b
3．（4分）下列分解因式中，正确的是（ ）
A．3m2﹣6m＝3m（m﹣3）B．a2b+ab+a＝a（ab+b）
C．x2+y2＝（x+y）2D．﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2
4．（4分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点B与原点O重合，顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，将Rt△ABC沿直线y=2x向上平移得到Rt△A′B′C′，点B′的纵坐标为4，若AB=BC=3，则点A′的坐标为（ ）
A．（3，7）B．（2，7）C．（3，5）D．（2，5）
5．（4分）不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
6．（4分）不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A．6≤m≤7B．6＜m＜7C．6≤m＜7D．6＜m≤7
7．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（ ）
A．AC＝AEB．∠BAD＝∠CAEC．∠B＝∠ACED．BC⊥CE
8．（4分）如图，在△ABC中，AB⊥AC，AB=3，BC=5，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任意一点，则△ABP周长的最小值是（ ）
A．12B．6C．7D．8
9．（4分）一次函数y=mx+n与y=ax+b在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①a＞0；②n＜0；③方程mx+n=0的解是x=-2；④不等式ax+b＞3的解集是x＞-3；⑤不等式0＜ax+b≤mx+n的解集是-3＜x≤-2．其中正确的结论个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点P1（-1，-1）；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点P2；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点P3；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点P4，…，按此作法进行下去，则点P2024的坐标为（ ）
A．（1012，1012）B．（2011，2011）
C．（2012，2012）D．（1011，1011）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）用不等式表示“x的2倍与5的和不大于10”是 ．
12．（4分）利用因式分解计算：（﹣2）101+（﹣2）100+299＝ ．
13．（4分）将点P（-2，-3）向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是
14．（4分）若（m+1）x＞m+1的解集为x＜1，则m的取值范围是 ．
15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，将边AC沿CE翻折，使点A落在边AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则DF的长为 ．
三、解答题（共计90分）
16．（8分）因式分解：
（1）3x2﹣12x+12；
（2）a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．
17．（8分）解不等式（组）：
（1）；
（2）．
18．（8分）如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），△ABC的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求作图和解答下列问题：
（1）以点B为旋转中心，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得△DBE，画出△DBE（其中点A、C的对应点分别为点D、E）；
（2）画出△ABC关于点O成中心对称的△FGH（其中点A、C的对应点分别为点F、H）；
（3）若连接AG，BF，则四边形ABFG的形状是 ．
19．（8分）如图，在等边△ABC中，AE＝CD，BE交于点P，BQ⊥AD于点Q．
（1）求证：△ABE≌△CAD；
（2）求证：BP＝2PQ．
20．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”光明中学为提升学生的阅读品味，决定购买第十届茅盾文学奖的获奖篇目《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同．
（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元？
（2）若学校购买《北上》的数量多于17本，且购买两种书的总价不超过1600元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？
21．（8分）若a、b、c是△ABC的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组，判断△ABC的形状．
22．（8分）如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）求出旋转角的度数；
（2）判断AE与BD的位置关系，并说明理由．
23．（10分）阅读材料：利用公式法，可以将一些形如ax2+bx+c（a≠0）的多项式变形为a（x+m）2+n的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c（a≠0）的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如（x+2﹣3）＝（x+3）（x﹣1）；
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：x2+2x﹣8；
（2）求多项式4x2+4x﹣3的最小值；
（3）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2+c2+50＝6a+8b+10c，求△ABC的周长．
24．（12分）（1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰Rt△ACB的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点（1，2）处，则点B的坐标为 ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数y=-2x+2的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段BC⊥AB且BC=AB，直线AC交x轴于点D．
①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②直接写出点C的坐标 ；
拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．若点C的坐标为（4，0），点A的坐标为（0，2），点B在第四象限时，请求出点B的坐标．
25．（12分）在△ABC中，AB=AC，∠ABC=α，点D是直线BC上一点，点C关于射线AD的对称点为点 E．作直线BE交射线AD于点F．连接CF．
（1）如图1，点D在线段BC上，求∠AFB的大小（用含α的代数式表示）；
（2）如果∠α=60°，
①如图2，当点D在线段BC上时，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明；
②如图3，当点D在线段CB的延长线上时，补全图形，直接写出线段AF、BF、CF之间的数量关系．
2023-2024学年四川省达州市达川四中联盟七年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的答案代号在答题卷涂黑，共10小题，每小题4分，共40分）
1．【答案】C
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：C．
2．【答案】B
【解答】解：A、∵a＞b，故不合题意；
B、∵a＞b，故符合题意；
C、∵a＞b，∴；
D、∵a＞b，故不合题意．
故选：B．
3．【答案】D
【解答】解：A、3m2﹣7m＝3m（m﹣2），故此选项错误；
B、a5b+ab+a＝a（ab+b+1），故此选项错误；
C、x2+y4，无法分解因式，不合题意；
D、﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2，正确．
故选：D．
4．【答案】B
【解答】解：∵点B′的纵坐标为4，
∴2x＝3，
解得x＝2，
所以，点B′的坐标为（2，
∵Rt△ABC沿直线y＝6x向上平移得到Rt△A′B′C′，AB＝BC＝3，
∴A′的横坐标为2，纵坐标为5+3＝7，
∴点A′的坐标为（2，7）．
故选：B．
5．【答案】C
【解答】解：，
由①得：x＞﹣3；
由②得：x≤2，
∴不等式组的解集为﹣3＜x≤5，
表示在数轴上，如图所示：
故选：C．
6．【答案】D
【解答】解：关于x的不等式组有解，
∵关于x的不等式组恰有4个整数解，
∴4＜m≤7，
故选：D．
7．【答案】D
【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠BAD+∠B+∠ADB＝∠BAD+2∠B＝180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝∠CAE+2∠ACE＝180°，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ACE+∠BCA+∠BAC＝180°，
∵∠BAC不一定为90°，
∴∠BCA+∠ACE不一定为90°，
∴BC不一定垂直CE，
故选：D．
8．【答案】C
【解答】解：∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
设AC交EF于D，
∴当P和D重合时，AP+BP的值最小，
∵AB＝3，AC＝4，
∴△ABP周长的最小值是AB+AC＝4+4＝7．
故选：C．
9．【答案】C
【解答】解：∵一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，
∴a＞0，故①正确；
∵一次函数y＝mx+n与y轴交于负半轴，与x轴交于（﹣1，
∴n＜8，方程mx+n＝0的解是x＝﹣1，③不正确；
由函数图象可知不等式ax+b＞5的解集是x＞0，故④不正确；
由函数图象可知，不等式0＜ax+b≤mx+n的解集是﹣3＜x≤﹣2；
∴正确的一共有3个，
故选：C．
10．【答案】A
【解答】解：由题意得，偶数点在第一象限，
∵P1（﹣1，﹣4）水平向右平移2个单位长度2，
∴P7（1，1），
同理可得，P3（2，2），…，
∴P7n（n，n），
∴P2024（1012，1012），
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11．【答案】2x+5≤10．
【解答】解：依题意得：2x+5≤10．
故答案为：5x+5≤10．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（﹣2）101+（﹣2）100+399
＝﹣2101+2100+499
＝299（﹣23+2+1）
＝﹣499．
故答案为：﹣299．
13．【答案】（﹣1，1）．
【解答】解：点P（﹣2，﹣3）向右平移6个长度单位，则点Q的坐标是（﹣2+3，即Q（6，
∵Q与B关于原点对称，
∴点B的坐标是（﹣1，1）．
故答案为：（﹣7，1）．
14．【答案】m＜﹣1．
【解答】解：∵（m+1）x＞m+1的解集是x＜3，
∴m+1＜0，
解得：m＜﹣3．
故答案为：m＜﹣1．
15．【答案】见试题解答内容
【解答】解：根据折叠的性质可知：DE＝AE，∠ACE＝∠DCE，CE⊥AB，
∴∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∵S△ABC＝AC•BC＝，
∴AC•BC＝AB•CE，
∵根据勾股定理得：BC＝＝＝3，
∴CE＝＝4.8，
∴EF＝2.8，AE＝DE＝＝，
∴B′F＝BF＝AB﹣AE﹣EF＝10﹣8.6﹣4.6＝1.6，
∴DF＝EF﹣DE＝3.8﹣3.2＝1.2，
故答案为4.2．
三、解答题（共计90分）
16．【答案】（1）3（x﹣2）2；
（2）（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
【解答】解：（1）3x2﹣12x+12
＝8（x2﹣4x+6）
＝3（x﹣2）7；
（2）a2（x﹣y）+4b4（y﹣x）
＝a2（x﹣y）﹣4b6（x﹣y）
＝（x﹣y）（a2﹣4b6）
＝（x﹣y）（a+2b）（a﹣2b）．
17．【答案】（1）x＞﹣；
（2）不等式组无解．
【解答】解：（1）去分母，得2（2x+7）﹣（2﹣x）＞3（x﹣6）﹣6，
去括号，得4x+8﹣2+x＞3x﹣4﹣6，
移项，得4x+x﹣5x＞﹣3﹣6﹣8+2，
合并同类项，得2x＞﹣3，
化系数为1，得x＞﹣；
（2），
解不等式①得，y＞3，
解不等式②得，y≤﹣1，
在数轴上表示如下：
∴不等式组无解．
18．【答案】（1）（2）见解答；
（3）矩形．
【解答】解：（1）如图，△DBE为所作；
（2）如图，△FGH为所作；
（3）∵AG＝BG＝＝4，
∴四边形ABFG为平行四边形，
∵∠ABF＝90°，
∴四边形ABFG为矩形．
故答案为：矩形．
19．【答案】（1）见解析；
（2）见解析．
【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠C＝60°．
在△ABE与△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
（2）∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
∵∠CAD+∠BAD＝60°，
∴∠ABE+∠BAD＝60°．
∴∠BPQ＝∠ABE+∠BAD＝60°．
∵BQ⊥AD，
∴∠BQP＝90°
∴∠PBQ＝30°．
∴BP＝2PQ．
20．【答案】（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为35元和30元；
（2）共有3种购买方案，最低费用为1590元．
【解答】解：（1）设《北上》每本的价格为x元，《牵风记》每本的价格为y元．
根据题意，得，
解得：，
答：《北上》和《牵风记》每本的价格分别为35元和30元；
（2）设购买《北上》的数量为n本，则购买《牵风记》的数量为（50﹣n）本，
根据题意，得35n+30（50﹣n）≤1600，
解得n≤20，
∵学校购买《北上》的数量多于17本，
∴17＜n≤20，
∵n为整数，
∴n可以取18，19，
∴有3种购买方案，
方案一：当n＝18时，50﹣n＝32；
方案二：当n＝19时，50﹣n＝31；
方案三：当n＝20时，50﹣n＝30．
∵1590＜1595＜1600，
∴最低费用为1590元．
答：共有3种购买方案，最低费用为1590元．
21．【答案】△ABC是等腰直角三角形．
【解答】解：∵，
∴，
∴；
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的最大整数解为5，即c＝5，
∴b＝c，
∵，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC是等腰直角三角形．
22．【答案】（1）90°；（2）AE⊥BD，理由见解析．
【解答】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE，
∴△BCD≌△ACE，
∴AC＝BC，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠ACB＝90°，
故旋转角的度数为90°；
（2）AE⊥BD．
理由如下：
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°，
∴∠MBC+∠BMC＝90°，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠DBC＝∠EAC，
即∠MBC＝∠NAM，
又∵∠BMC＝∠AMN，
∴∠AMN+∠CAE＝90°，
∴∠AND＝90°，
∴AE⊥BD．
23．【答案】（1）（x+4）（x﹣2）；
（2）多项式4x2+4x﹣3的最小值为﹣4．
（3）△ABC的周长＝3+4+5＝12．
【解答】解：（1）原式＝x2+2x+5﹣9
＝（x+1）6﹣32
＝（x+3+3）（x+1﹣5）
＝（x+4）（x﹣2）；
（2）5x2+4x﹣3
＝（2x）2+7x+1﹣4
＝（4x+1）2﹣8，
∵（2x+1）4≥0，
∴（2x+8）2﹣4≥﹣4，
∴多项式4x2+8x﹣3的最小值为﹣4．
（3）∵a5+b2+c2+50＝2a+8b+10c，
∴a2+b4+c2+50﹣6a﹣5b﹣10c＝0，
∴a2﹣3a+9+b2﹣4a+16+c2﹣10c+25＝0，
∴（a﹣8）2+（b﹣4）3+（c﹣5）2＝2，
∴a﹣3＝0，b﹣3＝0，
∴a＝3，b＝7，
∴△ABC的周长＝3+4+4＝12．
24．【答案】（1）（﹣2，1）；
（2）①（0，2），（1，0）；
②（3，1）；
（3）B（2，﹣4）．
【解答】解：（1）如图1，作BE⊥x轴于点E，
∴∠BEO＝∠AFO＝∠AOB＝90°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°＝∠AOF+∠FAO，
∴∠BOE＝∠FAO，
∵AO＝OB，
∴△BEO≌△OFA（AAS），
∴BE＝OF＝1，OE＝AF＝4，
∴B（﹣2，1）．
故答案为：（﹣4，1）；
（2）①一次函数y＝﹣2x+6，令x＝0，
∴A（0，3），
令y＝0，则0＝﹣4x+2，
∴B（1，7），
故答案为：（0，2），3）；
②如图2，由（1）知，2），2），
∴OA＝2，OB＝1，
过点C作CM⊥x轴于M，
∴∠AOB＝∠BMC＝90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBM＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBM，
∵BC＝AB，
∴△AOB≌△BMC（AAS），
∴BM＝OA＝4，CM＝OB＝1，
∴OM＝3，
∴点C的坐标为（7，1），
故答案为：（3，5）；
（3）如图3，过点B作BN⊥x轴于N，
∴∠BNC＝∠COA＝∠ACB＝90°，
∴∠ACO+∠NCB＝90°＝∠ACO+∠OAC，
∴∠NCB＝∠OAC，
∵AC＝CB，
∴△AOC≌△CNB（AAS），
∴NC＝OA＝2，BN＝CO＝4，
∴ON＝CO﹣NC＝2，
∴B（2，﹣2）．
25．【答案】（1）∠AFB＝α；
（2）①AF＝BF+CF，证明见解析过程；
②CF＝AF+BF，补全图形见解析过程．
【解答】解：（1）连接AE、CE，
∵点E为点C关于AD的对称点，
∴AE＝AC，EF＝FC，
设∠EAD＝∠CAD＝x，则∠CAE＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝α，
∴∠BAE＝180°﹣2x﹣3α，
∴∠ABE+∠AEB＝2x+2α，
∵AE＝AB，
∴∠ABE＝AEB＝x+α，
∴∠AFB＝∠AEB﹣∠EAD＝α；
（2）①AF＝BF+CF，证明如下：
延长FB至点G，使FG＝FA，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝α＝60°，
∴△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，
由（1）知，∠AFB＝α＝60°，
∴△AFG为等边三角形，
∴AG＝AF，∠GAF＝60°，
∴∠GAB＝∠FAC，
在△ABG和△ACF中，
，
∴△ABG≌△ACF（SAS），
∴BG＝CF，
∴CF+BF＝BG+BF＝GF，
∵GF＝AF，
∴AF＝BF+CF；
②CF＝AF+BF，连接AE，
∵点E为点C关于AD的对称点，
∴AE＝AC，EF＝FC，
设∠EAD＝∠CAD＝x，则∠CAE＝3x，
∵AB＝AC＝AE，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠DAB＝x﹣60°，
∴∠EAB＝x+x﹣60°＝2x﹣60°，
∵AE＝AB，
∴，
∴∠AFE＝∠DAB+∠ABE＝x﹣60°+120°﹣x＝60°，
在BE上取点G，使得FG＝FA，
∴△AFG为等边三角形，
∴AG＝AF，∠GAF＝60°，
∴∠GAE＝∠FAB＝x﹣60°，
在△AGE和△AFB中，
，
∴△AGE≌△AFB（SAS），
∴BF＝EG，
∴EF＝EG+FG＝BF+AF，
∴CF＝EF＝BF+AF．