2023-2024学年辽宁省大连市金州区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2023-2024学年辽宁省大连市金州区八年级（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各式是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）如图，▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，若∠EBC=40°，则∠ADC的度数为（ ）
A．40°B．80°C．100°D．140°
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）如图，在长方形OABC中，OA的长为2，AB的长为1，OA在数轴上，点O表示数0，以点O为圆心，对角线OB长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ）
A．2.5B．2C．D．
5．（3分）已知△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．a2＝b2﹣c2B．a＝6，b＝8，c＝10
C．∠A＝∠B+∠CD．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
6．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是菱形
7．（3分）估计的值在（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
8．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠BOC=120°，则矩形ABCD的面积为（ ）
A．B．32C．D．24
9．（3分）中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得AD=10cm,AC=16cm,直线EF⊥AB交两对边于点E，F，则EF的长为（ ）
A．8cmB．C．10cmD．
10．（3分）如图，在正方形ABCD中，F为边AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF=25°，则∠AEF=（ ）
A．35°B．40°C．45°D．50°
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： （填“＜”、“＝”、“＞”）．
12．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，CA⊥AB，若∠ABC=50°，则∠CAD＝ ．
13．（3分）计算：（﹣2）2024（+2）2025＝ ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E为线段BC的中点，连接OE，若∠BAC=90°，AE=5，AC=6，则OE的长为 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，E为AD中点，连接BE，CE，将线段EC绕点E逆时针旋转得到线段EF，连接DF，若∠BEF=90°，则线段DF的长为 ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（8分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为AC、CA延长线上的点，且CE=AF．求证：BF=DE，BF∥DE．
18．（8分）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物 害人害己 严禁高空抛物”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：秒）和高度h（单位：米）近似满足公式h＝2，其中g为重力加速度，g≈10米/平方秒．物体落地时产生的动能=物体质量×重力加速度×高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：1×10×30=300焦耳．
（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？
（2）一个0.5千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1秒，≈1.41）
19．（8分）如图，在▱ABCD中，连接对角线AC，∠BAC=∠DAC．点E，F分别是AB，AD的中点，连接EF并延长，交CD的延长线于G．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=8，求EG的长．
20．（8分）数学课上，老师带领同学们以直角三角形的两条直角边为邻边，尺规作图作一个矩形．
如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，尺规作图：求作矩形ABCD．
小辉同学经过思考后，回答他的做法如下：作AC边的垂直平分线MN，MN交AC于点O，作射线BO，在线段BO的延长线上截取DO=BO，连接AD，CD，则四边形ABCD为矩形．
（1）使用直尺和圆规，根据小辉同学的作法在图1中补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明，并在括号内填写相应的依据；
证明：由作法可知，AO＝ ，BO＝DO，
∴．四边形ABCD是平行四边形（ ）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（ ）．
（3）请你用不同于小辉的方法，在图2中尺规作图，作出矩形ABCD（保留图痕迹，不写作法）．
21．（8分）观察下列等式，解答下列问题：
第1个等式：＝2；第2个等式：；第3个等式：＝4
（1）请直接写出第4个等式： （不用化简）；
（2）根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式给予证明；
（3）利用（2）的结论计算：××．
22．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8．
（1）如图1，点E在BC边上，将△ABE沿AE折叠，得到△AFE，使点F落在对角线AC上，求BE的长；
（2）如图2，点E、F分别在边BC、AD上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，求△EFC的面积；
（3）如图3，将矩形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B落在AD边上的点F处，折痕为AE，把纸片展平，连接EF．点M在线段AF上，将△ABM沿BM折叠得到△NBM，连接EN并延长交BM的延长线于点Q．
①求∠BQE的度数；
②点O为AE中点，连接QO，直接写出线段QO的长
23．（13分）【问题初探】
（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，正方形ABCD中，E在对角线BD上，连接AE，作EF⊥AE交BC于点F．求证：AE=EF．
①如图2，小明同学利用正方形的对称性，给出如下解题思路：连接CE，将线段AE与EF之间的数量关系转化为线段EC与EF之间的数量关系．
②如图3，小龙同学根据正方形的对角线有关性质，给出另一种解题思路：过E作EG⊥AB于G，EH⊥BC于H，构造全等三角形．
请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．
【类比分析】
（2）李老师发现之前两名同学或转化线段或构造全等三角形，都是利用正方形的相关性质，为了帮助同学们更好地掌握正方形的性质，李老师在图1中添加条件，并提出下面的问题，请你解答．如图4，（1）中的条件不变，作EP⊥BD交CD于P，连接BP．求证：．
【学以致用】
（3）如图5，在正方形ABCD中，将线段AB绕点A逆时针旋转得到线段AM．连接BM，CM，DM．当∠BMC=90°时，求证：．
2023-2024学年辽宁省大连市金州区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解答】解：A、是最简二次根式；
B、＝7，不符合题意；
C、＝，不是最简二次根式；
D、＝，不是最简二次根式．
故选：A．
2．【答案】D
【解答】解：∵∠EBC＝40°，
∴∠ABC＝180°﹣40°＝140°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝140°．
故选：D．
3．【答案】B
【解答】解：A． 与不能合并；
B．8﹣2，所以B选项符合题意；
C． ×＝＝8；
D． ÷＝＝，所以D选项不符合题意．
故选：B．
4．【答案】D
【解答】解：∵OA＝2，AB＝1，
∴OB＝＝＝，
∴这个点表示的实数是．
故选：D．
5．【答案】D
【解答】解：A、∵a2＝b2﹣c7，
∴a2+c2＝b4，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∵62+42＝102，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、设∠A＝8x，∠C＝5x，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴3x+4x+5x＝180°，解得x＝15°，
∴∠C＝5×15°＝75°，
∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意．
故选：D．
6．【答案】C
【解答】解：A、对角线相等的平行四边形是矩形；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C、对角线相等的平行四边形是矩形；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形；
故选：C．
7．【答案】C
【解答】解：∵3＜＜4，
∴4＜＜5，
∴的值在4到5之间，
故选：C．
8．【答案】A
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC＝8，
∴OA＝OC＝OB＝4，∠ABC＝90°，
∵∠BOC＝120°，
∴∠AOB＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB＝OA＝5，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝，
∴S矩形ABCD＝AB•BC＝＝．
故选：A．
9．【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝，BO＝，
∴AB＝＝10（cm），
∵S菱形ABCD＝AC•BD＝AB•EF，
∴×16×12＝10EF，
∴EF＝，
故EF的长为cm，
故选：B．
10．【答案】B
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BEC＝∠AEC，
∵∠BCF＝25°，
∴∠BEC＝180°﹣25°﹣45°＝110°＝∠AEB，
∴∠DEC＝∠BEF＝70°，
∴∠AEF＝110°﹣70°＝40°，
故选：B．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．【答案】＜．
【解答】解：，
∵，
∴，
故答案为：＜．
12．【答案】40°．
【解答】解：在平行四边形ABCD中，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵CA⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠ACB＝40°，
∴∠CAD＝40°，
故答案为：40°．
13．【答案】+2．
【解答】解：原式＝[（﹣2）（2024×（+2）
＝（6﹣4）2024×（+5）
＝1×（+7）
＝+2．
故答案为：+2．
14．【答案】4．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6，
∴OA＝OC＝3，
又∵点E是BC的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥AB，
∴∠EOC＝∠BAC＝90°，
∴∠AOE＝90°，
∴OE＝＝＝7，
故答案为：4．
15．【答案】2．
【解答】解：作FG⊥AD延长线于G，
由正方形ABCD的边长为4，E为AD中点，∠BEF＝90°，
得EF＝EC＝EB，
得△ABE≌△EGF（AAS），
得GF＝AE＝2，GD＝6﹣2＝2，
得DF＝＝2．
故答案为：2．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．【答案】（1）3；
（2）2．
【解答】解：（1）原式＝﹣×6+
＝2﹣3
＝3；
（2）原式＝4+2+3﹣（12﹣7）
＝5+8﹣5
＝4．
17．【答案】见解析过程．
【解答】证明：连接DF、BE，BD交AC于O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵CE＝AF，
∴OF＝OE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BF∥DE，BF＝DE．
18．【答案】（1）一个物品从80米的高楼坠落到地面需要4秒；
（2）该物品坠落到地面用了约2.8秒．
【解答】解：（1）把h＝80米代入式h＝gt7得，
80＝×10t4，
解得t＝4（负值舍去），
答：一个物品从80米的高楼坠落到地面需要4秒；
（2）根据题意得h＝＝40（米），
把h＝40米代入h＝gt2得，40＝2，
∴t＝2（负值舍去），
∴t≈2.8秒，
答：该物品坠落到地面用了约5.8秒．
19．【答案】（1）证明见解析；
（2）6．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：如图，连接BD，
由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC＝AC＝2，AB∥CD，
∴∠AOB＝90°，
∴OB＝＝＝3，
∴BD＝2OB＝7，
∵点E，F分别是AB，
∴EF是三角形ABD的中位线，
∴EF∥BD，
∴四边形BDGE是平行四边形，
∴EG＝BD＝6．
20．【答案】（1）见解析；
（2）OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形；
（3）见解析．
【解答】（1）解：图形如图1所示；
（2）证明：∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形；
故答案为：OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
（3）如图2中，四边形ABCD即为所求．
21．【答案】（1）＝5；
（2）＝（n+1）．
（3）2．
【解答】解：（1）第4个等式为＝5；
故答案为：＝5；
（2）第n个等式为＝（n+1）．
证明如下：
＝
＝
＝
＝（n+1）；
（3）原式＝2025×﹣2023×
＝2025﹣2023
＝2025﹣2023
＝2．
22．【答案】（1）3；
（2）；
（3）①45；②3．
【解答】解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC＝＝，
由折叠的性质得：BE＝FE，AB＝AF＝6，
∴FC＝AC﹣AF＝10﹣6＝5，∠CFE＝90°，
设BE＝FE＝x，
则CE＝BC﹣BE＝8﹣x，
在Rt△CFE中，由勾股定理得：CE2＝FE2+FC2，
即：（8﹣x）4＝x2+44，
解得：x＝3，
∴BE的长为3．
（2）∵将矩形ABCD沿EF折叠，
∴AE＝CE，
设CE＝y，则BE＝4﹣y，
∵AB2+BE2＝AE3，
∴62+（5﹣y）2＝y2，
∴y＝，
∴CE＝，
∴＝＝；
（3）①过点B作BG⊥EQ于点G，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE＝∠BAFfle＝90°，
∵折叠，
∴AB＝AF，∠ABE＝∠AFE＝90°，
∴四边形ABEF为矩形，
∵AB＝AF，
∴四边形ABEF为正方形，
∴AB＝BE，
∵折叠，
∴AB＝BN，∠ABM＝∠MBN，
∴BN＝BE，
∴∠NBG＝∠EBG，
∴∠QBG＝∠MBN+∠NBG＝ABE＝45°，
∴∠BQE＝45°；
②设AE与BQ交于点H，连接HN，
由折叠可知点A与点N关于HQ对称，
∴AN＝HN，∠AHQ＝∠QHN，
∴△AHQ≌△NHQ（SAS），
∴∠AQH＝∠NQH＝45°，
∴∠AQE＝90°，
又∵O为AE的中点，
∴OQ＝AE，
∵AB＝BE＝6，
∴AE＝6，
∴OQ＝3．
23．【答案】（1）证明见解答．
（2）证明见解答．
（3）证明见解答．
【解答】证明：（1）①选择小明同学的解题思路．
如图2，连接CE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，∠BAE＝∠BCE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠BFE＝180°，
∵∠BFE+∠EFC＝180°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠EFC＝∠BCE，
∴EF＝EC，
∴AE＝EF．
②选择小龙同学的解题思路．
如图3，过E作EG⊥AB于G，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，
∴EG＝EH，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∵AE⊥EF，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BAE+∠BFE＝180°，
∴∠BFE+∠EFC＝180°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴△AGE≌△HFE（AAS），
∴AE＝EF．
（2）如图，连接AF，过E作EK⊥DP于K，
由（1）得，∠AEF＝90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BDC＝45°，
又∵EP⊥BD，
∴△EDP是等腰直角三角形，EK⊥DP，
∴DP＝2EK，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE，
∴EF＝EC，
∵EQ⊥BC，
∴CF＝2CQ，
∵∠EKC＝∠DCQ＝∠EQC＝90°，
∴四边形EKCQ为矩形，
∴EK＝CQ，
∴DP＝CF，
又∵BC＝DC，
∴BC﹣CF＝DC﹣DP，即BF＝CP，
又∵AB＝BC，∠ABC＝∠BCP＝90°，
∴△ABF≌△BCP（SAS），
∴AF＝BP，
∴．
 （3）∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵线段AB旋转得到AM，
∴AB＝AM＝AD，
∴∠ABM＝∠AMB，∠AMD＝∠ADM，
∵∠BAD+∠ABM+∠AMB+∠AMD+∠ADM＝360°，
∴2∠AMB+2∠AMD＝270°，
∴∠AMB+∠AMD＝135°，即∠BMD＝135°，
又∵∠BMC＝90°，
∴∠DMC＝360°﹣135°﹣90°＝135°，
如图，过C作CN⊥CM且CN＝CM，DN，
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCD＝∠MCN，
∴∠BCM＝∠DCN，
又∵BC＝DC．
∴△BCM≌△DCN（SAS），
∴BM＝DN，∠BMC＝∠DNC＝90°，
∵MC＝NC，∠MCN＝90°，
∴∠CMN＝∠CNM＝45°，
∴∠DMN＝∠DMC﹣∠CMN＝135°﹣45°＝90°，∠MND＝∠DNC﹣∠CNM＝90°﹣45°＝45°，
∴△DMN是等腰直角三角形，
∴，
又∵BM＝DN，
∴．