湖南省永州市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份湖南省永州市2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共19页。试卷主要包含了本试卷包括试题卷和答题卡等内容，欢迎下载使用。

温馨提示：
1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题．
2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
3．本试卷满分120分，考试时间120分钟．本试卷共三道大题，26个小题．如有缺页，考生须声明．
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1. 若x的相反数是3，则x的值是（ ）
A B. C. 3D.
2. 湖南省2023年地区生产总值突破五万亿元，同比增长，其中数据50000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列图标是第十九届杭州亚运会上常见的运动图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：小时）进行统计，数据如图表，两组数据的众数分别为、，方差分别为、，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
6. 已知直线，将一块含角直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线交于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
7. 直线不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知蓄电池电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（ ）
A. 函数解析式为B. 蓄电池的电压是18V
C. 当时，D. 当时，
10. 如图，抛物线的图像与轴相交于、两点，与轴相交于点，以下结论：①；②；③当时，；④．正确的个数为（ ）
A. 4B. 3C. 2D. 1
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. 因式分解：__________．
12. 在函数中，自变量x的取值范围是___．
13. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称点的坐标是______．
14. 分式方程的解为______．
15. 某校开展征文活动，学生只能从“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”三个主题中选择一个主题上交征文，那么两名学生恰好选中同一主题征文的概率是______．
16. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是___________．
17. 如图，的边与相交于C，D两点，且经过圆心O，边与相切，切点为B．如果，那么等于______．

18. 如图，在中，，，，以点为圆心，适当长为半径作弧分别交，于点，，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线，交于点，则到的距离为______．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19 计算：
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 某校利用课后延时服务时间，开设“阳光球类系列课程”，有足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球五大球类课程，为了解学生对课程的喜爱情况，随机调查了m名学生（每名学生必选且只选其中一门课程）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）＿＿＿，＿＿＿；
（2）补全条形统计图；
（3）“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为＿＿＿．
（4）若全校共有3000名学生，请估计该校约有多少名学生喜爱打乒乓球．
22. 如图，小明用测角仪（测角仪高度忽略不计）测量楼栋的高度．先在A处测得楼顶C的仰角，然后向楼底方向直行20米到达B处，测得楼顶C的仰角．求楼栋的高度．（参考数据：，，结果保留整数）

23. 如图，在矩形中，O为对角线的中点，过点O作分别交、边于点E、F，连接，．
（1）求证：四边形菱形；
（2）若，，求菱形的边长．
24. 3月12日，某校开展植树活动，准备购买桂花树和香樟树，已知购买1棵香樟树和2棵桂花树共需240元，购买2棵香樟树和3棵桂花树共需390元．
（1）求香樟树和桂花树的单价；
（2）现需一次性购买香樟树和桂花树共40棵，要求总费用不超过3300元，学校最多可以购买多少棵桂花树？
25. 如图，是的内接三角形，点H在上，连接并延长交于点D，连接，．
（1）求证：
（2）若，求证：；
（3）在（2）的条件下，若，的半径为r，且，求的值．
26. 以x为自变量的两个函数y与g，令，我们把函数h称为y与g的“相关函数”例如：以x为自变量的函数与它们的“相关函数”为．恒成立，所以借助该“相关函数”可以证明：不论自变量x取何值，恒成立．
（1）已知函数与函数相交于点、，求函数y与g的“相关函数”h；
（2）已知以x为自变量的函数与，当时，对于x的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立，求t的取值范围；
（3）已知以x为自变量的函数与（a、b、c为常数且，），点，点、是它们的“相关函数”h的图象上的三个点，且满足，求函数h的图象截x轴得到的线段长度的取值范围．
数学答案
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；请将你认为正确的选项填涂到答题卡上）
1. A
解析：∵3的相反数是-3，x的相反数是3
∴x=－3
故选：A．
2. B
解析：解：，
故选：B．
3. A
解析：解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：A．
4. C
解析：解：A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C
5. D
解析：解：甲组数据8出现了三次，次数最多，
，
乙组数据8出现了三次，次数最多，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D
6. B
解析：解：如图：
∵，
，
，
，
故选：B．
7. C
解析：解：由于，，
故函数过一、二、四象限，不过第三象限．
直线不经过第三象限，
故选C
8. A
解析：解：，
由①得：；
由②得：，
∴原不等组解集为，；
在数轴上表示为
故选A．
9. C
解析： 解：设，将代入可得，故A错误；
∴蓄电池的电压是36V，故B错误；
当时，，该项正确；
当当时，，故D错误，
故选：C．
10. B
解析：①：图象与轴有两个交点
①正确；
②：图象开口向上
对称轴
图象与轴的交点在轴负半轴
②正确；
③：由图象可知，当时，
③不正确；
④：由图象知，当时，
④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分；请将答案填在答题卡的答案栏内）
11.
解析：解：=；
故答案为
12.
解析：试题分析：求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使在实数范围内有意义，必须．
13.
解析：解：点关于x轴对称点的坐标是，
故答案为：．
14.
解析：解：，
去分母得：，
解得：，
经检验：是分式方程的解．
故答案为：．
15.
解析：解：将“爱国教育”、“科技创新”、“传统文化”分别记为A、B、C，
画树状图如下：
两名学生恰好选中同一主题征文的概率是:,
故答案为：
16. 20π
解析：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴勾股定理可知AB=5，
∵将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥
∴该圆锥是以BC为底面半径，AB为母线组成的即BC=r=4，AB=l=5，
∴圆锥侧面积=，
故答案为：20π．
17.
解析：解：解：连接，

与相切，，
半径，
，
故答案为：．
18. ##
解析：解：过点作于，如图，
由勾股定理可求得，
由题中作图知，平分，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即的长为为；
∴
故答案为：．
三、解答题（本大题共8个小题，共66分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）
19. 4
解析：解：原式
20. ；
解析：原式
．
当时，
原式
．
21.（1）100，5
（2）见解析： （3）°
（4）学校约有名学生喜爱打乒乓球
小问1解析：
解：（名）；
故答案为：100，5；
小问2解析：
解：（名）
如图所示：
小问3解析：
解：
“足球”课程在扇形统计图中所占扇形区域的圆心角度数为；
小问4解析：
解：（名）
∴学校约有名学生喜爱打乒乓球
22.这栋楼的高度为27米
解析：解：过点C作，垂足为E，

设为，
在中，，
∴，
∴
在中，，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
答：这栋楼的高度为27米．
23.（1）证明见解析 （2）
小问1解析：
证明：∵四边形是矩形
∴
∴
∵点是的中点
∴
在和中
∴
∴
已知
∴四边形是平行四边形
∵
∴四边形是菱形；
小问2解析：
解：∵四边形是矩形
∴
∵四边形菱形
∴
设菱形的边长为，
则，
在中
即
解得
所以菱形的边长为．
24.（1）香樟树和桂花树单价分别为60元，90元
（2）最多可以购买桂花树30棵
小问1解析：
解：设香樟树和桂花树单价分别为元，y元
根据题意得，，
解方程得，，
答．香樟树和桂花树单价分别为60元，90元．
小问2解析：
设学校购买桂花树棵，则购买香樟树棵，
根据题意得，，
解不等式得，，
答：最多可以购买桂花树30棵．
25.（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）
小问1解析：
证明：∵，
∴，
又∵
∴；
小问2解析：
证明：∵，
∴，即
∵
∴，
∴，
∴；
小问3解析：
解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴是直径，
∴，
∵，
设，则，
∵O，H分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
在中，，
在中，，
∵
∴，
∴
∴．
26.（1） （2） （3）且
小问1解析：
解：∵已知函数与函数相交于点、，
∴，
解得，
∴函数，
∴；
小问2解析：
∵函数与，
∴相关函数，
∵当时，对于的每一个值，函数y与g的“相关函数”恒成立，
∴恒成立，
当时，，
当时，恒成立，
∴；
小问3解析：
∵函数与，
∴，
将点、、代入解析式得：
，，，
∴，
∵，
∴，
解不等式得：且，
不妨令，则且，
设函数与x轴交于，，
∴，是方程的两根，
∴，，
∴函数的图象截x轴得到的线段长度为：
，
∵且，
∴，
即且．甲组
6
7
8
8
8
9
10
乙组
4
7
8
8
8
9
12