山东省济南市钢城区（五四制）2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省济南市钢城区（五四制）2024届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共30页。

注意事项：
1．答卷前请考生务必在试卷的规定位置将自己的姓名、准考证号等内容填写准确．
2．本试题分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间为 120分钟．
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑； 非选择题用0.5mm 黑色签字笔直接答在答题卡相应区域，不能答在试卷上；解答题作图需用黑色签字笔，不能用铅笔．
4．考试结束后，由监考教师把答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题（本题共 10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1. 的倒数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果，那么的度数是（ ）
A. 32°B. 48°C. 58°D. 68°
4. 如图的几何体是一个工件的立体图，从上面看这个几何体，所看到的平面图形是（ ）

A. B. C. D.
5. 研究表明，可燃冰是一种可替代石油的新型消洁能，在我国某海域已探明的可燃冰储存量达立方米 ，则n的值为（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
6. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 点M，N在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是m和n．对于以下结论：
①，②，③，④．其中正确的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在等腰中， ，．在、上分别截取、，使，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点．若点、分别是线段和线段上的动点，则的最小值为（ ）

A. 9.6B. 10C. 12D. 12.8
10. 对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数” ．例如：正比例函数，当时，，则，求得：，所以函数为“3型闭函数” ．已知二次函数，当时，y是“k型闭函数”，则k的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共 24分）
11. 分解因式： ____．
12. 一个口袋中有6个黑球和若干个白球，从口袋中随机摸出一个球，记下其颜色，再把它放回口袋中，不断重复上述过程，如果共摸了200次，其中有60次摸到黑球，那么请你估计口袋中大约有________个白球．
13. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为______．
14. 如图，正六边形的边长为4，以对角线为直径作圆，则图中阴影部分的面积为___________．
15. 如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴的负半轴上，点在轴的负半轴上，，以为边向上作正方形．若图象经过点的反比例函数的表达式是，则图象经过点的反比例函数的表达式是______．
16. 在矩形中，，，点，分别是边和上的动点，且，连接，过点作，垂足为点，连接，则的最小值为 _________________．
三、解答题（本大题共 10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 计算：．
18 解不等式组 ．
19. 如图，菱形中，点E，F分别在边上，，求证：．
20. 为增强学生体质，某校对学生进行体育综合素质测评，学校分别从七、八年级随机抽取了名学生的测评成绩（百分制，单位：分），并对数据（测评成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
．七年级名学生测评成绩的频数分布直方图（数据分成组：，，， ）如图所示：
． 七、八年级 名学生测评成绩的平均数、中位数和众数如表所示：
． 七年级 名学生传统文化知识测试成绩在 这一组的是， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表中的值为 ，补全频数分布直方图．
（2）八年级菲菲同学的测试成绩是 分． 他认为高于本年级测试成绩的平均数，所以自己的成绩高于本年级一半学生的成绩． 你认为他的说法正确吗 请说明理由．
（3）若该校七年级共有 名学生，测试的成绩分及以上为合格，请你估算该校七年级学生测评成绩的合格人数．
21. 资料题
22. 如图，已知是的直径，直线是的切线，切点为C，垂足为E， 连接．
（1）求证：平分：
（2）若 求的半径．
23. 随着时代发展，“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流，因此“直播带货”将成为企业营销变革的新起点． 某企业为开启网络直播带货的新篇章，购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用1800元购买A型设备的数量比用1000元购买B型设备的数量多5台．
（1）求A、B型设备单价分别是多少元；
（2）某平台计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于 B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用．
24. 问题背景：某农户要建进一个如图所示的长方体无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为 k千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．
（1）设水池底面一边长为x米，水池总造价为y千元，可得：水池底面另一边长为 米，可得y与x的函数关系式为： ．
（2） 若底面造价为1千元，则得y与x函数关系式为 ．
问题初探：某数学兴趣小组提出：一次函数的图像可以由正比例函数的图像向上（下）平移个单位得到：受此启发，给定一个函数： 为了研究它的图象与性质，并运用它的图象与性质解决实际问题，对 进行如下图象探索：
列表如下
（3） 请直接写出m， n的值：
（4） 请在平面直角坐标系中描出剩余两点，并用平滑的曲线画出该函数的图象．
（5） 请结合函数的图象，写出当x= ，y有最小值为 ；
学以致用
根据以上信息，若底面造价为3千元，请回答以下问题：
（6）y与x的函数关系式为 ．
（7） 当水池底边长分别为 米时，水池总造价的最低费用为 千元；
（8） 若该农户预算不超过5.5 千元，请直接写出x的值应控制在什么范围?
25. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线 交轴于点， 两点， 交轴于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点是直线上方抛物线上一动点，过点 作． 于点，过点作轴的平行线交直线于点 ，求周长的最大值及此时点的坐标；
（3）如图2，在（2） 问的条件下，将该抛物线沿射线的方向平移 个单位后得到新抛物线．点 为平移后的新抛物线的对称轴上一点． 在平面内确定一点． 使得四边形 是菱形，请求出符合条件的点 的坐标．
26. 原题呈现：
如图1： 在 和 中， 点 为 内部一点，射线 交直线 于点．试探究： ， ， 之间存在怎样的数量关系

某数学探究小组对以上题目采用了有特殊到一般的数学思想方法进行探究，过程如下，请完成以下探究过程．
问题探究：
（1）先将问题特殊化如图（2），当点，重合时，直接写出一个等式，表示，， 之间的数量关系；

（2）再探究一般情形如图（1），当点 ，不重合时（1）中的结论仍然成立．
拓展延申：
（3）如图3，若将原题中的条件“”改为 （是常数），请写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系．

数学试题答案
第Ⅰ卷（选择题40分）
一、选择题（本题共 10小题，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分，共40分）
1. C
解析：解：∵，
∴的倒数是.
故选C
2. D
解析：解：A、该图不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、该图不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、该图是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
3. A
解析：解：，
，
．
故选：A．
4. C
解析：解：根据几何体可知，从上面看到的平面图形为：

故选：．
5. B
解析：解：
∴．
故选：B．
6. D
解析：解：A选项：，故原计算错误，不符合题意；
B选项：与不是同类项，不能合并，故原计算错误，不符合题意；
C选项：，故原计算错误，不符合题意；
D选项：，故原计算正确，符合题意．
故选：D
7. C
解析：解：∵点M，N在数轴上的位置如上图所示，其对应的数分别是m和n，
∴，
∴则①正确；
∴则②错误；
∴则③正确；
∴则④正确；
综上所述，其中正确的有：①③④，
故答案为：C．
8. D
解析：解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，
共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，
∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．
故选：D．
9. A
解析：解：过点作于点，交于点，

由作图过程可知，为的平分线，
，
垂直平分，
，，．
当点与点重合，点于点重合时，，为最小值．
在中，由勾股定理得，，
，
，
，
的最小值为9.6．
故选：A．
10. B
解析：解：二次函数y=−3x2+6ax+a2+2a的对称轴为直线x=a，
∵当−1⩽x⩽1时，y是“k型闭函数”，
∴当x=−1时，y=a2−4a−3，
当x=1时，y=a2+8a−3，
当x=a时，y=4a2+2a，
①如图1，当a⩽−1时，
当x=−1时，有ymax=a2−4a−3，
当x=1时，有ymin=a2+8a−3
∴(a2−4a−3)−(a2+8a−3)=2k，
∴k=−6a，
∴k⩾6；
②如图2，当−1当x=a时，有ymax=4a2+2a，
当x=1时，有ymin=a2+8a−3，
∴(4a2+2a)−(a2+8a−3)=2k，
∴，
∴；
③如图3，当0当x=a时，有ymax=4a2+2a，
当x=−1时，有ymin=a2−4a−3，
∴(4a2+2a)−(a2−4a−3)=2k，
∴，
∴，
④如图4，当a>11时，
当x=1时，有ymax=a2+8a−3，
当x=−1时，有ymin=a2−4a−3，
∴(a2+8a−3)−(a2−4a−3)=2k，
∴k=−6a，
∴k>6，
综上，k的取值范围为．
故选：B．
第Ⅱ卷（非选择题 110分）
二、填空题（本大题共6小题，只要求填写最后结果，每小题填对得4分，共 24分）
11.
解析：解：，
故答案为：．
12. 14
解析：解：设白球有x个，根据题意得，，
解得，
即口袋中大约有14个白球．
故答案为：14．
13.
解析：解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
解得．
故答案为：．
14.
解析：解：过点B作于点G，如图所示：
∵六边形为正六边形，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
．
故答案为：．
15.
解析：解：过点作轴，轴，轴，
，
∵正方形，
∴，
∴，，
∴，
同理，
∵，
∴设则，
∴，，
∴，
∴点C坐标为：，点D坐标为：，
∵图象经过点的反比例函数的表达式是，
∴，解得：，
∴点D坐标为：，
∴图象经过点的反比例函数的表达式是：，
故答案为：．
16. ##
解析：解：连接，交于，
∵，，
，，
，
，
，
，
是矩形形的中心，
，，
，
，
取中点，连接，，过点作于，则，
∴，
，
，
，，
，
由勾股定理可得，
在中，是的中点，则，
，
当，，三点共线时，最小值为，
故答案为：．
三、解答题（本大题共 10小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
17. 1
解析：解：

18.
解析：解：，
解①得，，
解②得，，
不等式组的解集为：
19.见解析
解析：证明：解法一： ∵四边形是菱形，
∴
又∵，
∴，
∴，
在△ADE和△CDF中，
∴
解法二： 连接，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
△ACE和△CAF中，
D
∴，
∴．
20.（1），见解析
（2）不正确，见解析 （3）人
小问1解析：
解：七年级的中位数为第 和第个数据的平均数，
∴；
第三组的频数为（人）， 补全频数分布直方图如下
故答案为：．
小问2解析：
解：菲菲的说法不正确，
理由：77 分虽然高于本年级测试成绩的平均数，但低于中位数，所以他的成绩低于本年级一半学生的成绩；
小问3解析：
解： （人），
答：估算该校七年级学生的总人数有 990 人．
21.（1）；（2）
解析：解：（1）如图1，在中，∵，，
∴，
∴，
∴的长为；
（2）如图2，在中，∵，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴遮阳篷的长为．
22.（1）见解析 （2）
小问1解析：
证明：连接，
直线是的切线，切点为C，
，
又，
，
，
，
，
，
平分；
小问2解析：
解：连接，
是的直径，
，
又，
由（1）得，
，
在中，，
，
中，，
，即的半径为5．
23.（1）A型设备的单价为120元，B型设备的单价为100元
（2）关系式为，至少购买的费用为6400元
小问1解析：
解：设型设备的单价是元，则型设备的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
（元．
答：型设备的单价是120元，型设备的单价是100元；
小问2解析：
根据题意得：，
即，
购进型设备数量不少于型设备数量的一半，
，
解得：，
与的函数关系式为．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值（元．
答：与的函数关系式为，最少购买费用是6400元．
24.（1），；（2）；（3），；（4）见解析：；（5），；（6）；（7），；（8）
解析：解：（1）水池底面一边长为米，底面积为1平方米，
水池的另一边长米；
底面造价为k千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米，
．
故答案为：，；
（2）底面造价为1千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米，
．
故答案为：；
（3）当时，；
当时，；
（4）
（5）由图象可得，当时，最小．
故答案为：1，3；
（6）底面造价为3千元平方米，侧面造价为0.5千元平方米，
．
故答案为：；
（7）由函数平移的性质可得：函数是由函数向上平移2个单位得到的，
函数的最低点的坐标为，
函数的最低点的坐标为．
故答案为：1，5；
（8）
该农户预算不超过5.5千元，函数是由函数向上平移2个单位得到的，
找到函数图象上纵坐标不超过3.5千元的点对应的的值即可．
．
25.（1）
（2），
（3）或或
小问1解析：
解：∵抛物线 交轴于点， 两点，
∴，
解得：，
∴抛物线的表达式为：
小问2解析：
解：令，
∴，则，
∵，，则，
设直线的表达式为 ，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为 ，
设，则
∴，
∵，
∴当时，最大，最大值为，此时；
∵，
∴的周长为，
∵轴，
∴， ，
∴
∴，即
∴周长的最大值为，此时；
小问3解析：
解：∵，，
∴根据平移性质，该抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移后的抛物线的对称轴为，
设，，，
∴
当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点N坐标为；
当或为对角线时，或，
则或，
解得或
∴点N坐标为或，
综上，满足题意的N点坐标为或或．
26.（1）；（2）见解析；（3）结论：，理由见解析
解析：（1）．理由如下：如图（2），

，
，
，，
，
，
；
（2）证明：过点作交于点，则，
．
，
．
又，，
，
．
．
，，
是等腰直角三角形．
．
∴．

（3）．理由如下：
，
，
，，
，
，

过点作交于点，则，
．
，
，
，，
，
．
年级
平均数
中位数
众数
七年级
八年级
研究课题
如何设计遮阳篷
设计要求
遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．
设计方案
如图： 表示直角遮阳篷． 遮阳篷水平部分垂直于墙面， 表示窗户．

数据收集
通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角 最大，最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角 最小， 最小角．
问题提出
（1）如图2，若墙面的高为米，要求设计的遮阳篷正好最大限度地遮住夏天炎热的阳光，求遮阳篷水平部分的长度．
（2）如图3， 当窗户 时， 设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内． 求遮阳篷的长．（参考数据：，， ，，， ）
1
2
3
4
3