必修 第一册1.2 集合间的基本关系同步测试题

这是一份必修 第一册1.2 集合间的基本关系同步测试题，共19页。
一．集合的相等（共4小题）
1．（2022秋•松江区校级期末）已知集合，则下列集合中与P相等的是（ ）
A．
B．
C．
D．{x|（2x﹣1）（3x﹣2）≥0，x∈R}
【分析】可得出：，通过求定义域可判断出A错误，B正确，显然C，D错误．
【解答】解：，
A.，A错误；
B.＝＝，B正确；
C.，C错误；
D.3x﹣2可以等于0，集合P中的3x﹣2≠0，所以两集合不相等，D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了函数定义域的求法，集合的描述法的定义，分式不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．
2．（2022秋•江岸区校级月考）已知集合A＝{1，a，b}，B＝{﹣1，a2，b2}，若A＝B，则a•b＝（ ）
A．1B．0C．﹣1D．无法确定
【分析】根据集合相等的定义，列方程求解即可．
【解答】解：集合A＝{1，a，b}，则a≠1，b≠1，
∵A＝B，∴a2＝1或b2＝1，
当a2＝1时，解得a＝﹣1或a＝1（舍去），
则b＝b2，解得b＝0或b＝1（舍去），
此时A＝{1，﹣1，0}，B＝{﹣1，1，0}符合题意，
故a•b＝（﹣1）×0＝0，
当b2＝1时，解得b＝﹣1或b＝1（舍去），
则a＝a2，解得a＝0或a＝1（舍去），
此时A＝{1，0，﹣1}，B＝{﹣1，0，1}，符合题意，
故a•b＝0×（﹣1）＝0，
综上所述，a•b＝0．
故选：B．
【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
3．（2022秋•浦北县校级期中）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M＝{（3，2）}，N＝{（2，3）}
B．M＝{x|x+1＞0}，N＝{y|y+1＞0}
C．M＝{（x，y）|x+y＝1}，N＝{y|x+y＝1}
D．M＝{1，2}，N＝{（1，2）}
【分析】结合集合相同，元素完全相同的要求分别检验各选项即可判断．
【解答】解：A：由于（3，2）与（2，3）为有序实数对，故M与N的元素不同，不是同一集合；
B：M＝{x|x+1＞0}，N＝{y|y+1＞0}两集合都是数集，且范围一致，故是同一集合；
C：M为点集，N为数集，不是同一集合；
D：M为数集，N为点集，不是同一集合．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，属于基础题．
4．（2022秋•蓬江区期末）设a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，若P＝Q，则a﹣b＝ 0 ．
【分析】由已知可得a＝﹣1且﹣b＝1，进而可以求解．
【解答】解：因为a，b∈R，P＝{1，a}，Q＝{﹣1，﹣b}，
又因为P＝Q，则a＝﹣1且﹣b＝1，解得a＝﹣1，b＝﹣1，
所以a﹣b＝﹣1﹣（﹣1）＝0，
故答案为：0．
【点评】本题考查了元素与集合的关系，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
二．集合的包含关系判断及应用（共4小题）
5．（2022秋•包头期末）设集合A＝{n|n＝6k+1，k∈Z}，B＝{n|n＝3m+1，m∈Z}，则下列判断正确的是（ ）
A．A＝BB．A∪B＝AC．A∩B＝AD．B⊆A
【分析】集合A中的元素为偶数的三倍再加一，集合B中的元素为整数的三倍再加一，由此得出两集合的关系，逐一检验选项即可．
【解答】解：集合A＝{n|n＝6k+1，k∈Z}＝{n|n＝3（2k）+1，k∈Z}，
集合B＝{n|n＝3m+1，m∈Z}，
则A⊆B，即A∩B＝A，
故选：C．
【点评】本题考查集合间的关系，考查描述法的应用，属于基础题．
6．（2023•宛城区校级模拟）已知集合，B＝{4，3，2，1}，则集合A，B的关系是（ ）
A．B⊆AB．A＝BC．B∈AD．A⊆B
【分析】计算得到A＝{0，1，2，3，4}，据此得到集合的关系．
【解答】解：，B＝{4，3，2，1}，故A＝B错误；
集合B中元素都是集合A元素，故B⊆A正确；A，B是两个集合，不能用“∈”表示它们之间的关系，故B∈A错误；
集合A中元素存在不属于集合B的元素，故A⊆B错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合间的基本关系，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2022秋•天山区校级期末）下列各式中，错误的个数是（ ）
①{0}∈{0，1，2}；②{0，1}＝{（0，1）}；③∅⊆{0，1，2}；④∅＝{0}；
A．1B．2C．3D．4
【分析】根据集合的表示和集合之间的关系逐一判断即可．
【解答】解：对于①，”∈“符号用在元素与集合的关系中，应为{0}⊆{0，1，2}，故①错误．
对于②，{0，1}表示含两个元素的集合，而{（0，1）}表示含一个元素的集合，应为{0，1}≠{（0，1）}，
故②错误．
对于③，由于空集是任何集合的子集，所以∅⊆{0，1，2}正确，故③正确．
对于④，∅表示不含任何元素的集合，而{0}表示含0一个元素的集合，所以应为∅≠{0}，故④错误．
所以错误的个数是3个，
故选：C．
【点评】本题考查了集合之间的关系，集合的含义与表示，属于基础题．
8．（2022秋•葫芦岛期末）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{x|2＜x＜3}，则（ ）
A．A∈BB．A⊆BC．A＝BD．B⊆A
【分析】由集合间的包含关系即可解决．
【解答】解：由集合A＝{x|﹣1＜x＜6]，B＝{x|2＜x＜3}，
选项A．A，B两个数集之间应是包含关系不能用属于关系，故不正确．
由条件可得B⊆A，A⊄B，且A≠B，所以选项B，C错误，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查集合间的包含关系，属于容易题．
三．子集与真子集（共5小题）
9．（2022秋•安庆期末）集合A＝{x∈N|﹣5＜2x﹣1＜5}的子集个数为（ ）
A．4B．7C．8D．16
【分析】解出集合A，再计算集合的子集个数．
【解答】解：因为A＝{x∈N|﹣5＜2x﹣1＜5}＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，
所以该集合的子集的个数为23＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查子集个数的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
10．（2022秋•襄城区校级期末）集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}的真子集的个数是（ ）
A．9B．8C．7D．6
【分析】根据条件，让x从0开始取值，求出对应的y值：x＝0，y＝6；x＝1，y＝5；x＝2，y＝2；x＝3，y＝﹣3，显然x往后取值对应的y值都小于0，所以集合{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}，这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数．
【解答】解：x＝0时，y＝6；
x＝1时，y＝5；
x＝2时，y＝2；
x＝3时，y＝﹣3；
∵函数y＝﹣x2+6，x∈N，在[0，+∞）上是减函数；
∴x≥3时，y＜0；
∴{y∈N|y＝﹣x2+6，x∈N}＝{2，5，6}；
∴该集合的所有真子集为：∅，{2}，{5}，{6}，{2，5}，{2，6}，{5，6}；
∴该集合的真子集个数为7．
故选：C．
【点评】考查描述法表示集合，自然数集N，以及真子集的概念．
11．（2022秋•沈阳期末）已知集合M满足{2，3}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，那么这样的集合M的个数为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【分析】由已知结合集合子集个数与元素个数的关系即可求解．
【解答】解：集合M满足{2，3}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，
所以2∈M，3∈M，
故集合M的个数为23＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合子集的个数与集合元素个数的关系，属于基础题．
12．（2023•河南模拟）已知集合A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}，则集合A的所有非空真子集的个数是（ ）
A．6B．7C．14D．15
【分析】根据已知条件，结合非空真子集的定义，即可求解．
【解答】解：A＝{x∈N|﹣2＜x＜3}＝{0，1，2}，元素个数为3个，
则集合A的所有非空真子集的个数是23﹣2＝6．
故选：A．
【点评】本题主要考查非空真子集的定义，属于基础题．
13．（2022秋•金山区期末）已知集合A＝{x|（a﹣1）x2+3x﹣2＝0}有且仅有两个子集，则实数a＝ 1或 ．
【分析】结合已知条件，求出（a﹣1）x2+3x﹣2＝0的解的个数，然后对参数分类讨论，并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可．
【解答】解：若A恰有两个子集，
所以关于x的方程恰有一个实数解，
①当a＝1时，，满足题意；
②当a≠0时，Δ＝8a+1＝0，所以，
综上所述，a＝1或．
故答案为：1或．
【点评】本题主要考查集合子集的应用，属于基础题．
四．空集的定义、性质及运算（共2小题）
14．（2022秋•松江区校级期中）已知集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，则a＝ 0 ．
【分析】根据已知条件，结合空集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|ax+1＝0}为空集，
则a＝0．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查空集的定义，属于基础题．
15．（2021秋•丰城市校级月考）若集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，则实数a的取值范围是 （﹣∞，0] ．
【分析】利用空集的定义，将问题转化为ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，分a＝0和a≠0两种情况，分别求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{x|ax2﹣2ax+a﹣1＝0}＝∅，
所以ax2﹣2ax+a﹣1＝0无解，
当a＝0时，方程无解，符合题意；
当a≠0时，Δ＝（﹣2a）2﹣4a（a﹣1）＝4a＜0，解得a＜0．
综上所述，a的取值范围为（﹣∞，0]．
故答案为：（﹣∞，0]．
【点评】本题考查了空集定义的理解与应用，方程无解的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
五．集合关系中的参数取值问题（共5小题）
16．（2022秋•双流区校级期中）若集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}中只有一个元素，则实数k的值为（ ）
A．0或1B．1C．0D．k＜1
【分析】当k＝0 时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，满足条件．当k≠0时，由判别式等于0可得 k＝1，此时，集合A＝{﹣2}，满足条件，由此得出结论．
【解答】解：当k＝0 时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x＝﹣1}，满足条件．
当k≠0时，由判别式等于0可得 16﹣16k＝0，解得 k＝1，此时，集合A＝{x|kx2+4x+4＝0}＝{x|x2+4x+4＝0}＝{﹣2}，满足条件．
综上可得，实数k的值为0或1．
故选：A．
【点评】本题主要考查集合关系中参数的取值范围问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
17．（2020•海淀区校级模拟）已知集合A＝{﹣2，3，1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1}B．{}C．{1，﹣1}D．{}
【分析】若B⊆A，则m2＝1，即可求解满足条件的m
【解答】解：∵A＝{﹣2，3，1}，B＝{3，m2}，
若B⊆A，
则m2＝1
∴m＝1或m＝﹣1
实数m的取值集合为{1，﹣1}
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系的简单应用，属于基础试题
18．（2020秋•麒麟区校级期中）已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
（1）若M⊆N，求实数a的取值范围；
（2）若M⊇N，求实数a的取值范围．
【分析】（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立
【解答】解：（1）∵M⊆N，∴，∴a∈∅；
（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．
②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，
则，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．
【点评】本题主要考查利用集合关系求参数取值问题，注意对集合N为空集时也成立，注意端点取值等号的取舍问题．
19．（2020秋•武清区校级月考）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤3}，集合B＝{x|＜0}，a∈R．
（Ⅰ）若“1∈B”是真命题，求实数a取值范围；
（Ⅱ）若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）若“1∈B”是真命题，则x＝1满足不等式，代入进行求解即可．
（Ⅱ）根据充分条件和必要条件的定义转化为集合关系进行求解即可
【解答】解：（Ⅰ）若“1∈B”是真命题，则＝＜0，得0＜a＜1．
（Ⅱ）B＝{x|＜0}＝{x|a＜x＜a+1}，
若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，
则B是A的真子集，
即，即，得﹣1≤a≤2，
即实数a的取值范围是[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，以及不等式的求解，根据定义转化为集合关系是解决本题的关键．
20．（2019秋•石景山区期末）设非空集合A＝{x|a﹣1＜x＜2a，a∈R}，不等式x2﹣2x﹣8＜0的解集为B．
（Ⅰ）当a＝0时，求集合A，B；
（Ⅱ）当A⊆B时，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由二次不等式的解法得：A＝{x|﹣1＜x＜0}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，
（Ⅱ）由集合间的包含关系及空集的定义得：由于A≠∅，有，解得：﹣1＜a≤2．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，A＝{x|﹣1＜x＜0}，
解不等式x2﹣2x﹣8＜0得：﹣2＜x＜4，即B＝{x|﹣2＜x＜4}，
（Ⅱ）若A⊆B，则有：
由于A≠∅，有，
解得：﹣1＜a≤2，
a的取值范围为：（﹣1，2]．
【点评】本题考查了解二次不等式、集合间的包含关系及空集的定义，属简单题．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023春·湖南长沙·高一雅礼中学校考阶段练习）下列与集合表示同一集合的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的定义及表示方法求解即可.
【详解】由解得或，
所以，C正确；
选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，
故选：C
2．（2023·高一单元测试）集合的子集个数为（ ）．
A．4B．7C．8D．16
【答案】C
【分析】解出集合，再计算集合的子集个数.
【详解】因为，
所以该集合的子集的个数为，
故选：C．
3．（2023春·湖南长沙·高一长沙市明德中学校考期中）已知集合M⊆{2，3，5}，且M中至少有一个奇数，则这样的集合M共有（ ）
A．5个B．6个
C．7个D．8个
【答案】B
【分析】利用集合子集的概念及题意一一列举即可.
【详解】若M有一个元素，则；
若M有两个元素，则；
若M有三个元素，则
∴满足题意的集合M的个数为6个.
故选：B.
4．（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【分析】先求出，再找出中6的正约数，可确定集合，进而得到答案．
【详解】集合，,
，
故有个子集.
故选：D．
二、多选题
5．（2023秋·广东广州·高一校考期末）设集合，若，则a的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】由求出a的范围，确定a的可能取值.
【详解】因为，如图：
所以，所以， 故a的可能取值为，.
故选：CD.
6．（2023春·云南曲靖·高一宣威市第三中学校考阶段练习）下面给出的几个关系中正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【解析】根据集合的关系判断，注意集合中的元素．
【详解】A选项，中有元素，中有元素、，不包含于，A错，
B选项，中有元素，中有元素、，不包含于，B错，
C选项，∵，∴，正确，C正确，
D选项，是任意集合的子集，D对，
故选：CD．
7．（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知集合，则有（ ）
A．B．C．A有4个子集D．{3}
【答案】ABC
【分析】根据题意先求出集合，然后利用元素与集合的关系，集合的子集等概念进行判断即可求解.
【详解】由题意可得，
由集合与元素，集合与集合的关系可知正确；正确；错误；
由子集的概念可知：集合的子集有共4个，所以正确；
故选：ABC.
8．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A．
B．若，则
C．集合是无限集
D．集合的子集共有4个
【答案】BCD
【分析】根据已知条件，结合空集、子集的定义，以及，的含义，即可求解．
【详解】对于A：是指不含任何元素的集合，故A错误；
对于B：若，则，故B正确；
对于C：有理数有无数个，则集合是无限集，故C正确；
对于D：集合元素个数为2个，
故集合的子集共有个，故D正确．
故选：BCD．
9．（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BD
【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断.
【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；
对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；
对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；
对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.
故选：BD.
三、填空题
10．（2023·高一单元测试）已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有______个．
【答案】5.
【分析】列举出满足条件的集合即可得答案.
【详解】若A中没有奇数，则，共1个；
若A中有一个奇数，A可能为：，共4种可能性.
则满足条件的集合有5个.
故答案为：5.
11．（2023·高一课时练习）由三个数，，1组成的集合与由，，0组成的集合是同一个集合，则的值为________.
【答案】
【解析】根据集合相等，可建立关系式，优先考虑特殊元素0，求出，进而可求出答案.
【详解】由，，1组成一个集合，可知，，
因为，所以，即，
则，所以，解得.
所以.
故答案为：.
【点睛】本题考查相等集合的性质，注意集合的互异性，属于基础题.
12．（2023·高一课时练习）不等式组的解集为，则实数的取值范围是_____________.
【答案】
【分析】分两种情况讨论，分别检验是否满足条件，从而得出结论．
【详解】解：∵不等式组的解集为，
①当时，由求得；由，求得，故不等式组的解集为，故不满足条件；
②当时，由求得；由，求得，
若，即时，不等式组的解集为，满足条件；
若，即时，不等式组的解集为，不满足条件，
综上可得实数的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查不等式组的解法，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
13．（2023·全国·高一专题练习）设集合，．若，则实数a的值为______．
【答案】0
【分析】根据，得到，然后结合集合中元素的互异性可得结果.
【详解】由题可知：，且
所以，得或1
当时，，不符合集合中元素的互异性
所以
故答案为：0
14．（2023·高一单元测试）设，，，若，则______．
【答案】0或
【分析】由集合相等，建立方程组求解即可.
【详解】当时，，满足，则；
当时，，满足，则；
故答案为：0或
15．（2022秋·四川宜宾·高一宜宾市叙州区第一中学校校考阶段练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________.
【答案】
【解析】由题意得出方程有唯一实数解或有两个相等的实数解，然后讨论并求解当和时满足题意的参数的值.
【详解】∵集合A有且仅有2个子集，可得A中仅有一个元素，即方程仅有一个实数解或有两个相等的实数解.
当时，方程化为，∴，此时，符合题意；
当时，则由， ，令时解方程得，此时，符合题意，令时解方程得，此时符合题意；
综上可得满足题意的参数可能的取值有0，-1，1，∴a的取值构成的集合为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了由集合子集的个数求参数的问题，考查了分类讨论思想，属于一般难度的题.
16．（2023秋·河南郑州·高一郑州市第七中学校考期末）已知集合没有非空真子集，则实数a构成的集合为______.
【答案】
【分析】根据题意可得集合中元素的个数为1或0个，再分情况讨论即可，注意这种情况.
【详解】解：因为集合没有非空真子集，
所以集合中元素的个数为1或0个，
当集合中元素的个数为1个时，
若，则有，解得，符合题意，
若，则有，解得，
当集合中元素的个数为0个时，
则，解得，
综上或，
即实数a构成的集合为.
故答案为：.
四、解答题
17．（2023·高一课时练习）设，且，求实数x，y的值．
【答案】
【分析】根据集合中的元素对应相等，结合互异性即可分情况求解.
【详解】由于，所以且，
若集合中，则，此时，由得，所以此时符合要求，
若集合中，则，此时这与矛盾，故这种情况不成立，
综上可知
18．（2023·高一课时练习）已知集合，若，求实数a，b的值．
【答案】
【分析】根据集合中的元素相等，且满足互异性，即可求解.
【详解】由于，由于集合中有元素0，而集合中的不能为0，所以必然是，此时集合，
由于集合中有元素1，
若，则，
故
19．（2022秋·湖北武汉·高一武钢三中校考阶段练习）已知集合
（1）若集合A中有两个元素，求实数a的取值范围；
（2）若集合A最多有两个子集，求实数a的取值范围.
【答案】（1）且（2）或
【分析】（1）中有两个元素等价于方程有两个不相等的实数根；
（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素，等价于方程无解或只有一解.
【详解】（1）由于中有两个元素，
∴关于的方程有两个不等的实数根，
∴，且，即，且.
故实数的取值范围是且.
（2）集合A最多有两个子集即中至多有一个元素,
即方程无解或只有一解，
当时，方程为，，集合；
当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素，此时，
若关于的方程没有实数根，则中没有元素，此时.
综上可知，实数的取值范围是或.
20．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集；
(1)求集合的生成集B；
(2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值；
(3)若集合，A的生成集为B，求证.
【答案】(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出；
（2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值；
（3）求出的范围即可证明出结论
【详解】（1）由题可知，
(1)当时， ，
(2) 当时，，
（3）当或时，
所以
（2）（1）当时，，
（2）当时，
（3）当或时，
B的子集个数为4个，则中有2个元素，
所以或 或 ，
解得或（舍去）,
所以或.
（3）证明：，
，
，
，即
，
又，
所以，
所以
21．（2022秋·北京西城·高一北京育才学校校考阶段练习）设集合，若X是的子集，把X中所有元素的和称为X的“容量”（规定空集的容量为0），若X的容量为奇（偶）数，则称X为的奇（偶）子集.
(1)写出的所有子集､所有偶子集：
(2)写出的所有奇子集；
(3)求证：的奇子集与偶子集个数相等.
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)见详解
【分析】（1）根据子集的定义, 以及对应题目中偶子集的定义, 即可得的所有子集、奇子集；
（2）根据题意, 分析 的子集, 对应奇子集的定义, 即可得的所有奇子集；
（3）设为的奇子集, 根据奇子集和偶子集的定义, 按 1是否属于进行分类, 则得到奇子集和偶子集之间的关系, 分析即可证得结论;
（1）
，则的所有子集为： 、、、、、、、;
的所有偶子集为：、、、;
（2）
由题意可知, 当 时, ,
的容量为奇数, 则 为 的奇子集,
. 所有的奇子集应为为 、、 、、、 、 、.
（3）
对于 的每个奇子集 ,
当 时, 取 ,
当 时, 取 ,
则 为 的偶子集.
反之，若 为 的偶子集,
当 时, 取 ,
当 时, 取 ,
则 为 的奇子集.
的奇子集与偶子集之间建立了一个一一对应关系
所以 的奇子集与偶子集的个数相等.