2024年浙江省宁波市中考数学三模冲刺训练试卷解析

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2．请将姓名、准考证号等信息分别填写在试题卷和答题卷的规定位置上．
3．答题时，请将试题卷Ⅰ的答案在答题卷Ⅰ上对应的选项位置用2B铅笔涂黑、涂满．将试题卷Ⅱ的答案用黑色字迹的钢笔或签字笔书写，答案必须按照题号顺序在答题卷Ⅱ各题目规定区域内作答，
做在试题卷上或超出答题卷区域书写的答案无效．
4．不允许使用计算器，没有近似计算要求的试题，结果都不能用近似数表示．
试题卷Ⅰ
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 如图，交通锥是由一个圆台和长方体底座组成的一种临时道路标示，则其俯视图正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了三视图，根据三视图的看法即可求解，熟练掌握三视图的看法是解题的关键．
【详解】解：从上边看，是一个正方形，正方形内部有两个同心圆．
故选C．
2. 截止2023年底，浙江省农村公路总里程达到102000公里，数据102000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了科学记数法：把一个绝对值大于10的数表示成的形式（，n是正整数）；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可得到答案
【详解】解： ，
故选：B．
某校九年级学生视力情况的统计图如图所示．若九年级近视的学生人数有300名，
则九年级学生视力正常的有（ ）
A. 50名B. 150名C. 300名D. 500名
【答案】B
【解析】
【分析】先由近视的学生人数及其所占百分比求出总人数，再用总人数乘以对应的百分比可得答案．
【详解】解：∵被调查的总人数为300÷60%=500（人），
∴九年级学生视力正常的有500×30%=150（人），
故选：B．
4. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】分别求出两个不等式的解集，即可求解．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集在数轴上表示为
故选：C
5. 如图，在中，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，互余两角三角函数的关系等知识点，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键；根据锐角三角函数的定义得出，设，，根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可．
【详解】解：，
设，，
由勾股定理得：，
．
故选：B．
照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，
其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．
已知f，v，则u＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含f、v的代数式表示u．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故选：C．
7. 如图，四边形内接于，如果的度数为122°，则∠DCE的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据圆周角定理求出，然后根据圆内接四边形的性质求出，最后根据邻补角性质求解即可．
【详解】解：，
，
∵四边形内接于，
，
，
，
故选：B．
8 .《九章算术》中记载了一个问题，大意是：
有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．
若设共有人，该物品价值元，则根据题意可列方程组为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得等量关系：人数×8−3＝物品价值；人数×7＋4＝物品价值，根据等量关系列出方程组即可．
【详解】解：设有x人，物品价值y元，由题意得：
故选：A．
9．如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，
两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．
若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（ ）
A．B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵
∴
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．
如图，在中，，以其三边为边向外作正方形，连结，作于点于点于点K，交于点L．若正方形与正方形的面积之比为5，
则的值等于（ ）
A．B．4C．D．
【答案】C
【分析】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是用含m的代数式表示相关线段的长度．
设交于P，过C作于N，设正方形边长为m，，证明可得，根据勾股定理可求得，，由得，，通过，进而求两个正方形的面积的比．
【详解】设交于P，过C作于N，如图：
设正方形边长为m，
∴正方形面积为，
∵正方形与正方形的面积之比为5，
∴正方形的面积为，
∴，
由已知可得：，，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，，
AP=，
∴，即P为中点，
∵，
∴
∵，，
∴，
即
∴，，
∴
，
∴
故选：C．
试题卷Ⅱ
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 因式分解：2a2﹣8=_____．
【答案】2（a+2）（a－2）．
【解析】
【分析】首先提取公因数2，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】2a2－8=2（a2－4）=2（a+2）（a－2）．
故答案为2（a+2）（a－2）．
考点：因式分解．
12. 已知二次根式的值为4，则 ．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的化简运算，根据题意建立等式求解，即可解题．
【详解】解：由题知，，
，
，
．
故答案为：5．
13.如图，一个圆锥及其侧面展开图，则该圆锥的底面半径长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长列方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故答案为：5
14. 图1是一个地铁站人口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．
【详解】解：如图所示过作于，过作于，
则 中，，
同理可得，，
又点与之间的距离为，
通过闸机的物体的最大宽度为，
故答案为：76．
15 .如图，矩形的顶点A、C分别在x轴、y轴上，，将绕点O顺时针旋转，
点B落在y轴上的点D处，得到，交于点G，若反比例函数的图象经过点G，
则k的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意证明△AOB≌△EOD，△COG∽△EOD，根据相似三角形的性质求出CG的长度，即可求解．
【详解】解： 由B（-2，1）可得，AB=OC=1，OA=2，OB=
由旋转可得：△AOB≌△EOD，∠E=∠OAB=90°，
∴OE=OA=2，DE=AB=1，
∵∠COG=∠EOD，∠GCO=∠E=90°，
∴△COG∽△EOD，
∴，即，
解得：CG=，
∴点G（，1），
代入可得：k=，
故答案为：．
如图1所示为我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，
它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．
现将 向左平移，相应的和进行相似变换．
如图2，当时，已知,，则 （结果用含,代数式表示）．
【答案】
【分析】根据平移的性质可得，在根据正切的定义可得，在根据全等三角形的性质可得，，则，进而得到；在根据相似三角形的性质可得，，进而得到，即可得，最后代入即可解答．
【详解】解：由图形变换可知，在图2中，四边形为矩形，,
∵,
∴,
∴，
∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∵,
∴即：，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴．
故答案为：．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17. （1）计算：；
（2）解不等式组
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，解一元一次不等式组．
（1）先计算算术平方根、乘方、负整数指数幂和绝对值，再计算加减即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解不等式，得，，
解不等式，去分母得，，
移项，合并同类项得，，
故不等式组的解集为：．
18. 为了加强中华优秀传统文化教育．培育和践行社会主义核心价值观，学校决定开设特色活动课，
包括(经典诵读)，(传统戏曲)，(中华功夫)，(民族器乐)四门课程．
校学生会随机抽取了部分学生进行调查，问询学生最喜欢哪-一门课程，
并将调查结果绘制成如下统计图．
请结合图中信息解答问题：
本次共调查了_______ 名学生，图中扇形“”的圆心角度数是 _．
请将条形统计图补充完整；
在这次调查中，甲、乙、丙、丁四名学生都选择了“经典诵读”课程，现准备从这四人中随机抽取两人参加市级经典诵读比赛，试用列表或树状图的方法求抽取的两人恰好是甲和乙的概率．
【答案】（1）100，72；（2）见解析；（3）．
【分析】（1）用B项目的人数除以其百分比即可得到调查人数，计算出C项目的人数除以调查人数后再乘以360°得到C的圆心角度数；
（2）根据（1）求出的C项目是12人直接补图即可；
（3）列树状图表示所有可能的情况，确定恰好是甲和乙的情况，再根据概率公式计算即可.
【详解】（1）调查人数=（人）；
C项目的人数为：100-42-12-26=20（人），
∴扇形“”的圆心角度数是=72°，
故答案为：100，72°；
补全条形图如下：
树状图如下：
所有出现的结果共有种情况，并且每种情况出现的可能性相等，
其中出现甲和乙一起的情况共有种，
恰好选到甲和乙的概率.
19 如图，E，F是的对角线AC上两点，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)24
【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，含角的直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
（1）首先得到，然后由平行四边形的性质得到，，然后证明出，即可证明四边形为平行四边形；
（2）过点C作交的延长线于点G，根据含角直角三角形的性质得到，然后利用平行四边形的面积公式求解即可．
【详解】（1）∵
∴
∴
∵四边形是平行四边形
∴，
∴
∴
∴
∵
∴四边形为平行四边形；
（2）如图所示，过点C作交的延长线于点G
∵，
∴
∵
∴的面积．
小江和小北两人相约爬山锻炼身体，山顶距出发地路程为600米．小江爬到半山腰休息了5分钟，
然后加速继续往上爬．小北因有事耽搁，出发晚了8分钟，为追赶小江，
小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，但爬到半山腰体力不支，于是减速爬到山顶．
两人距出发地路程y（米）与小江登山时间x（分钟）之间的函数关系如图所示
（注：小江，小北每一段的爬行均视为匀速）．
（1）小江休息前登山的速度为______米/分钟，小北减速后登山的速度为______米/分钟．
（2）求a的值．
（3）若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后的速度至少要比原来提高多少米/分钟？
【答案】（1）10，12
（2）
（3）小江加速后的速度至少要比原来提高米分钟．
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
（1）由图象可以直接求出小江休息前的速度；先求出小北减速前的速度，再求出他到达半山腰所用时间，再用路程除以时间求出他减速之后的速度；
（2）由两人的路程相等列方程，解方程即可；
（3）先求出小江到达山顶最多所用时间，再求出加速后的最小速度即可．
【小问1详解】
解：小江休息前登山的速度为（米分），
小北开始爬山的速度是小江休息前速度的2倍，
小北减速前的速度为20米分，
小北到达半山腰所用时间为：（分，
小北减速后登山的速度为（米分），
故答案为：10，12；
【小问2详解】
解：根据题意得：，
解得；
小问3详解】
解：若小江不想晚于小北到达山顶，则他加速后到达山顶所需时间最多为（分钟），
小江的速度至少为（米分），
（米分），
小江加速后的速度至少要比原来提高米分钟．
21. 第19届杭州亚运会，吉祥物为“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”，
如图，某校准备举行“第19届亚运会”知识竞赛活动，
拟购买30套吉祥物（“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”）作为竞赛奖品．某商店有甲，乙两种规格，
其中乙规格比甲规格每套贵20元．

(1)若用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，求甲、乙两种规格每套吉祥物的价格；
(2)在（1）的条件下，若购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍，如何购买才能使总费用最少？
（1）解：设甲规格吉祥物每套价格元，则乙规格每套价格为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列方程的根，且符合实际意义．
．
答：甲规格吉祥物每套价格为70元，乙规格每套为90元．
（2）解：设乙规格购买套，甲规格购买套，总费用为元
根据题意，得
，
解得，
，
，
随的增大而增大．
当时，最小值．
故乙规格购买10套、甲规格购买20套总费用最少．
某临街商铺想做一款落地窗以展示商品，为防止商品久晒受损，
需保证冬至日正午时分太阳光不能照进落地窗．如图，已有的遮阳棚，
遮阳棚前段下摆的自然垂直长度，遮阳棚的固定高度，．
(1)如图1，求遮阳棚上的点到墙面的距离；
(2)如图2，冬至日正午时，该商铺所在地区的太阳的高度角约是（光线与地面的夹角），
请通过计算判断该商铺的落地窗方案是否可行．（参考数据）
【答案】(1)
(2)所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
（1）过点作于，根据代入数据求出的值即可；
（2）延长光线交于点，延长交于点，利用勾股定理求得，
再根据，求出的长与比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：作于，
在中，，
．
即的点到墙面的距离为；
（2）解：如图，延长光线交于点，延长交于点，
可得，，，
在中，，，
，
由题意，四边形是矩形，则，
由可知，，
在中，，
即：，
，
，所以光线刚好不能照射到商户内，方案可行．
23 .如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线l的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为h（单位：m）．如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度，竖直高度为的长，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口，灌溉车到l的离为d（单位：m）．若，．
(1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
(2)求下边缘抛物线与x轴的正半轴交点B的标；
(3)若，灌溉车行驶时喷出的水________（填“能”与“不能”）浇灌到整个绿化带；
(4)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求的取值范围．
【答案】(1)，喷出水的最大射程为6m
(2)点B的坐标为
(3)不能
(4)
【分析】（1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题；
（2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，可得点B的坐标；
（3）根据，，，可求得点F的坐标为，当时，求出y的值，再与0.7比较，从而得出答案；
（4）根据，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值与最小值，从而得出答案．
【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点，设，
又抛物线经过点，∴，
解得：，
上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，
，（舍去）．
喷出水的最大射程为6m．
（2）解：对称轴为直线，
点的对称点的坐标为．
下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的，
即点B是由点C向左平移4m得到，则点B的坐标为．
（3）解：，，，
点F的坐标为，
当时，，
当时，y随x的增大而减小，
灌溉车行驶时喷出的水不能浇灌到整个绿化带．
故答案为：不能．
（4）解：先看上边缘抛物线，，
点F的纵坐标为，
抛物线恰好经过点F时，，解得，（舍去），
当时，y随着x的增大而减小，
当时，要使，则．
当时，y随x的增大而增大，且时，，
当时，要使，则．
，灌溉车喷出的水要浇灌到整个绿化带，
d的最大值为．
再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
24. 定义：三角形两个内角的平分线相交所成的钝角称为该三角形第三个内角的好望角．
(1)如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示．
(2)如图2，在中，的平分线与经过两点的圆交于点，且．
求证：是中的好望角．
(3)如图3，在 （2）的条件下，
①取弧的中点，连接，若，求圆的半径．
②若，，请直接写出线段的最大值．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)①3
②
【分析】（1）根据角平分线的性质和三角形的内角和定理即可得出结果；
（2）圆周角定理，得到，根据，得到，结合三角形的外角和三角形的内角和推出，即可得证；
（3）①根据好望角的定义，，进而得到为圆的直径，推出取的中点，连接，交于点，根据垂径定理，推出，，，，设半径为，利用勾股定理进行求解即可；
②连接，先证明为等腰直角三角形，求出，进而得到，根据，得到当最大时，最大，根据，推出在为直径的圆上，得到为直径时，最大，此时，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵是中的好望角，
∴是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分，
又∵平分，
∴是中的好望角；
（3）①∵平分，平分，
∴平分，
∴，
∵是中的好望角，
由（1）可知：，
∴，
∴，
∴，
即：，
∴为圆的直径，
取的中点，连接，交于点，
∵是弧的中点，
∴，
∴，，，
∴，
设的半径为，则：，，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：或（舍去）；
∴的半径为；
②连接，
∵平分，平分，
∴是的好望角，
∴
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，的值最大，
∵，
∴，
∴在为直径的圆上，
∴为直径时，最大，此时，
∴的最大值为．