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专题06 中点弦问题（设而不求与点差法）（模拟+真题）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题
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这是一份专题06 中点弦问题（设而不求与点差法）（模拟+真题）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题，文件包含专题06中点弦问题设而不求与点差法模拟+真题原卷版docx、专题06中点弦问题设而不求与点差法模拟+真题教师版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共69页， 欢迎下载使用。
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题06 中点弦问题
1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点．若是线段的中点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程．
【详解】设点、，则，
因为，两式作差得，即，
即，所以，
因此直线的方程为，即.
故选：D.
2．（2024上·湖南衡阳·高二统考期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法求解．
【详解】设，则，两式作差可得，
因为，又，
所以，所以的离心率为.
故选：D
3．（2024·江苏·高二假期作业）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可．
【详解】设直线与椭圆相交于，两点，
因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在，
则，，直线的斜率．
由，得，
，，
故椭圆的离心率．
故选：B．
4．（2023上·江苏·高二期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验．
【详解】设，
则有，两式相减，得，
因为线段AB的中点为，
所以，
因此由，
即直线AB的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以线段存在．
故选：C.
5．（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设的坐标,代入椭圆的方程,作差得的值,即直线的斜率,然后根据点斜式求得直线方程即可．
【详解】设则
将点代入椭圆方程,两式作差得
即直线的斜率为
直线的方程为即.
故选：.
6．（2024上·云南玉溪·高二统考期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可．
【详解】不妨设椭圆方程为，由题意得：，
两式作差得：，整理得：，
因为AB的中点为，，
所以，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：A．
7．（2023上·山东·高二校联考期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解．
【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则，
直线的斜率.
由，得，
得，所以，
即，，
，，，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
8．（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且，点D为线段AB的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：先利用两点间的距离公式求出，的表达式，再建立方程，求出，然后利用点差法求出，再利用中点坐标公式求出点D的坐标得解；解法二 由题意知，设，，，得到，，设直线AB的方程为，与联立，结合韦达定理求得D的坐标，解法三 由题意知，设，，则得到，，进而得到求解．
【详解】解法一 由题意知，设，，则，
同理可得．
因为，所以．
由，，两式相减得，
因为直线AB的斜率为2，所以，所以，
则，所以．
解法二 由题意知，设，，，
则，
同理可得，因为，所以．
设直线AB的方程为，与联立并整理得，
所以，
故，得，又，所以，
故，所以．
解法三 由题意知，设，，
则，
同理可得，因为，所以．
设，则，
又，所以，故，，
故选：D．
9．（2023下·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（ ）
A．的一条渐近线的斜率为
B．
C．（分别为直线的斜率）
D．若，则恒成立
【答案】D
【分析】A选项，由等比中项的性质得到离心率，进而得到，A正确；B选项，求出和的斜率，得到，得到；C选项，利用点差法得到；D选项，设直线，与双曲线方程联立，求出，再求出，计算出，判断出结论．
【详解】A选项，因为成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），所以，所以，即的一条渐近线的斜率为，故正确；
B选项，不妨设为左焦点，为虚轴的上端点，则A为右顶点，
则的斜率的斜率，所以，
所以，故B正确；
C选项，设，则，
作差后整理得，即，
所以，故C正确；
D选项，设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，
，
将换成得，
则与的值有关，故D错误．
故选：D.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷．
10．（2023·贵州黔东南·统考一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点为的中点，根据为的重心，求得，由直线与的右支交于两点，得到，求得，再由时，证得四点共线不满足题意，即可求得双曲线 的离心率的取值范围．
【详解】由题意，双曲线的右焦点为，且，
设点为的中点，因为为的重心，所以，
即，解得，即，
因为直线与的右支交于两点，则满足，
整理得，解得或（舍去），
当离心率为时，即时，可得，此时，
设，可得，
又由，两式相减可得，
即直线的斜率为，
又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为.
故选：A.
【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题．
11．（2023上·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得，且，
又因为，
所以，
即有，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
12．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
【答案】B
【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解．
【详解】设，因为中点的横坐标为，则，
可得，
又由，两式相减得到，可得，
可得，解得或，
联立方程组，整理得，
由，解得，所以.
故选：B.
13．（2023上·湖北·高二校联考期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标．
【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称，
故和直线垂直，
所以，故，
又，所以，
故中点坐标是，即
故选：B
14．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果．
【详解】设，
由得：，
线段的中点为，，，
，即直线的斜率为，
直线的方程为：，即.
故选：A.
15．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用“点差法”，结合线段的中点坐标为，即可求得答案．
【详解】设，则，，
故，
由于线段的中点坐标为，
故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，
故，即，
所以直线的斜率为.
故选：C
16．（2022上·新疆·高二新疆实验校考期中）已知点是拋物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，设，点为的中点，则到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点，的坐标，再由已知向量关系求出，的坐标关系，再利用点，在抛物线上，联立即可求解．
【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为：，
设，，，，
则由可得：，
所以，解得，
则到轴的距离为，
故选：B．
17．（2022下·河南新乡·高二统考期末）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【答案】C
【分析】利用点差法计算可得；
【详解】解：设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
18．（2022·全国·校联考三模）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程．
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
19．（2024上·河南开封·高二统考期末）（多选题）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（ ）
A．B．或
C．弦长的最大值为D．点一定在直线上
【答案】AD
【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D.
【详解】设两点的坐标为：，
联立椭圆与直线的方程，
得：，
由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确；
韦达定理：，
弦长，
当时，弦长取最大值，，选项C不正确；
由直线，线段中点的坐标为，
即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确．
故选：AD.
20．（2023上·江苏·高二校联考阶段练习）（多选题）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若直线方程为，则
【答案】ACD
【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误．
【详解】对于A：设,则，相减可得，所以，故 A错误；
对于B：根据，，所以，所以直线方程为，即，故B正确；
对于C：若直线方程为，点，则，所以C错误；
对于D：若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，
所以，故D错误；
故选：ACD．
21．（2023上·山东烟台·高二校考期末）（多选题）已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．椭圆C的离心率为B．存在点A使得
C．若，则D．与的斜率满足
【答案】ABC
【分析】先由椭圆方程求得a，b，c，从而设直线AB的方程为：， A．利用离心率公式求解判断；B．由 ，结合椭圆上的点到原点的距离范围为判断；C. 利用椭圆的定义求解判断；D. 由点A，B在椭圆上，利用点差法判断．
【详解】解：由椭圆方程知：椭圆的焦点在y轴上，则，所以，则，不妨设，直线AB的方程为：
A.，故正确；
B. ，即，则点A到原点的距离为4，又椭圆上的点到原点的距离范围为，所以存在点A使得，故正确；
C. 由椭圆的定义得，，故正确；
D. 因为点A，B在椭圆上，所以，两式相减得，，则，即，所以，故错误；
故选：ABC
22．（2024上·广东广州·高二统考期末）（多选题）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】考虑直线斜率不存在时，中点在上，可判定A；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及验证B,C,D即可．
【详解】当直线的斜率不存在时，设为，
依题知或，此时线段的中点为，
则选项A中点满足题意，则A正确；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去得，
由题知①，，
化简为②，
设，的中点为，
则，
所以，
即，
对于B,可得，不满足条件①，故B错误；
对于C,可得，满足条件①②故C正确；
对于D，可得不满足条件②，故D错误；
故选：AC.
23．（2023上·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）（多选题）过双曲线：的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．仅存在一条直线，使
B．存在直线，使弦的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
【答案】CD
【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可．
【详解】对于A，通径，实轴故有四条，故A错误；
对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为，
设直线的方程为，与联立得：
，
则，恒成立，
所以，
，
所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，
故不存在这样的直线l，故B错误；
对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，
代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；
对于D，设直线l方程为：.
联立，得：，
则，恒成立．
所以，，则，.
若A、B都在该双曲线的右支上，则，
即，所以，解得，故D正确．
故选：CD.
24．（2023上·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考阶段练习）（多选题）已知过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点，过原点与弦的中点D的直线交直线于点E，若为等腰直角三角形，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】首先设出直线的方程，并代入双曲线方程得到一元二次方程，然后根据题意求出的坐标，进而利用斜率关系确定出直线与直线的垂直关系，得到，利用两点间的距离公式求出点的坐标，计算出的值,最后确定出直线的方程．
【详解】由题意知，设直线方程为，将方程与双曲线方程联立，整理得.
设，则，
由韦达定理得，
所以，，即，
故直线方程为．令，得，即，
所以直线斜率为，所以，因此，
即，解得.
又，所以，所以，
从而直线l方程为或.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：本题涉及到双曲线的弦上的中点，可以利用点差法或者韦达定理，整理得到.
25．（2023上·陕西咸阳·高二校考阶段练习）（多选题）已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离是
B．若直线与双曲线交于A，B两点，点是的中点，则
C．若直线：与双曲线交于两点，则的取值范围
D．若点在双曲线上，则的最小值是
【答案】BD
【分析】求出焦点坐标和渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可判断A；利用点差法即可判断B；联立直线方程，由题意可得且二次项系数不等于零，即可判断C；将用表示，再结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离为，故A错误；
对于B，设，则
则，两式相减得，
即，
所以，即，
经检验符合题意，故B正确；
对于C，联立，消得，
因为直线：与双曲线交于两点，
所以，解得且，
所以的取值范围，故C错误；
对于D，因为点在双曲线上，所以且，
则，
所以当时，取得最小值，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解．
26．（2023上·广东广州·高二广州市天河中学校考阶段练习）（多选题）已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】BC
【分析】求出抛物线C的准线方程，可求得p的值，可判断A；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k的值，可判断B；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C、D.
【详解】由题意知，抛物线C的准线为，即，解得，故A错误；
所以抛物线的方程为，其焦点为，又直线，
即，所以直线l恒过抛物线的焦点，设点，
因为两点在抛物线上，联立方程，两式相减可得，
设的中点为，则，因为点在直线l上，解得，
所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆Q的半径，
因为，解得，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为直线l为，由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离为，所以，故D错误;
故选：BC.
27．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 .
【答案】
【分析】利用点差法解决中点弦问题．
【详解】由题意，直线斜率存在，设，，则有，，
在椭圆上，有，，
两式相减，得，即，
得，即直线的斜率为，
则的直线方程为，即.
故答案为：
28．（2024上·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】利用点差法整理中点坐标与斜率的关系，根据重心的定义，结合斜率公式以及离心率的定义，可得答案．
【详解】设的中点
则,
且,两式相减可得,
整理可得，则,
由题意可知共线则,
即，所以,解得,
椭圆C的焦距为，则离心率,解得.
故答案为：.
29．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）己知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解．
【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则，
即椭圆，所以P点为椭圆内一点，
设，则，，
两式相减得，变形得，
因为点为线段的中点，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
30．（2023下·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为
【答案】
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程．
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解．
31．（2023上·山东泰安·高二山东省泰安第二中学校考阶段练习）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 .
【答案】
【分析】联立方程组，结合韦达定理，求得，进而求得弦的中点坐标．
【详解】设直线与双曲线的交点为，
联立方程组，整理得，则，且，
设弦的中点为，则，代入直线方程可得，
所以截得弦的中点坐标为.
故答案为：.
32．（2023上·广西河池·高二校联考阶段练习）过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
【答案】6
【分析】设，根据题意利用点差法运算求解．
【详解】设，则，
由题意可知：直线l的斜率存在，则，
因为A、B在双曲线上，则，
两式相减得，则，
即，整理得，
此时直线，即，
联立方程，消去y得，
则，即直线l与双曲线有两个交点，
符合题意，所以直线l的斜率为6.
故答案为：6.
33．（2023上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果．
【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点，
则，又，两式相减并化简可得，
又直线的斜率，即，
设直线l的方程为，联立 ,
化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以，又，
化简得，即或，
所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为，
故答案为：.
34．（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果．
【详解】由题意可知：直线：的斜率为，
可知直线的斜率，
设，则线段中点的坐标，
可得，，
因为A，B为双曲线C：上的两点，则，
两式相减整理得，即，
解得，即直线，
联立方程，解得，
可知线段中点的坐标为.
故答案为：.
35．（2023上·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率 .
【答案】
【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，设线段BM的中点为，连接OQ，设，根据点差法得到，由垂直关系得到，结合求出点的坐标，由求出的齐次式，进而可得出答案．
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．
由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，
因为，所以B、N、M三点共线，
设线段BM的中点为，连接OQ，
根据题意，显然可得点为线段AB的中点，所以，
设，，，
因为点B，M都在双曲线上，
则，两式相减得，
即，
而，，
所以，即，
又因为，则，即，
所以，即，
所以，
又，则，
即，故，
所以，
而，故，即，
则双曲线的离心率．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷．
36．（2023下·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】/2.25
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可．
【详解】设，
则
两式相减得，
由线段的中点坐标为，
即，
.
故答案为：
37．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
【答案】
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故，则.
故答案为：
38．（2023下·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率
【答案】
【分析】根据得为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求解．
【详解】设,，设的中点为，
由于，故,因此为直角三角形，故，
由于，所以，进而可得，故 或，
由在双曲线渐近线上，所以，
进而，
当时，,，所以，
当时，,，所以不符合题意，舍去，
综上：故离心率为，
故答案为：
39．（2022上·广西南宁·高二校联考期末）已知双曲线，的左、右焦点分别为、，且的焦点到渐近线的距离为1，直线与交于，两点，为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，，则下列结论正确的是
①； ②的离心率为； ③若，则的面积为2；
④若的面积为，则为钝角三角形
【答案】②④
【分析】由已知可得，可求，，从而判断①②，求出△的面积可判断③，设，，利用面积求出点的坐标，再求边长，求出可判断④．
【详解】解：设，，，，可得，，
两式相减可得，
由题意可得，且，，，
，，，故②正确；
的焦点到渐近线的距离为1，设到渐近线的距离为，则，即，，故①错误，
，
若，不妨设在右支上，
，又，，
则的面积为，故③不正确；
设，，，，
将代入双曲线，得，，
根据双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，，
，，
，为钝角，为钝角三角形．故④正确．
故答案为：②④．
40．（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 .
【答案】（）
【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】设直线的方程为，
联立，
由于，所以，
设,则故
因此，
设， 由于，则，
故的轨迹方程为，（）
故答案为：（）
41．（2024上·吉林·高二校联考期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）利用点差法求解即可．
【详解】（1）因为，，所以，
故椭圆C的方程为．
（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，
则两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意．
42．（2024上·四川广安·高二四川省华蓥中学校考阶段练习）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
(1)经过点作直线l交椭圆交于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
(2)求双曲线C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法求出直线l的斜率，进而得到直线方程；
（2）求出椭圆方程的焦点坐标，设出双曲线方程，结合离心率得到方程组，求出，求出双曲线方程．
【详解】（1）设，
当时，此时不是AB的中点，不合要求，
故，
则，
两式相减得，
故，
因为，故，
又，所以，
所以直线l的方程为，即；
（2）的焦点坐标为，
设双曲线C的方程为，
则，解得，
故双曲线方程为.
43．（2023上·江苏南通·高二校考期中）已知动点满足：.
(1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
(2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆，的方程是：
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程；
（2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程．
【详解】（1）设，，，因为，
所以，且，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．
设椭圆C的方程为，记，则，，
所以，，所以，所以的标准方程为.
（2）设点，则，
作差得，除以得，
又由点是AB的中点，则有，所以，
变形可得，所以直线的方程是即，
经检验符合题意，故直线的方程为.
44．（2023上·新疆伊犁·高二校联考期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线交椭圆于M，N两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中顶点和离心率可求解．
（2）利用“点差法”来求解直线与椭圆相交弦中的中点弦，从而求解．
【详解】（1）由题意知：，，得：，，
所以：椭圆的方程为：.
（2）设，，得：，，
因为点在椭圆上，则：
得：，化简为：，即：，
所以：直线的斜率：，又因为的中点在直线上，
所以：直线的方程为：，即：.
【点睛】对于直线与与椭圆相交弦中的中点弦，可采用“点差法”快速求解出直线的斜率，从而求解出直线方程．
45．（2023上·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，是椭圆上两点，且线段的中点坐标为M，
①求直线的方程．
②求的面积．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由离心率，过点，及椭圆的定义列方程组求解即可；
（2）设，利用点差法即可求出直线的方程；再利用弦长公式，点到直线的距离公式即可求得面积．
【详解】（1）由题意得，，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设，
由，是椭圆上两点得，，
两式相减得，即，
因为线段的中点坐标为M，所以，
所以，即，
所以直线的方程为，即；
由得，，
则，
所以，
点到直线的距离，
所以．
46．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由双曲线的离心率可得，设出双曲线方程，代入已知点的坐标求解，则双曲线方程可求；
（2）利用“点差法”求直线的斜率，然后结合的坐标可求出的方程．
【详解】（1）由，得，即，
∴，
设双曲线的方程为或，
把代入两个方程，得或，
解得（第二个方程无解），
∴双曲线的标准方程为；
（2）设，，
∵，都在双曲线上，∴，，
两式作差可得：，即，
∵为的中点，∴，，
可得，
∴直线的方程为，即，
联立，得，
，符合题意．
∴直线的方程为．
47．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程；
（2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程．
【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为，
，解得，
双曲线的方程为；
（2）线段的中点为，
,
点都在双曲线上，
，即，
．
直线的方程为，即．
联立，消去得，该方程有解，
故直线的方程为.
48．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可．
（2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可．
【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，
化简得：．所以的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，解得或（舍去），
所以直线为，所以，
所以.
49．（2023上·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；
（2）利用点差法计算即可．
【详解】（1）令，所以，
又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，
则，，
又有，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
联立直线与双曲线方程得：
，
即直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以存在直线，其方程为.
50．（2023上·河南·高二校联考期中）已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4.
(1)求M的方程；
(2)是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，详见解析．
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到双曲线的方程；
（2）根据弦的中点坐标得到斜率，然后联立直线和双曲线方程来判断直线与双曲线是否相交．
【详解】（1）抛物线的焦点为，
依题意可得，
解得，，故M的方程为.
（2）
设，，
则
两式相减得.
依题意可得
所以.
所以直线:，即，
联立得，，
所以直线l与M不相交，故不存在直线l.
51．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法求解即可；
（2）设，，从而可得，再联立直线与抛物线的方程，代入韦达定理求解即可．
【详解】（1）不妨设，，
因为A，B两点在抛物线C上，所以，
两式作差得，①
因为A，B均在直线l上，所以，
又的中点为，此时，②
联立①②，解得，则抛物线C的标准方程为．
（2）由为抛物线C上一点，所以，解得，即，
不妨设，，此时，同理得，
所以，③
联立消去x并整理得，
由韦达定理得④
联立③④，解得．
52．（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知斜率为的直线与抛物线相交所得的弦中点的横坐标为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若为抛物线的焦点，以为直径的圆经过点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点差法，结合斜率公式以及中点坐标公式即可求解，
（2）根据以为直径的圆经过点可得垂直关系，即可根据向量垂直的坐标运算得，进而求导得切线斜率，联立直线方程可得交点坐标，即可根据向量夹角公式求解．
【详解】（1）设弦的两端点分别为，则，
则得，
得，
得，即，解得，
故抛物线的方程是.
（2）证明：设，又，则，
因为以为直径的圆经过点，
所以，则，
即，
则.
由，有，在点处的切线的斜率为，
则切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立方程组解得，
由点是曲线上位于直线上方的点，可知，
则，
由于，
则
代入，得
，
所以.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或者等量的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求通过化简或者结合性质求解．
53．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
【分析】（1）设，其中，利用点差法化简求出线段中点纵坐标的值；
（2）设，由直线过点，化简可得，同理可得，代入直线化简，可得定点的坐标．
【详解】（1）设，其中，
由，得，化简得，
，即，
线段中点纵坐标的值为；
（2）证明：设，
，
直线的方程为，化简可得，
在直线上，解得，
同理，可得，
，
，
又直线的方程为，即，
直线恒过定点．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查定点定值问题，考查点差法的应用，关于定点定值问题的思路，一般有以下两种：
1．先猜再证，通过特殊位置或者特殊点得出要求的定点或者定值，再用一般方法证明，对任意符合条件的直线都成立；
2．边猜边做，直接联立直线与曲线方程，写出韦达定理，将已知条件转化为等式，找出直线所过的定点或者所求的定值．
54．（2023下·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解．
【详解】（1）由题意得，
当轴时，，两点的横坐标为，
当时，，解得，
，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，
设，，且，
则，，
，即，
线段的中点的纵坐标为，
，即，
，即直线的斜率，
直线的方程为，即．
55．（2021上·浙江·高二浙江省青田县中学校联考期中）如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（1，2）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（2，0），若M为线段AB的中点，求△PAB面积的最大值．
【答案】(1)B(9，﹣6)
(2)2
【分析】（1）由A点坐标求得抛物线方程和直线AM的方程，然后由直线方程和抛物线方程联立可得；
（2）设直线方程，由弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，再由韦达定理和中点坐标公式得到参数关系代入面积公式，利用二次函数性质可得．
【详解】（1）当A的坐标为（1，2）时，则22＝2p•1，所以2p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝4x，
由题意可得直线AM的方程为：y﹣2（x﹣1），
即x＝﹣y+3，代入抛物线的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，
代入抛物线的方程可得或，所以B（9，﹣6）；
（2）易知直线AB的斜率存在且不等于0，
设直线AB的方程：x＝my+n，因为M在直线AB上，所以m+n＝2，
P到直线AB的距离d，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由M（2，1）是AB的中点可得，y1+y2＝2×1＝2，联立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，
所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，
|AB||y1﹣y1|•，
所以S△PAB|AB|•d•••，
将pm＝1，代入，S△PAB2，所以当m＝2时，取等号，
所以△PAB面积的最大值为2．
56．（2022下·河南·高二校联考开学考试）已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上在第一象限内的点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，若MN的中点坐标为，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由焦半径公式计算，即可得到抛物线方程；
（2）先由MN的中点坐标求出直线l的斜率，表示出直线方程，
联立求出弦长，计算出到直线距离，即可求得面积．
【详解】（1）因为，所以，
故抛物线C的方程为．
（2）设，，则，
两式相减得，所以．
因为MN的中点坐标为，
所以，即直线l的斜率为．
因为直线l过点，所以直线l的方程为，
即．
联立方程组，得，
则，．
因为，
且点到直线l的距离，
所以的面积为．
1．（2013·全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力．
2．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断．
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3．（2010·全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵kAB==1,
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1．整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为-=1．故选B.
4．（2007·四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【详解】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
5．（2010·山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0．设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1．故选B.
6．（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
[方法二]【最优解】：
设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
[方法三] ：点差和判别式法
设，其中．
因为所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ①
由得．
因此，将此式代入①式解得．
当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．
[方法四]：参数法
设，
由，得．
令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．
所以，此时M坐标为．
7．（2018·全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）设而不求，利用点差法，或设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明；
（2）方法一：先求出点P的坐标，解出m，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法
设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设知点在椭圆内部，所以，故．
［方法二］：【通性通法】常规设线
设，，当时，显然不满足题意；
由得，，所以，，
，即，而，所以，
又，所以，
，即，解得： ．
［方法三］：直线与椭圆系的应用
对原椭圆作关于对称的椭圆为．
两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．
又点在椭圆C内部可得，解得：．
所以．
［方法四］：直线参数方程的应用
设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．
（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想
由题意得，设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是．
同理．所以．故．
［方法二］：硬算
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．
由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．
由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，
，所以，而，故．
［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用
因为线段的中点为，得．
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，
由椭圆方程可知，
由椭圆的焦半径公式得，．所以．
【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；
方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可解出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法；
方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；
方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；
（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大，一般不建议使用；
方法三：根据所求式子特证，利用焦半径公式，很好的简化运算，是该题的最优解．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可．
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零．
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立．
9．（2004·北京·高考真题）已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图).
（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
（2）求线段中点的坐标；
（3）求所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将A点坐标代入抛物线方程，由此求得，进而求得抛物线方程和焦点坐标．
（2）根据重心坐标公式列方程，求得，再由中点坐标公式求得的坐标
（3）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程．
【详解】（1）将代入抛物线方程得，所以抛物线方程为；
（2）设，由于，由重心坐标公式得，
化简得，
所以中点的坐标为；
（3）设所在直线斜率为，将代入抛物线方程得，两式相减并化简得，即，解得，所以直线的方程为，即.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线中的中点弦问题，属于基础题．
一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
专题06 中点弦问题
1．（2024上·江苏南通·高二统考期末）已知椭圆，直线经过点与交于两点．若是线段的中点，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程．
【详解】设点、，则，
因为，两式作差得，即，
即，所以，
因此直线的方程为，即.
故选：D.
2．（2024上·湖南衡阳·高二统考期末）已知斜率为2的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，为坐标原点，若的斜率为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用点差法求解．
【详解】设，则，两式作差可得，
因为，又，
所以，所以的离心率为.
故选：D
3．（2024·江苏·高二假期作业）已知椭圆（）的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】椭圆的中点弦问题，利用点差法构造弦中点坐标与的关系，计算离心率即可．
【详解】设直线与椭圆相交于，两点，
因为弦的中点坐标是，所以直线的斜率存在，
则，，直线的斜率．
由，得，
，，
故椭圆的离心率．
故选：B．
4．（2023上·江苏·高二期中）设A，B为双曲线右支上的两点，若线段的中点为，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意中点弦可以采用点差法求直线斜率，根据点斜式即可得解，但要回代直线进行检验．
【详解】设，
则有，两式相减，得，
因为线段AB的中点为，
所以，
因此由，
即直线AB的斜率为，方程为，
代入双曲线方程中，得，
因为，
所以线段存在．
故选：C.
5．（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）设直线与椭圆交于两点,且点为线段的中点,则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设的坐标,代入椭圆的方程,作差得的值,即直线的斜率,然后根据点斜式求得直线方程即可．
【详解】设则
将点代入椭圆方程,两式作差得
即直线的斜率为
直线的方程为即.
故选：.
6．（2024上·云南玉溪·高二统考期末）已知椭圆C的中心为坐标原点，一个焦点为，过F的直线l与椭圆C交于A，B两点．若的中点为，则椭圆C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意涉及到中点弦，采用点差法求解即可．
【详解】不妨设椭圆方程为，由题意得：，
两式作差得：，整理得：，
因为AB的中点为，，
所以，
所以，所以，
又因为，所以.
故选：A．
7．（2023上·山东·高二校联考期中）已知中心在原点，半焦距为4的椭圆（，，）被直线方程截得的弦的中点横坐标为，则椭圆的标准方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】B
【分析】由点差法可得弦的中点坐标与弦所在直线的斜率关系，运算可得解．
【详解】设直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标是，则，
直线的斜率.
由，得，
得，所以，
即，，
，，，
所以，
所以椭圆的标准方程为.
故选：B.
8．（2023·全国·模拟预测）已知O为坐标原点，椭圆C：的右焦点为F，斜率为2的直线与椭圆C交于点A，B，且，点D为线段AB的中点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】解法一：先利用两点间的距离公式求出，的表达式，再建立方程，求出，然后利用点差法求出，再利用中点坐标公式求出点D的坐标得解；解法二 由题意知，设，，，得到，，设直线AB的方程为，与联立，结合韦达定理求得D的坐标，解法三 由题意知，设，，则得到，，进而得到求解．
【详解】解法一 由题意知，设，，则，
同理可得．
因为，所以．
由，，两式相减得，
因为直线AB的斜率为2，所以，所以，
则，所以．
解法二 由题意知，设，，，
则，
同理可得，因为，所以．
设直线AB的方程为，与联立并整理得，
所以，
故，得，又，所以，
故，所以．
解法三 由题意知，设，，
则，
同理可得，因为，所以．
设，则，
又，所以，故，，
故选：D．
9．（2023下·河南·高三清丰县第一高级中学校联考阶段练习）设双曲线的焦距为，离心率为，且成等比数列，A是的一个顶点，是与A不在轴同侧的焦点，是的虚轴的一个端点，为的任意一条不过原点且斜率为的弦，为中点，为坐标原点，则下列判断错误的是（ ）
A．的一条渐近线的斜率为
B．
C．（分别为直线的斜率）
D．若，则恒成立
【答案】D
【分析】A选项，由等比中项的性质得到离心率，进而得到，A正确；B选项，求出和的斜率，得到，得到；C选项，利用点差法得到；D选项，设直线，与双曲线方程联立，求出，再求出，计算出，判断出结论．
【详解】A选项，因为成等比数列，所以，所以且，解得（负根舍），所以，所以，即的一条渐近线的斜率为，故正确；
B选项，不妨设为左焦点，为虚轴的上端点，则A为右顶点，
则的斜率的斜率，所以，
所以，故B正确；
C选项，设，则，
作差后整理得，即，
所以，故C正确；
D选项，设直线，则直线，将代入双曲线方程，得，则，
，
将换成得，
则与的值有关，故D错误．
故选：D.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷．
10．（2023·贵州黔东南·统考一模）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点为的中点，根据为的重心，求得，由直线与的右支交于两点，得到，求得，再由时，证得四点共线不满足题意，即可求得双曲线 的离心率的取值范围．
【详解】由题意，双曲线的右焦点为，且，
设点为的中点，因为为的重心，所以，
即，解得，即，
因为直线与的右支交于两点，则满足，
整理得，解得或（舍去），
当离心率为时，即时，可得，此时，
设，可得，
又由，两式相减可得，
即直线的斜率为，
又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为.
故选：A.
【点睛】知识方法：求解圆锥曲线的离心率的常见方法：
1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率；
2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解；
3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题．
11．（2023上·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线内一点且斜率为的直线交双曲线于两点，弦恰好被平分，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则有，，将两点的坐标代入双曲线方程相减，再结合的关系，可得，从而可得，从而可得答案．
【详解】解：由题意可得，且，
又因为，
所以，
即有，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以.
故选：C.
12．（2023上·山东枣庄·高二滕州市第一中学新校校考阶段练习）直线与抛物线交于两点，中点的横坐标为2，则为（ ）
A．B．2C．或2D．以上都不是
【答案】B
【分析】设，得到，求得，再由，两式相减，得到，得出方程，即可求解．
【详解】设，因为中点的横坐标为，则，
可得，
又由，两式相减得到，可得，
可得，解得或，
联立方程组，整理得，
由，解得，所以.
故选：B.
13．（2023上·湖北·高二校联考期中）若抛物线上两点，关于直线对称，且，则中点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得，进而求得中点坐标．
【详解】因为抛物线上两点，关于直线对称，
故和直线垂直，
所以，故，
又，所以，
故中点坐标是，即
故选：B
14．（2023上·新疆·高二校联考期末）已知直线与抛物线相交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】利用点差法可求得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果．
【详解】设，
由得：，
线段的中点为，，，
，即直线的斜率为，
直线的方程为：，即.
故选：A.
15．（2023下·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期中）已知抛物线，直线交该抛物线于两点．若线段的中点坐标为，则直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，利用“点差法”，结合线段的中点坐标为，即可求得答案．
【详解】设，则，，
故，
由于线段的中点坐标为，
故由抛物线对称性可知斜率存在，即，且，
故，即，
所以直线的斜率为.
故选：C
16．（2022上·新疆·高二新疆实验校考期中）已知点是拋物线的焦点，过焦点的直线交抛物线于不同的两点，设，点为的中点，则到轴的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先求出抛物线的焦点以及准线方程，设出点，的坐标，再由已知向量关系求出，的坐标关系，再利用点，在抛物线上，联立即可求解．
【详解】由抛物线的方程可得，准线方程为：，
设，，，，
则由可得：，
所以，解得，
则到轴的距离为，
故选：B．
17．（2022下·河南新乡·高二统考期末）已知抛物线C：，直线l与C交于A，B两点，若弦的中点为，则直线l的斜率为（ ）
A．B．3C．D．－3
【答案】C
【分析】利用点差法计算可得；
【详解】解：设，，则，所以，整理得．
因为弦的中点为，所以，即直线的斜率为．
故选：C
18．（2022·全国·校联考三模）已知抛物线，直线与抛物线交于、两点，线段的中点为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设点、，则，利用点差法可求得直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程．
【详解】设点、，则，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，则直线的斜率存在，
由已知，两式作差可得，
所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：A.
19．（2024上·河南开封·高二统考期末）（多选题）已知椭圆与直线相交于两个不同的点，点为线段的中点，则（ ）
A．B．或
C．弦长的最大值为D．点一定在直线上
【答案】AD
【分析】先联立椭圆与直线的方程，得一元二次方程，用判别式求的取值范围，进而判断选项A、B；得出韦达定理形式，求弦长的表达式，判断选项C；得到中点的坐标形式，判断选项D.
【详解】设两点的坐标为：，
联立椭圆与直线的方程，
得：，
由判别式，得，即，选项A正确，选项B不正确；
韦达定理：，
弦长，
当时，弦长取最大值，，选项C不正确；
由直线，线段中点的坐标为，
即，所以点的坐标满足直线方程，选项D正确．
故选：AD.
20．（2023上·江苏·高二校联考阶段练习）（多选题）设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论不正确的是（ ）
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为，则直线方程为
C．若直线方程为，则点M坐标为
D．若直线方程为，则
【答案】ACD
【分析】根据椭圆中点弦的性质，可以判断ABC，对于D,直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求得，从而判断正误．
【详解】对于A：设,则，相减可得，所以，故 A错误；
对于B：根据，，所以，所以直线方程为，即，故B正确；
对于C：若直线方程为，点，则，所以C错误；
对于D：若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，
所以，故D错误；
故选：ACD．
21．（2023上·山东烟台·高二校考期末）（多选题）已知，是椭圆的两个焦点，过的斜率存在且不为0的直线l与椭圆C交于A，B两点，P是的中点，O为坐标原点，则（ ）
A．椭圆C的离心率为B．存在点A使得
C．若，则D．与的斜率满足
【答案】ABC
【分析】先由椭圆方程求得a，b，c，从而设直线AB的方程为：， A．利用离心率公式求解判断；B．由 ，结合椭圆上的点到原点的距离范围为判断；C. 利用椭圆的定义求解判断；D. 由点A，B在椭圆上，利用点差法判断．
【详解】解：由椭圆方程知：椭圆的焦点在y轴上，则，所以，则，不妨设，直线AB的方程为：
A.，故正确；
B. ，即，则点A到原点的距离为4，又椭圆上的点到原点的距离范围为，所以存在点A使得，故正确；
C. 由椭圆的定义得，，故正确；
D. 因为点A，B在椭圆上，所以，两式相减得，，则，即，所以，故错误；
故选：ABC
22．（2024上·广东广州·高二统考期末）（多选题）设为双曲线上的两点，下列四个点中，可为线段中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】考虑直线斜率不存在时，中点在上，可判定A；当直线斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和双曲线方程消元后，利用韦达定理，得到中点坐标之间的关系，再根据二次项系数不等于零及验证B,C,D即可．
【详解】当直线的斜率不存在时，设为，
依题知或，此时线段的中点为，
则选项A中点满足题意，则A正确；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去得，
由题知①，，
化简为②，
设，的中点为，
则，
所以，
即，
对于B,可得，不满足条件①，故B错误；
对于C,可得，满足条件①②故C正确；
对于D，可得不满足条件②，故D错误；
故选：AC.
23．（2023上·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）（多选题）过双曲线：的右焦点作直线与该双曲线交于、两点，则（ ）
A．仅存在一条直线，使
B．存在直线，使弦的中点为
C．与该双曲线有相同渐近线且过点的双曲线的标准方程为
D．若，都在该双曲线的右支上，则直线斜率的取值范围是
【答案】CD
【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可．
【详解】对于A，通径，实轴故有四条，故A错误；
对于B，假设存在直线l，使弦AB的中点为，
设直线的方程为，与联立得：
，
则，恒成立，
所以，
，
所以，所以直线方程为，但是由于不在直线上，
故不存在这样的直线l，故B错误；
对于C，设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：，
代入点可得，所以该双曲线的标准方程为，故C正确；
对于D，设直线l方程为：.
联立，得：，
则，恒成立．
所以，，则，.
若A、B都在该双曲线的右支上，则，
即，所以，解得，故D正确．
故选：CD.
24．（2023上·四川泸州·高二四川省泸县第四中学校考阶段练习）（多选题）已知过双曲线的左焦点F的直线l与双曲线左支交于点，过原点与弦的中点D的直线交直线于点E，若为等腰直角三角形，则直线l的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【分析】首先设出直线的方程，并代入双曲线方程得到一元二次方程，然后根据题意求出的坐标，进而利用斜率关系确定出直线与直线的垂直关系，得到，利用两点间的距离公式求出点的坐标，计算出的值,最后确定出直线的方程．
【详解】由题意知，设直线方程为，将方程与双曲线方程联立，整理得.
设，则，
由韦达定理得，
所以，，即，
故直线方程为．令，得，即，
所以直线斜率为，所以，因此，
即，解得.
又，所以，所以，
从而直线l方程为或.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：本题涉及到双曲线的弦上的中点，可以利用点差法或者韦达定理，整理得到.
25．（2023上·陕西咸阳·高二校考阶段练习）（多选题）已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离是
B．若直线与双曲线交于A，B两点，点是的中点，则
C．若直线：与双曲线交于两点，则的取值范围
D．若点在双曲线上，则的最小值是
【答案】BD
【分析】求出焦点坐标和渐近线方程，再根据点到直线的距离公式即可判断A；利用点差法即可判断B；联立直线方程，由题意可得且二次项系数不等于零，即可判断C；将用表示，再结合二次函数的性质即可判断D.
【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，
则焦点到渐近线的距离为，故A错误；
对于B，设，则
则，两式相减得，
即，
所以，即，
经检验符合题意，故B正确；
对于C，联立，消得，
因为直线：与双曲线交于两点，
所以，解得且，
所以的取值范围，故C错误；
对于D，因为点在双曲线上，所以且，
则，
所以当时，取得最小值，故D正确．
故选：BD.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解．
26．（2023上·广东广州·高二广州市天河中学校考阶段练习）（多选题）已知直线与抛物线相交于两点，点是抛物线的准线与以为直径的圆的公共点，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．的面积为
【答案】BC
【分析】求出抛物线C的准线方程，可求得p的值，可判断A；利用点差法可求得线段的中点坐标，根据勾股定理列等式可求得k的值，可判断B；利用抛物线的焦点弦长公式以及三角形的面积公式可判断C、D.
【详解】由题意知，抛物线C的准线为，即，解得，故A错误；
所以抛物线的方程为，其焦点为，又直线，
即，所以直线l恒过抛物线的焦点，设点，
因为两点在抛物线上，联立方程，两式相减可得，
设的中点为，则，因为点在直线l上，解得，
所以点是以为直径的圆的圆心，
由抛物线的定义知，圆Q的半径，
因为，解得，故B正确；
因为，所以，故C正确；
因为直线l为，由点到直线的距离公式可得，点M到直线l的距离为，所以，故D错误;
故选：BC.
27．（2023上·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若椭圆的弦恰好被点平分，则的直线方程为 .
【答案】
【分析】利用点差法解决中点弦问题．
【详解】由题意，直线斜率存在，设，，则有，，
在椭圆上，有，，
两式相减，得，即，
得，即直线的斜率为，
则的直线方程为，即.
故答案为：
28．（2024上·黑龙江大庆·高二铁人中学校考期末）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为 .
【答案】
【分析】利用点差法整理中点坐标与斜率的关系，根据重心的定义，结合斜率公式以及离心率的定义，可得答案．
【详解】设的中点
则,
且,两式相减可得,
整理可得，则,
由题意可知共线则,
即，所以,解得,
椭圆C的焦距为，则离心率,解得.
故答案为：.
29．（2023上·江苏宿迁·高二统考期中）己知椭圆的焦点分别为，，设直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则直线的方程为 ．
【答案】
【分析】先由题意求出，再由点差法可以求出直线的斜率，由直线的点斜式化简即可求解．
【详解】根据题意，因为焦点在轴上，所以，则，
即椭圆，所以P点为椭圆内一点，
设，则，，
两式相减得，变形得，
因为点为线段的中点，所以，
所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
故答案为：.
30．（2023下·江西宜春·高二上高二中校考阶段练习）已知椭圆，过点的直线交椭圆于、两点，若为的中点，则直线的方程为
【答案】
【分析】设点、，利用点差法可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程．
【详解】设点、，由中点坐标公式可得，所以，
因为，两式作差得，即，
即，所以，，
因此，直线的方程为，即.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：解决中点弦的问题的两种方法：
（1）韦达定理法：联立直线与曲线的方程，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；
（2）点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率关系求解．
31．（2023上·山东泰安·高二山东省泰安第二中学校考阶段练习）直线被双曲线所截得的弦的中点坐标是 .
【答案】
【分析】联立方程组，结合韦达定理，求得，进而求得弦的中点坐标．
【详解】设直线与双曲线的交点为，
联立方程组，整理得，则，且，
设弦的中点为，则，代入直线方程可得，
所以截得弦的中点坐标为.
故答案为：.
32．（2023上·广西河池·高二校联考阶段练习）过点的直线l与双曲线交于A、B两点，若M恰好是线段AB的中点，则直线l的斜率为 ．
【答案】6
【分析】设，根据题意利用点差法运算求解．
【详解】设，则，
由题意可知：直线l的斜率存在，则，
因为A、B在双曲线上，则，
两式相减得，则，
即，整理得，
此时直线，即，
联立方程，消去y得，
则，即直线l与双曲线有两个交点，
符合题意，所以直线l的斜率为6.
故答案为：6.
33．（2023上·重庆·高二重庆巴蜀中学校考期中）双曲线E：，过作直线l交双曲线于A，B两点，若不存在直线l使得P是线段的中点，则t的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据中点坐标公式及点差法,可求得直线的斜率与t之间的关系,结合直线与双曲线有两个不同的交点,可得满足P为线段中点时t的范围,从而即可得结果．
【详解】因为双曲线方程为，设，若点P为线段的中点，
则，又，两式相减并化简可得，
又直线的斜率，即，
设直线l的方程为，联立 ,
化简可得
因为直线与双曲线有两个不同的交点，
所以，又，
化简得，即或，
所以不存在直线l使得P是线段中点的t的取值范围为，
故答案为：.
34．（2023上·江西赣州·高二校联考期中）已知A，B为双曲线C：上的两点，且A，B关于直线：对称，则线段中点的坐标为 .
【答案】
【分析】根据题意可知，利用点差法求得，联立方程即可得结果．
【详解】由题意可知：直线：的斜率为，
可知直线的斜率，
设，则线段中点的坐标，
可得，，
因为A，B为双曲线C：上的两点，则，
两式相减整理得，即，
解得，即直线，
联立方程，解得，
可知线段中点的坐标为.
故答案为：.
35．（2023上·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知过坐标原点的直线与双曲线相交于A，B两点，点在第一象限，经过点且与直线垂直的直线与双曲线的另外一个交点为，点在轴上，，点为坐标原点，且，则双曲线的离心率 .
【答案】
【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，设线段BM的中点为，连接OQ，设，根据点差法得到，由垂直关系得到，结合求出点的坐标，由求出的齐次式，进而可得出答案．
【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．
由题意可得直线的斜率存在且不等于，不妨设直线的方程为，
因为，所以B、N、M三点共线，
设线段BM的中点为，连接OQ，
根据题意，显然可得点为线段AB的中点，所以，
设，，，
因为点B，M都在双曲线上，
则，两式相减得，
即，
而，，
所以，即，
又因为，则，即，
所以，即，
所以，
又，则，
即，故，
所以，
而，故，即，
则双曲线的离心率．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷．
36．（2023下·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为 .
【答案】/2.25
【分析】利用点差法和两点坐标求直线斜率公式化简计算即可．
【详解】设，
则
两式相减得，
由线段的中点坐标为，
即，
.
故答案为：
37．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）不与轴重合的直线经过点，双曲线：上存在两点A，B关于对称，AB中点M的横坐标为，若，则的值为 .
【答案】
【分析】由点差法得，结合得，代入斜率公式化简并利用可求得.
【详解】设，
则，两式相减得，
即，
即 ，所以，
因为是AB垂直平分线，有，所以，
即，化简得，故，则.
故答案为：
38．（2023下·江苏南京·高三南京师大附中校考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线C:的左右焦点，过点F1且斜率存在的直线L与双曲线C的渐近线相交于AB两点，且点AB在x轴的上方，AB两个点到x轴的距离之和为，若，则双曲线的离心率
【答案】
【分析】根据得为直角三角形，进而根据点差法得中点弦的性质即可求解．
【详解】设,，设的中点为，
由于，故,因此为直角三角形，故，
由于，所以，进而可得，故 或，
由在双曲线渐近线上，所以，
进而，
当时，,，所以，
当时，,，所以不符合题意，舍去，
综上：故离心率为，
故答案为：
39．（2022上·广西南宁·高二校联考期末）已知双曲线，的左、右焦点分别为、，且的焦点到渐近线的距离为1，直线与交于，两点，为弦的中点，若为坐标原点）的斜率为，，则下列结论正确的是
①； ②的离心率为； ③若，则的面积为2；
④若的面积为，则为钝角三角形
【答案】②④
【分析】由已知可得，可求，，从而判断①②，求出△的面积可判断③，设，，利用面积求出点的坐标，再求边长，求出可判断④．
【详解】解：设，，，，可得，，
两式相减可得，
由题意可得，且，，，
，，，故②正确；
的焦点到渐近线的距离为1，设到渐近线的距离为，则，即，，故①错误，
，
若，不妨设在右支上，
，又，，
则的面积为，故③不正确；
设，，，，
将代入双曲线，得，，
根据双曲线的对称性，不妨取点的坐标为，，
，，
，为钝角，为钝角三角形．故④正确．
故答案为：②④．
40．（2024上·安徽合肥·高二合肥一中校考阶段练习）已知抛物线的弦斜率为1，则弦中点的轨迹方程 .
【答案】（）
【分析】联立直线于抛物线方程，根据中点坐标公式即可求解．
【详解】设直线的方程为，
联立，
由于，所以，
设,则故
因此，
设， 由于，则，
故的轨迹方程为，（）
故答案为：（）
41．（2024上·吉林·高二校联考期末）已知椭圆的焦距为，短半轴长为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知直线l交椭圆C于M，N两点，且的中点为，求直线l的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；
（2）利用点差法求解即可．
【详解】（1）因为，，所以，
故椭圆C的方程为．
（2）易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，，
则两式相减得，整理得．
因为的中点为，所以，
所以，
所以直线l的方程为，即，经检验，符合题意．
42．（2024上·四川广安·高二四川省华蓥中学校考阶段练习）已知双曲线C和椭圆有公共的焦点，且离心率为．
(1)经过点作直线l交椭圆交于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
(2)求双曲线C的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法求出直线l的斜率，进而得到直线方程；
（2）求出椭圆方程的焦点坐标，设出双曲线方程，结合离心率得到方程组，求出，求出双曲线方程．
【详解】（1）设，
当时，此时不是AB的中点，不合要求，
故，
则，
两式相减得，
故，
因为，故，
又，所以，
所以直线l的方程为，即；
（2）的焦点坐标为，
设双曲线C的方程为，
则，解得，
故双曲线方程为.
43．（2023上·江苏南通·高二校考期中）已知动点满足：.
(1)指出动点的轨迹是何种曲线，并化简其方程；
(2)若过点的直线和曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程．
【答案】(1)椭圆，的方程是：
(2)
【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程；
（2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程．
【详解】（1）设，，，因为，
所以，且，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆．
设椭圆C的方程为，记，则，，
所以，，所以，所以的标准方程为.
（2）设点，则，
作差得，除以得，
又由点是AB的中点，则有，所以，
变形可得，所以直线的方程是即，
经检验符合题意，故直线的方程为.
44．（2023上·新疆伊犁·高二校联考期中）已知椭圆：的一个顶点为，离心率．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线交椭圆于M，N两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题中顶点和离心率可求解．
（2）利用“点差法”来求解直线与椭圆相交弦中的中点弦，从而求解．
【详解】（1）由题意知：，，得：，，
所以：椭圆的方程为：.
（2）设，，得：，，
因为点在椭圆上，则：
得：，化简为：，即：，
所以：直线的斜率：，又因为的中点在直线上，
所以：直线的方程为：，即：.
【点睛】对于直线与与椭圆相交弦中的中点弦，可采用“点差法”快速求解出直线的斜率，从而求解出直线方程．
45．（2023上·四川遂宁·高二射洪中学校考阶段练习）已知椭圆：的离心率为，是椭圆上一点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，是椭圆上两点，且线段的中点坐标为M，
①求直线的方程．
②求的面积．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）由离心率，过点，及椭圆的定义列方程组求解即可；
（2）设，利用点差法即可求出直线的方程；再利用弦长公式，点到直线的距离公式即可求得面积．
【详解】（1）由题意得，，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）设，
由，是椭圆上两点得，，
两式相减得，即，
因为线段的中点坐标为M，所以，
所以，即，
所以直线的方程为，即；
由得，，
则，
所以，
点到直线的距离，
所以．
46．（2023上·四川攀枝花·高二统考期末）已知双曲线的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)经过点的直线交双曲线于、两点，且为的中点，求的方程．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由双曲线的离心率可得，设出双曲线方程，代入已知点的坐标求解，则双曲线方程可求；
（2）利用“点差法”求直线的斜率，然后结合的坐标可求出的方程．
【详解】（1）由，得，即，
∴，
设双曲线的方程为或，
把代入两个方程，得或，
解得（第二个方程无解），
∴双曲线的标准方程为；
（2）设，，
∵，都在双曲线上，∴，，
两式作差可得：，即，
∵为的中点，∴，，
可得，
∴直线的方程为，即，
联立，得，
，符合题意．
∴直线的方程为．
47．（2022上·陕西咸阳·高二咸阳市实验中学校考阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程；
（2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程．
【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为，
，解得，
双曲线的方程为；
（2）线段的中点为，
,
点都在双曲线上，
，即，
．
直线的方程为，即．
联立，消去得，该方程有解，
故直线的方程为.
48．（2023上·山东青岛·高二青岛二中校考期中）已知为坐标原点，，，直线，的斜率之积为4，记动点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)直线经过点，与交于，两点，线段中点在第一象限，且纵坐标为4，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设出动点坐标为，根据斜率之积为4列出等式，化简即可．
（2）首先直线斜率存在且经过点，设出直线方程并将其与双曲线方程联立，由韦达定理结合已知条件算出斜率，进而由弦长的计算公式直接计算即可．
【详解】（1）设点的坐标为，因为，，所以，
化简得：．所以的方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，显然不符合题意；
设，，直线方程为，
与联立得：，
由且，解得且，
由韦达定理得，
因为线段中点在第一象限，且纵坐标为，
所以，解得或（舍去），
所以直线为，所以，
所以.
49．（2023上·江苏盐城·高二盐城市大丰区新丰中学校联考期中）双曲线：的渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.
(1)求的方程；
(2)是否存在直线，经过点且与双曲线于A，两点，为线段的中点，若存在，求的方程；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，.
【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线距离公式计算即可；
（2）利用点差法计算即可．
【详解】（1）令，所以，
又由题意可知双曲线的焦点到渐近线的距离，
所以双曲线的标准方程为：；
（2）假设存在，
由题意知：该直线的斜率存在，设，，直线的斜率为，
则，，
又有，，
两式相减得，即
即，所以，解得，
所以直线的方程为，即，
联立直线与双曲线方程得：
，
即直线与双曲线有两个交点，满足条件，
所以存在直线，其方程为.
50．（2023上·河南·高二校联考期中）已知双曲线M：与抛物线有相同的焦点，且M的虚轴长为4.
(1)求M的方程；
(2)是否存在直线l，使得直线l与M交于A，B两点，且弦AB的中点为？若存在，求l的斜率；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，详见解析．
【分析】（1）根据题意列方程，解方程即可得到双曲线的方程；
（2）根据弦的中点坐标得到斜率，然后联立直线和双曲线方程来判断直线与双曲线是否相交．
【详解】（1）抛物线的焦点为，
依题意可得，
解得，，故M的方程为.
（2）
设，，
则
两式相减得.
依题意可得
所以.
所以直线:，即，
联立得，，
所以直线l与M不相交，故不存在直线l.
51．（2023上·云南昆明·高二云南师大附中校考期末）如图，已知抛物线，直线交抛物线C于A，B两点，的中点为．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)记抛物线C上一点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用点差法求解即可；
（2）设，，从而可得，再联立直线与抛物线的方程，代入韦达定理求解即可．
【详解】（1）不妨设，，
因为A，B两点在抛物线C上，所以，
两式作差得，①
因为A，B均在直线l上，所以，
又的中点为，此时，②
联立①②，解得，则抛物线C的标准方程为．
（2）由为抛物线C上一点，所以，解得，即，
不妨设，，此时，同理得，
所以，③
联立消去x并整理得，
由韦达定理得④
联立③④，解得．
52．（2023上·湖南·高二邵阳市第二中学校联考阶段练习）已知斜率为的直线与抛物线相交所得的弦中点的横坐标为1.
(1)求抛物线的方程；
(2)点是曲线上位于直线的上方的点，过点作曲线的切线交于点，若为抛物线的焦点，以为直径的圆经过点，证明：.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据点差法，结合斜率公式以及中点坐标公式即可求解，
（2）根据以为直径的圆经过点可得垂直关系，即可根据向量垂直的坐标运算得，进而求导得切线斜率，联立直线方程可得交点坐标，即可根据向量夹角公式求解．
【详解】（1）设弦的两端点分别为，则，
则得，
得，
得，即，解得，
故抛物线的方程是.
（2）证明：设，又，则，
因为以为直径的圆经过点，
所以，则，
即，
则.
由，有，在点处的切线的斜率为，
则切线的方程为，
同理，切线的方程为，
联立方程组解得，
由点是曲线上位于直线上方的点，可知，
则，
由于，
则
代入，得
，
所以.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或者等量的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求通过化简或者结合性质求解．
53．（2023·四川成都·三模）已知斜率为的直线与抛物线相交于两点．
(1)求线段中点纵坐标的值；
(2)已知点，直线分别与抛物线相交于两点（异于）．求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．
【答案】(1)
(2)证明见解析，定点的坐标为
【分析】（1）设，其中，利用点差法化简求出线段中点纵坐标的值；
（2）设，由直线过点，化简可得，同理可得，代入直线化简，可得定点的坐标．
【详解】（1）设，其中，
由，得，化简得，
，即，
线段中点纵坐标的值为；
（2）证明：设，
，
直线的方程为，化简可得，
在直线上，解得，
同理，可得，
，
，
又直线的方程为，即，
直线恒过定点．
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查定点定值问题，考查点差法的应用，关于定点定值问题的思路，一般有以下两种：
1．先猜再证，通过特殊位置或者特殊点得出要求的定点或者定值，再用一般方法证明，对任意符合条件的直线都成立；
2．边猜边做，直接联立直线与曲线方程，写出韦达定理，将已知条件转化为等式，找出直线所过的定点或者所求的定值．
54．（2023下·陕西宝鸡·高二校联考阶段练习）已知抛物线：的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，当轴时，．
(1)求抛物线的方程；
(2)当线段的中点的纵坐标为时，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）由题意得到，，两点的横坐标为，可得求解；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，设，，利用点差法求解．
【详解】（1）由题意得，
当轴时，，两点的横坐标为，
当时，，解得，
，解得，
故抛物线的方程为；
（2）由（1）得，且直线的斜率存在，
设，，且，
则，，
，即，
线段的中点的纵坐标为，
，即，
，即直线的斜率，
直线的方程为，即．
55．（2021上·浙江·高二浙江省青田县中学校联考期中）如图，点A是抛物线y2＝2px（p＞0）上的动点，过点M（2，1）的直线AM与抛物线交于另一点B．
(1)当A的坐标为（1，2）时，求点B的坐标；
(2)已知点P（2，0），若M为线段AB的中点，求△PAB面积的最大值．
【答案】(1)B(9，﹣6)
(2)2
【分析】（1）由A点坐标求得抛物线方程和直线AM的方程，然后由直线方程和抛物线方程联立可得；
（2）设直线方程，由弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，再由韦达定理和中点坐标公式得到参数关系代入面积公式，利用二次函数性质可得．
【详解】（1）当A的坐标为（1，2）时，则22＝2p•1，所以2p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝4x，
由题意可得直线AM的方程为：y﹣2（x﹣1），
即x＝﹣y+3，代入抛物线的方程可得y2+4y﹣12＝0，解得y＝﹣6或2，
代入抛物线的方程可得或，所以B（9，﹣6）；
（2）易知直线AB的斜率存在且不等于0，
设直线AB的方程：x＝my+n，因为M在直线AB上，所以m+n＝2，
P到直线AB的距离d，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由M（2，1）是AB的中点可得，y1+y2＝2×1＝2，联立，整理可得：y2﹣2pmy﹣2pn＝0，
所以y1+y2＝2pm＝2，即pm＝1，y1y2＝﹣2pn，
|AB||y1﹣y1|•，
所以S△PAB|AB|•d•••，
将pm＝1，代入，S△PAB2，所以当m＝2时，取等号，
所以△PAB面积的最大值为2．
56．（2022下·河南·高二校联考开学考试）已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上在第一象限内的点，且．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知直线l交抛物线C于M，N两点，若MN的中点坐标为，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由焦半径公式计算，即可得到抛物线方程；
（2）先由MN的中点坐标求出直线l的斜率，表示出直线方程，
联立求出弦长，计算出到直线距离，即可求得面积．
【详解】（1）因为，所以，
故抛物线C的方程为．
（2）设，，则，
两式相减得，所以．
因为MN的中点坐标为，
所以，即直线l的斜率为．
因为直线l过点，所以直线l的方程为，
即．
联立方程组，得，
则，．
因为，
且点到直线l的距离，
所以的面积为．
1．（2013·全国·高考真题）已知椭圆E:＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A、B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
A．＋＝1B．＋＝1
C．＋＝1D．＋＝1
【答案】D
【详解】设、，所以，运用点差法，所以直线的斜率为，设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，所以；又因为，解得.
【考点定位】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查学生的化归与转化能力．
2．（2023·全国·统考高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断．
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
3．（2010·全国·高考真题）已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过F的直线 与相交于A，B两点，且AB的中点为 ,则的方程式为
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】∵kAB==1,
∴直线AB的方程为y=x-3.
由于双曲线的焦点为F(3,0),
∴c=3,c2=9.
设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),
则-=1．整理,得
(b2-a2)x2+6a2x-9a2-a2b2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2==2×(-12),
∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.
又a2+b2=9,
∴a2=4,b2=5.
∴双曲线E的方程为-=1．故选B.
4．（2007·四川·高考真题）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．3B．4C．D．
【答案】C
【详解】设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，∴，由弦长公式可求出．本题考查直线与圆锥曲线的位置关系．自本题起运算量增大．
5．（2010·山东·高考真题）已知抛物线，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于 两点，若线段的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为
A．B．
C．D．
【答案】B
【详解】∵y2=2px的焦点坐标为,
∴过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0．设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2p,∴=p=2,∴抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1．故选B.
6．（2020·浙江·统考高考真题）如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M（B，M不同于A）．
（Ⅰ）若，求抛物线的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）求出抛物线标准方程，从而可得答案；
（Ⅱ）方法一使用韦达定理、中点公式和解方程法分别求得关于的表达式，得到关于的方程，利用基本不等式消去参数，得到关于的不等式，求解得到的最大值；方法二利用韦达定理和中点公式求得的坐标关于的表达式，根据点在椭圆上，得到关于关于的函数表达式，利用基本不等式和二次函数的性质得解，运算简洁，为最优解；方法三利用点差法得到．根据判别式大于零，得到不等式，通过解方程组求得，代入求解得到的最大值；方法四利用抛物线的参数方程设出点的参数坐标，利用斜率关系求得的坐标关于的表达式．作换元，利用点A在椭圆上，得到，然后利用二次函数的性质求得的最大值
【详解】（Ⅰ）当时，的方程为，故抛物线的焦点坐标为；
（Ⅱ）[方法一]：韦达定理基本不等式法
设，
由，
，
由在抛物线上，所以，
又，
，，
.
由即
，
所以，，，
所以，的最大值为，此时.
[方法二]【最优解】：
设直线，.
将直线的方程代入椭圆得：，
所以点的纵坐标为.
将直线的方程代入抛物线得：，
所以，解得，因此，
由解得，
所以当时，取到最大值为.
[方法三] ：点差和判别式法
设，其中．
因为所以．
整理得，所以．
又，
所以，整理得．
因为存在，所以上述关于的二次方程有解，即判别式． ①
由得．
因此，将此式代入①式解得．
当且仅当点M的坐标为时，p的最大值为．
[方法四]：参数法
设，
由，得．
令，则，点A坐标代入椭圆方程中，得．
所以，此时M坐标为．
7．（2018·全国·高考真题）已知斜率为的直线与椭圆交于，两点．线段的中点为．
（1）证明：；
（2）设为的右焦点，为上一点，且．证明：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【分析】（1）设而不求，利用点差法，或设直线方程，联立方程组，由判别式和韦达定理进行证明；
（2）方法一：先求出点P的坐标，解出m，得到直线的方程，联立直线与椭圆方程由韦达定理进行求解．
【详解】（1）［方法一］：【最优解】点差法
设，，则，．
两式相减，并由得．
由题设知，，于是．
由题设知点在椭圆内部，所以，故．
［方法二］：【通性通法】常规设线
设，，当时，显然不满足题意；
由得，，所以，，
，即，而，所以，
又，所以，
，即，解得： ．
［方法三］：直线与椭圆系的应用
对原椭圆作关于对称的椭圆为．
两椭圆方程相减可得，即为的方程，故．
又点在椭圆C内部可得，解得：．
所以．
［方法四］：直线参数方程的应用
设l的参数方程为（为l倾斜角，t为参数）代入椭圆C中得．设是线段中点A，B对应的参数，是线段中点，知得，即．而点在C内得，解得：，所以．
（2）［方法一］：【通性通法】常规运算＋整体思想
由题意得，设，则
．
由（1）及题设得，．
又点P在C上，所以，从而，．
于是．
同理．所以．故．
［方法二］：硬算
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，即．
由点P在椭圆上，把坐标代入方程解得，即．
由（1）有，直线l的方程为，将其与椭圆方程联立消去y得，求得，不妨设，所以，，，同理可得，
，所以，而，故．
［方法三］：【最优解】焦半径公式的应用
因为线段的中点为，得．
由，知点F为的重心，由三角形重心坐标公式可得，
由椭圆方程可知，
由椭圆的焦半径公式得，．所以．
【整体点评】（1）方法一：利用点差法找出斜率与中点坐标的关系，再根据中点在椭圆内得到不等关系，即可解出，对于中点问题，点差法是解决此类问题的常用解法，也是该题的最优解；
方法二：常规设线，通过联立得出根与系数的关系（韦达定理），再根据即可解出，该法是解决直线与圆锥曲线位置关系的通性通法；
方法三：；类比直线与圆系，采用直线与椭圆系的应用，可快速求出公共弦所在直线方程，从而得出斜率，进而得证，避免联立过程，适当简化运算；
方法四：利用直线的参数方程以及参数的几何意义，联立求出斜率；
（2）方法一：直接根据题意运算结合整体思想，是通性通法；
方法二：直接硬算，思路直接，计算量较大，一般不建议使用；
方法三：根据所求式子特证，利用焦半径公式，很好的简化运算，是该题的最优解．
8．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可．
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零．
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立．
9．（2004·北京·高考真题）已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图).
（1）写出该抛物线的方程和焦点的坐标；
（2）求线段中点的坐标；
（3）求所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）将A点坐标代入抛物线方程，由此求得，进而求得抛物线方程和焦点坐标．
（2）根据重心坐标公式列方程，求得，再由中点坐标公式求得的坐标
（3）利用点差法求得直线的斜率，进而求得直线的方程．
【详解】（1）将代入抛物线方程得，所以抛物线方程为；
（2）设，由于，由重心坐标公式得，
化简得，
所以中点的坐标为；
（3）设所在直线斜率为，将代入抛物线方程得，两式相减并化简得，即，解得，所以直线的方程为，即.
【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查抛物线中的中点弦问题，属于基础题．
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