专题06 中点弦问题（设而不求与点差法）（讲义）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题06 中点弦问题
1、相交弦中点（点差法）
直线与曲线相交，涉及到交线中点的题型，多数用点差法。按下面方法整理出式子，然后根据实际情况处理该式子。
主要有以下几种问题：
（1）求中点坐标；（2）求中点轨迹方程；（3）求直线方程；（4）求曲线；
中点， ，
椭圆中的中点弦解题步骤:
第一步：若，是椭圆上不重合的两点，则，
第二步：两式相减得，
第三步：是直线的斜率，是线段的中点，化简可得，此种方法为点差法。
特别提醒：
若是椭圆上不垂直于x轴的两点，是的中点，为椭圆的中心，则直线与的斜率之积为定值
2、同理，双曲线用点差法，式子可以整理成：
3、设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ；
将两式相减，可得；整理得：
例1、（2021·全国·高二单元测试）椭圆中，以点为中点的弦所在直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，
代入椭圆得，
两式相减得，
即，
即，又
即，
即，
∴弦所在的直线的斜率为，
故选：C.
例2、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】设，则，，
则，
两式相减得：，
∴===，
又==，∴，
联立，得.
∴椭圆方程为.
故选：D．
例3、（2022·广东·清远市博爱学校高二阶段练习）已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别为和.
(1)求椭圆的标准方程．
(2)斜率为的直线与椭圆交于､两点，若线段的中点为，为坐标原点，且直线的斜率存在，试判断与的乘积是否为定值，若是请求出，若不是请说明理由．
【答案】(1)；
(2).
(1)由题可设椭圆的方程为，
则，
∴
∴椭圆M的标准方程为；
(2)设，，，，则，，，
两式相减得，
∴，
而弦的中点，则有，
所以，即k与kOP的乘积为定值.
例4、（2023上·河南南阳·高二统考阶段练习）已知椭圆.
(1)求过点且被点平分的弦所在直线的方程；
(2)过点引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）用“点差法”求出直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，从而可得结论；
（2）设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为，利用点差法分析求解．
【详解】（1）因为，
所以在椭圆的内部，则所求弦必然存在，
设这条弦与椭圆交于点，
由中点坐标公式知，
把代入，则，
作差整理得，可得，
所以这条弦所在的直线方程为，即.
（2）由题意可知：过点引椭圆的割线的斜率存在且不为0，
设割线方程为，
联立方程，消去得，
则，解得，
设过点的直线与椭圆截得的弦的中点，交点为，
根据椭圆性质可知，则，
令，则，
可得，
因为在上单调递减，在上单调递增，
且，可知，
则，所以，
则，可得，
把代入，则，
两式相减得，整理得，
即，整理得.
【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法
（1）用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤；
（2）对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
1．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C：上存在两点M，N关于直线对称，且线段MN中点的纵坐标为，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【详解】解：设，，则，，
两式相减，得，
即，
，关于直线对称，，
又线段中点的纵坐标为，线段中点的横坐标为，所以
，解得．
故选：A．
2．（2022·四川省资中县球溪高级中学高二阶段练习（文））若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且的中点坐标为，则___________.
【答案】-1
【详解】依题意，线段的中点在椭圆C内，设，，
由两式相减得：，
而，于是得，即，
所以.
3．（2022·全国·高二）已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】设，则有①，②，
两式作差可得：，即，
又，
故，，
所以，
又，解得，
故的方程为.
故选：C
4．（2023上·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考期中）已知椭圆的离心率为，短轴长为2．
(1)求椭圆L的标准方程；
(2)过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分．求此弦所在的直线方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由离心率、短轴长及椭圆参数关系列方程求参数，即得椭圆方程；
（2）设直线交椭圆于，将点代入椭圆方程，点差法求直线斜率，最后应用点斜式写出直线方程．
【详解】（1）由题意，则椭圆标准方程为；
（2）令过椭圆内一点的直线交椭圆于，
所以，两式作差得，则，
又，，故直线斜率为，
所以直线为，即.
例5、（2022·广东·普宁市华美实验学校高二阶段练习）过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，若是线段的中点，则双曲线的离心率为___________.
【答案】##
【详解】解：设，，，，则①，②，
是线段的中点，
，，
直线的方程是，
，
过点作斜率为的直线与双曲线相交于，两点，是线段的中点，
①②两式相减可得，即，
．
故答案为：．
例6、（2022上·湖北孝感·高二校考期末）已知双曲线，过点且被平分的弦所在的直线斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用点差法求出斜率即可．
【详解】设，因为点在双曲线上，
所以，
两式相减得到，
因为过点且被平分，
所以，代入上式可得，
故选：C
例7、（2022·江苏·高二）已知双曲线的离心率，双曲线上任意一点到其右焦点的最小距离为．
（1）求双曲线的方程．
（2）过点是否存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点？若直线存在，请求直线的方程：若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）这样的直线不存在，证明见解析．
【详解】（1）由题意可得，当为右顶点时，可得到右焦点的距离最小，即有，解得，，，可得双曲线的方程为；
（2）过点假设存在直线，使直线与双曲线交于，两点，且点是线段的中点．
设，，可得，，
两式相减可得，由中点坐标公式可得，，可得直线的斜率为，即有直线的方程为，，即为，
代入双曲线的方程，可得，由判别式为，可得方程无实数解．故这样的直线不存在．
例8、（2023·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知双曲线()经过点，其渐近线方程为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点的直线l与双曲线C相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？请说明理由．
【答案】(1)；
(2)不能，证明见解析；
【分析】（1）由渐近线方程求得一个关系，再代入点的坐标，可解得得双曲线方程；
（2）设出交点坐标，若是线段的中点，利用点差法求出直线l方程，再联直线与双曲线查看是否有解，即可判断．
【详解】（1）由题双曲线()经过点，其渐近线方程为，
所以，，
解得，
所以双曲线C的方程为：.
（2）
当直线l垂直x轴时，直线l的方程为，此时直线l与双曲线只有一个交点，不满足；
当直线l不垂直x轴时，斜率存在，
设，
所以，
两式作差得，
即，
若是线段的中点，则，
则，
所以直线l的斜率，
则直线l的方程为，
将直线l与双曲线联立，得，
，方程无解，
所以这样的直线不存在，即点P不能是线段的中点．
1．（2023·陕西宝鸡·校联考模拟预测）已知双曲线：的右焦点为，过点的直线交双曲线E于A、B两点．若的中点坐标为，则E的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，由，利用点差法求解．
【详解】解：设，
则，两式相减得，
即，化简得，
又，解得，
所以双曲线的方程为： .
故选：D.
2．（2023上·山东烟台·高二统考期末）已知直线过双曲线的左焦点，且与的左､右两支分别交于两点，设为坐标原点，为的中点，若是以为底边的等腰三角形，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由点差法得，由条件知直线的倾斜角为倾斜角的两倍，代入两直线的斜率关系式即可求得的斜率．
【详解】设,
由均在上，为的中点，
得，则，
∴，
∴，
设直线的倾斜角为，则，不妨设为锐角，
∵是以为底边的等腰三角形，∴直线的倾斜角为，则.
∴，
∴，解得，
∴由对称性知直线的斜率为.
故选：D
【点睛】中点弦定理：直线与椭圆（双曲线）交于两点，中点为，则有，（为坐标原点）
此题解答过程中中点弦定理起了核心作用，通过中点弦定理建立了与的关系，另一方面通过是以为底边的等腰三角形可能建立两直线倾斜角的关系，从而得到所求直线的斜率．
3．（2024上·江苏·高三校联考阶段练习）已知，是双曲线：上的两点，点是线段的中点．
(1)求直线的方程；
(2)若线段的垂直平分线与相交于，两点，证明：，，，四点共圆．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过作差法求解直线的斜率，然后求解直线方程；
（2）首先求解出线段中垂线的方程为：，然后求解中点，最后证明验证即可证明；
【详解】（1）依题意，直线的斜率必定存在，设其斜率为，，，
所以，，所以，
又，，所以，
故直线的方程为，即，经检验，符合题意，
所以直线的方程为.
（2）
证明：由得，
解得或，所以，.
线段中垂线的方程为：，
设，
由得，
所以，
故的中点，所以，
，
所以，，，在以为圆心，为半径的圆上，
所以，，，四点共圆．
4．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）已知双曲线.
(1)若离心率为，求的值，的顶点坐标、渐近线方程；
(2)若，是否存在被点平分的弦?如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)，顶点坐标，渐近线；
(2)不存在，理由见解析．
(1)，
a＝1，故双曲线顶点为，渐近线方程为；
(2)当时，双曲线为，
假设双曲线存在被点平分的弦，设弦的两个端点为，，
则，，
∵A、B在双曲线上，∴，
①－②得：，
则，
∴弦AB所在直线方程为：，
代入双曲线方程得，
∵，故AB与双曲线无交点，假设不成立．
故不存在被点平分的弦．
例9、（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线，直线交于，两点，若弦的中点的纵坐标为，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】设，则两式相减．
因为弦AB的中点的纵坐标为，所以，
所以直线l的斜率为，故直线l的倾斜角为．
故选：C
例10、（2023上·河南·高二校联考阶段练习）（多选题）已知为抛物线的焦点，直线与交于，两点，弦中点的横坐标为4，，则（ ）
A．的斜率为1B．在轴上的截距为
C．弦中点的纵坐标为D．
【答案】ACD
【分析】联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据中点关系求解，进而由弦长公式求解，利用抛物线焦半径公式即可求解.
【详解】易得的斜率存在，设，，，
由得，则由，得.
由，得，
所以，弦中点的纵坐标为，.
故ACD正确，B错误，
故选：ACD
例11、（2022上·北京东城·高三北京二中校考阶段练习）已知A，B是抛物线上的两点，线段AB的中点为，则直线AB的方程为 ．
【答案】
【分析】先由题意判断得，再由点差法求得，由此得到，从而利用点斜式即可求得直线AB的方程．
【详解】依题意，设，
若，则直线，由抛物线的对称性可知，线段AB的中点为，显然不符合题意，故，
因为A，B是抛物线上的两点，
所以，两式相减得，，整理得，
因为线段AB的中点为，
所以，即，
又，所以，
所以直线AB的方程为，即.
故答案为：.
例12、（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因为，所以，即轴，因为抛物线的通径长为，代入即可得解；
（2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，然后利用点差法结合条件可得斜率进而即得,
【详解】（1）
因为，
所以，即轴．
令，可得，
，，
所以，得，
故抛物线的方程为.
（2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
则
两式相减得，整理得.
因为的中点为，
所以，
所以直线的方程为，即.
由直线过点，必和抛物线有两个交点，
所以直线的方程为.
1．（2022上·浙江·高二校联考期中）（多选题）已知斜率为的直线交抛物线于、两点，下列说法正确的是（ ）
A．为定值
B．线段的中点在一条定直线上
C．为定值（、分别为直线、的斜率）
D．为定值（为抛物线的焦点）
【答案】BC
【分析】分析可知，，设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理可判断A选项；求出线段中点的纵坐标，可判断B选项；利用斜率公式结合韦达定理可判断C选项；利用抛物线的焦半径公式可判断D选项．
【详解】若，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，则，
设直线的方程为，联立可得，
，

对于A选项，不一定是定值，A错；
对于B选项，设线段的中点为，则，
为定值，故线段的中点在定直线上，B对；
对于C选项，为定值，C对；
对于D选项，不一定为定值，D错．
故选：BC.
2．（2021上·上海杨浦·高二上海市控江中学校考期末）若抛物线的弦被点平分，则此弦所在直线的斜率为 ．
【答案】
【分析】利用点差法可求得该弦所在直线的斜率．
【详解】设过点的弦的端点为、，
若直线轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意．
所以，直线的斜率存在，则，
两式作差可得，
因此，直线的斜率为.
故答案为：.
3．（2023·安徽黄山·统考三模）已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），过线段的中点作轴的垂线，交抛物线于点，交抛物线的准线于点，为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线的斜率为
B．
C．的面积不小于的面积
D．
【答案】ACD
【分析】由抛物线，得，准线为,设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，，进而得到，．进而结合抛物线定义可求解A；结合中点坐标公式可得，进而得到，进而判断B；结合弦长公式可求解C；结合两点间距离公式可求解D.
【详解】由抛物线，得，准线为.
设直线的方程为，即，设，，
联立，整理得，
则，，
所以，
.
对于A，因为，
所以，即，
联立，解得，
所以直线的方程为，即，
即直线的斜率为，故A正确；
对于B，由，，
所以，则，
代入抛物线，得，即，
则，，
所以，故B错误；
对于C，，
点到直线的距离为，
点到直线的距离为，
则，
，
因为函数在上单调递增，且，
所以，故C正确；
对于D，，
即，
即，
即，
而，即，
所以，故D正确．
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：解决圆锥曲线与直线相交于两点问题，常常联立直线与曲线方程，利用设而不求的思想，消元结合韦达定理可得，，进而求解问题即可．
4．（2023上·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知圆的圆心是抛物线的焦点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若直线交抛物线于两点，且点是弦的中点，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由圆心是抛物线的焦点，找到抛物线的焦点，从而得到抛物线的方程；
（2）利用点差法，找到直线的斜率，进而求得直线的方程．
【详解】（1）圆的方程可化为，
故圆心的坐标为．
设抛物线的方程为()，所以，所以，
所以抛物线的方程为．
（2）设，，则两式相减，
得，即，
所以直线的斜率．
因为点是的中点，所以，所以．
所以直线的方程为，即．