专题08 圆锥曲线第二定义与焦点弦（模拟+真题）-2024高考数学二轮复习解析几何压轴题

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一、注意基础知识的整合、巩固。二轮复习要注意回归课本，课本是考试内容的载体，是高考命题的依据。浓缩课本知识，进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度
二、查漏补缺，保强攻弱。在二轮复习中，对自己的薄弱环节要加强学习，平衡发展，加强各章节知识之间的横向联系，针对“一模”考试中的问题要很好的解决，根据自己的实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。在高考中运算占很大比例，一定要重视运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度，同时，要规范解答过程及书写。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。

专题8 圆锥曲线的第二定义与焦点弦
1．过抛物线焦点F的直线与该抛物线及其准线都相交，交点从左到右依次为A，B，C．若，则线段BC的中点到准线的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】由向量的关系可得线段|AB|，|BF|的关系，结合抛物线的定义，可求出直线AB的倾斜角，进而求出直线的斜率，设直线AB的方程，与抛物线的方程联立，求出B，C横坐标之和，进而求出线段BC的中点到准线的距离．
【详解】由抛物线的方程可得焦点，渐近线的方程为：，
由，可得
由于抛物线的对称性，不妨假设直线和抛物线位置关系如图示：作垂直于准线于，
准线交x轴与N,则 ,
故，故 ,
而x轴，故,
所以直线的倾斜角为 ，
所以直线的方程为，
设，，，，
联立，整理可得：，
可得，
所以的中点的横坐标为3，
则线段的中点到准线的距离为 ，
故选：B．
2．已知F是抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，直线l与抛物线的准线交于点M，若，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】B
【分析】过点作准线的垂线交于点，则，过点作准线的垂线交于点，则，利用三角形相似即可求解．
【详解】解：如图，过点作准线的垂线交于点，由抛物线的定义有，过点作准线的垂线交于点，则，
，，
根据，可得，
．，即，
，
故选：B．
3．已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：由双曲线的第二定义可知，，
右支上的点，满足，
，
由，
解得，
在右支上，可得，
可得，即，
则，
令，，
可得
而在，递减，
，，
，
故选：．
4．已知点是双曲线上的动点，，分别是其左、右焦点，为坐标原点，若的最大值是，则此双曲线的离心率是
A．B．C．D．2
【解答】解：不妨设为右支上的一点，其中，
，，
当时，取得最大值，
，
故选：．
5．（2022·全国·模拟预测）已知分别是椭圆的左、右焦点，过点作x轴的垂线与椭圆C在第一象限的交点为P，若的平分线经过椭圆C的下顶点，则椭圆C的离心率的平方为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将代入椭圆方程，求出，求出，然后得到PB的直线方程求出T的坐标，根据面积比进行转化即可得出答案．
【详解】
设，将代入椭圆方程，易得，
则．
记椭圆C的下顶点为，则的斜率，
∴直线的方程为，
令得直线与x轴的交点为，
则，
又，
，即，
，得（舍去负值），
．
故选：D.
6．（2023上·湖南岳阳·高二统考期末）2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的个数有：（ ）
①椭圆的长轴长为4
②线段长度的取值范围是
③面积的最小值是3
④的周长为
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】由题设椭圆中可得，又、判断①②；令得，特殊值判断③；利用椭圆定义求焦点三角形周长判断④．
【详解】由题设，椭圆中，则，故椭圆的长轴长为4，①对；
，且，故，②对；
令，则
，若，此时，则，③错；
由椭圆定义知，故的周长为，④对．
故选：C
7．（2024上·辽宁朝阳·高二统考期末）如图，已知椭圆的左､右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，设两点的坐标分别为，则的值为（ ）

A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据等面积法，由此可求出所求的值．
【详解】由题意知的内切圆的半径为，
又，
所以的面积，
因为，
所以.
故选：D.
8．（2023上·湖北武汉·高二湖北省武昌实验中学校联考期中）已知中心在原点，焦点在轴上，且离心率为的椭圆与经过点的直线交于两点，若点在椭圆内，的面积被轴分成两部分，且与的面积之比为，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出直线方程和椭圆方程，把直线方程带入椭圆方程，根据离心率公式及韦达定理即可求出，利用三角形面积公式及基本不等式即可求得面积的最大值．
【详解】设椭圆的方程为，直线的方程为，
，
联立整理得：
，
由椭圆的离心率，得，
带入上式并整理得：
，
则，
由与的面积之比为，则，
则，
所以的面积为
，
当且仅当时，等号成立，
故面积的最大值为
故选：.
9．（2023上·河北沧州·高二校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为点，若椭圆C上存在一点M使得的内切圆半径为，则椭圆C的离心率的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据求得，再根据得关系求得离心率的最大值．
【详解】由题意可得，
所以，
又，
所以，
又，所以，
化简，得，即，
解得，所以e的最大值为.
故选：C
10．（2023下·全国·高二卫辉一中校联考阶段练习）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，圆：，点P和点B分别为椭圆C和圆A上的动点，当取最小值3时，的面积为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】根据和求出的最小值为，结合已知最小值解得，，由直线的方程与椭圆方程联立得点的纵坐标，再根据三角形面积公式可得结果．
【详解】由题知，所以.
所以，
因为，所以，
所以．当P，B两点在的延长线上时，等号成立．
所以，所以，.
所以直线的方程为，即，与方程联立，
可得，解得（负值已舍去，其中为点P的纵坐标）．
所以的面积为.
故选：A.
11．（2023·全国·安阳市第二中学校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为F，以椭圆的长轴为直径作圆，过点F作不与坐标轴垂直的两条直线，，其中与椭圆交于M，N两点，与圆交于P，Q两点，若，且都有，则实数的取值范围为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设直线，，分别求出与，得到，换元后利用导数求其最小值，即可得解．
【详解】依题意，，圆．
设直线，，
则点O到直线的距离，故．
将代入中，
整理可得．
设，，则，，
所以，
故，
令，则，
则，所以在上单调递减，
故，故实数的取值范围为，
故选：B．
12．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若的离心率为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A．B．C．D．6
【答案】B
【分析】根据离心率求出双曲线的渐近线方程，利用两角差的正切公式求出，再根据求出的值，由的面积等于的面积，即可求解．
【详解】由的离心率为，可得，则，
则的渐近线方程为，则，
则，
设渐近线方程为，，
则点到双曲线的渐近线的距离为， 则，
因为，则，即，，
易知的面积等于的面积，
即．

故选：B.
13．（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，以为直径的圆与的两条渐近线分别交于与原点不重合的两点，，若，则四边形的面积为（ ）
A．6B．C．D．4
【答案】B
【分析】结合双曲线图像对称性，可得轴，根据圆的性质和双曲线，，的关系可计算出，，，的长度，进而求出四边形的面积．
【详解】设与轴交于点，由双曲线的对称性可知轴，，，
又因为，所以，即，
所以，因为点在以为直径的圆上，所以，所在的渐近线方程为，
点到渐近线距离为，
所以，
所以，，则，
所以，
故选：B
14．（2023·全国·模拟预测）如图，双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点．若，则四边形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由条件得出，在直角中，利用几何条件得出，再结合条件得出，再联立圆的方程和渐近线方程求出四个交点的坐标，从而求出结果．
【详解】如图，因为以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于，，，四点，则，
又因为，所以，，又为的中点，所以在直角中，，所以，所以渐近线，即，又，所以，故以为直径的圆的方程为，联立，解得或，即，同理可得，由双曲线的对称性，易知四边形为矩形，所以四边形的面积为.
故选：A.
15．（2022上·甘肃张掖·高三高台县第一中学校考阶段练习）已知为坐标原点，双曲线的渐近线方程是，且经过点，过的右焦点的直线与两条渐近线分别交于点，，以为直径的圆过点，则下列说法不正确的是（ ）
A．双曲线的标准方程为B．直线的倾斜角为或
C．圆的面积等于D．与的面积之比为
【答案】D
【分析】设双曲线方程为，代入求出双曲线的标准方程可判断A；
，根据渐近线方程和倾斜角可得直线的倾斜角可判断B；根据双曲线的对称性，设的倾斜角为，求出直线的方程分别与两条渐近线方程联立，解得，点坐标，求出得圆的半径，求出圆的面积可判断C； 为与的公共边， 与的面积之比等于可判断D.
【详解】对于A，∵双曲线的渐近线为，∴设双曲线方程为，∵双曲线经过点，∴，得．∴双曲线的标准方程为，故A正确；
对于B，∵以为直径的圆过点，∴，又渐近线方程为，可得渐近线的倾斜角分别为，，则，，则直线的倾斜角为或，故B正确；
对于C，根据双曲线的对称性，不妨设的倾斜角为，由，可得直线的方程为，分别与两条渐近线方程联立，解得，，此时，故圆的半径，其面积为，故C正确；对于D，∵为与的公共边，∴与的面积之比等于，故与的面积之比为，故D错误．
故选：D.
16．（2021上·广东肇庆·高二广东肇庆中学校考阶段练习）如图，过抛物线的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是的中点，且，则线段的长为（ ）
A．5B．6C．D．
【答案】C
【分析】由题意得，，由此可得参数，进一步可得抛物线方程以及直线方程，联立结合韦达定理以及抛物线定义即可求解．
【详解】由题意是的中点，所以，，
由图知，所以，
又，所以，
所以，
而，所以直线，
联立抛物线方程得，，化简整理得，
所以，.
故选：C.
17．（2024上·陕西西安·高二统考期末）过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】联立方程得出韦达定理结合抛物线焦半径计算即可．
【详解】由题意，直线的斜率不为0，设过焦点的直线方程为，，
直线方程与抛物线方程联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
，故C正确．
故选:C．
18．（2022·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．是的中点
C．D．
【答案】D
【分析】根据抛物线定义可得，由直线的斜率为可知为等边三角形，再利用三角形性质以及线段比例关系逐项判断可得出，即D错误．
【详解】分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点，准线交轴于点，如下图所示:
则，由直线的斜率为，得其倾斜角为，
轴，，由抛物线的定义得，则为等边三角形，
，则，
，得，A选项正确；
为的中点，B选项正确；
，，C选项正确；
，
，D选项错误．
故选：D．
19．（2022上·云南临沧·高二校考期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线及其准线分别交于两点，，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由题意过点做垂直准线垂足为，根据、抛物线定义可得，从而可得，根据对称性即可选出答案．
【详解】如图所示：
过点做垂直准线垂足为，则，
由，则，则，
则，则，
所以由对称性可知直线的斜率．
故选：B.
20．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线的焦点为 ，准线为，为上一点，，垂足为，与轴交点为，若，且的面积为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义，结合图形特征，用p表示三角形面积列式可求抛物线方程．
【详解】由抛物线定义知，所以为等边三角形，为的中点，
所以，，
的面积，所以的方程为.
故选：A.
21．（2024上·江苏盐城·高二盐城中学校考期末）已知椭圆的左右焦点分别是，上顶点为，且是面积为的正三角形，若过且垂直于的直线交椭圆于两点，则的周长为 ．
【答案】16
【分析】由面积为，且其为正三角形，可得，后由中垂线性质结合椭圆定义可得答案．
【详解】如图，
设，则，因面积为，且其为正三角形，又，则，则.
又直线BC过，与垂直，为正三角形，则直线BC为中垂线，
则，又，
故的周长，
又C，B在椭圆上，则由椭圆定义有.
故答案为：
22．（2023上·全国·高三阶段练习）已知椭圆的离心率为，上顶点为A，过左焦点的直线与C交于D，E两点，过右焦点的直线经过A点，且．若四边形的面积为，则C的长轴长为 ．
【答案】4
【分析】根据题意，得到为等边三角形，进而根据等边三角形和垂直平分线的性质，得到，由离心率，列出椭圆，设出直线的方程，与椭圆联立，得到，进而列出，可求解．
【详解】
设椭圆C的半焦距为，，，则，椭圆．
由题可知为等边三角形，所以，
因为过且垂直于的直线与C交于D，E两点，
所以．由线段垂直平分线的性质可得，．
直线的方程为，与C的方程联立化简可得，
由根与系数的关系可得，，所以，
．
所以，
解得，则．故C的长轴长为．
故答案为：4
23．（2024上·四川绵阳·高二统考期末）已知、是双曲线的左右焦点，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，且的面积为（为双曲线的半焦距），则的渐近线方程为 .
【答案】
【分析】计算出的面积，可得出，结合已知条件可得出关于、、的齐次等式，求出、的等量关系式，即可得出双曲线的渐近线方程．
【详解】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为，即，
过作的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
由勾股定理可得，
易知为的中点，则，
即，可得，即，
故双曲线的渐近线方程为.
故答案为：.
24．（2024上·贵州安顺·高二统考期末）已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，，为双曲线C的左、右焦点，过且斜率为的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点，若的周长为108，则双曲线C的方程为 ．
【答案】
【分析】首先求得，并利用直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示弦长，并结合双曲线的定义表示的周长，即可求解双曲线方程．
【详解】因为双曲线的渐进性方程为，
所以，则双曲线方程为，，，
所以直线的方程为，设，，
联立，得，
，，
所以，
因为，，
所以，
因为的周长为108，所以，
得，所以双曲线方程为.
故答案为：
25．（2023上·云南临沧·高二校考期末）已知双曲线的右焦点为，直线与双曲线交于两点，与双曲线的渐近线交于两点，若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】/
【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得,,由和关系可求得，，由此可求得离心率．
【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：，
直线
为双曲线的通径，则
由得，则，
由得，则
由得：
即
所以，
所以离心率
故答案为：
26．（2023下·上海浦东新·高二上海师大附中校考期中）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的交点，若，则与的离心率之积的最小值为 .
【答案】/
【分析】根据椭圆和双曲线的定义和对称性，结合三角形面积公式、余弦定理、基本不等式进行求解即可．
【详解】设椭圆方程为，
双曲线方程为，
如下图，连接，所以为平行四边形，
由得，
设，
在椭圆中，由定义可知：，
由余弦定理可知：
，
，
在双曲线中，由定义可知中：：，
由余弦定理可知：
，
，
所以，
，当且仅当时取等号，
所以，
所以与的离心率之积的最小值为．
故答案为：
27．（2024上·天津·高三统考期末）已知抛物线：的焦点为，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，且直线的斜率为，则以线段为直径的圆的方程为 .
【答案】
【分析】由题意得抛物线：，直线的方程为，结合韦达定理得圆心坐标，焦半径公式得圆的半径，由此即可得解．
【详解】由题意，解得，所以抛物线：，
设线段的中点为，，
又直线的方程为，联立抛物线方程得，
由韦达定理有，
所以，即，
而以线段为直径的圆的半径为，
所以以线段为直径的圆的方程为.
故答案为：.
28．（2024上·安徽·高二统考期末）已知抛物线，过该抛物线焦点的直线与该抛物线相交于两点（其中点在第一象限），当直线的倾斜角为时，，为坐标原点，则面积的最小值为 ．
【答案】
【分析】结合题意求出,设直线，结合韦达定理表示出面积，结合基本不等式即可求解．
【详解】如图所示，分别过向准线作垂线，垂足分别为、，过作的垂线，垂足为，
当直线的倾斜角为时，结合题意易得，
所以，即，
设，，满足，，
设直线，代入抛物线方程，
可得，，
所以，
当时，三角形面积取最小值，此时最小值为．
故答案为：．
29．（2023上·辽宁·高三校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线过点且与交于两点，且，与的面积之比为，其中为坐标原点，则 .
【答案】1
【分析】过焦点的直线方程与抛物线联立，再根据根与系数关系，利用三角形的面积比和弦长求解.
【详解】由对称性，不妨设,分别在第一、四象限，则,,
设直线方程,
联立,
整理得，,
,,
由与的面积之比为，
可得，则,,
则，得，
,
解得，.

故答案为：1.
【点睛】本题解题关键是设出直线PQ，联立抛物线方程，将与面积比转化为P，Q的纵坐标关系，结合PQ的长度可得解．
30．（2023下·黑龙江绥化·高二校考开学考试）已知抛物线上有，A，B三点，且直线过抛物线的焦点F，抛物线的准线与轴交于点C，若，则 ， ．
【答案】 8 /
【分析】先根据条件求出抛物线的方程，作图，再根据图中的几何关系求解．
【详解】由题意，将点代入，得，解得，所以抛物线的方程为，准线l的方程为；
如图，过A作于M，过B作于N，过B作于，交x轴于G，连接，BC，
设，则由，得，，，所以，
显然，，
所以 ，解得，
所以，，，，，
，，
在中，由余弦定理得，
所以，

故答案为：8，.
31．（2022上·河南·高三校联考期末）已知椭圆：的离心率为，直线过椭圆的左焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若过点且与轴不重合的直线交椭圆于两点，为椭圆的右焦点，求面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据直线过椭圆的左焦点，求出，得到，由椭圆离心率公式得，从而求得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程，消元后利用韦达定理得到面积的表达式，再利用换元法和导数可求面积的取值范围．
【详解】（1）因为直线过椭圆的左焦点，所以，，
又因为椭圆的离心率为，
由于，所以，则，
所以椭圆的标准方程为.
（2））因为直线过点，所以可设直线的方程为， 设，
联立，消去整理得，
，
则，，
，
令，则，且，则，
设，则，
所以在上单调递增，所以，则，
所以，即面积的取值范围为.
32．（2024上·河南开封·高二校联考期末）已知离心率为的椭圆与拋物线有共同的焦点是椭圆上任意一点，且的最小值是1．
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线与椭圆相交于两点，与抛物线相交于两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】（1）根据离心率和的最小值求出椭圆的方程，根据共焦点得出抛物线的方程；
（2）根据弦长公式和抛物线的定义列出方程求解即可．
【详解】（1）设椭圆的焦距为，由椭圆的离心率是，得，
因为的最小值为，所以，
所以椭圆的方程为．
因为椭圆的焦点坐标为，椭圆与抛物线有共同的焦点，
所以，所以拋物线的方程为．
（2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时，不符合条件，舍去．

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
联立得，，
．
所以．
联立，得，
，
则，
因为，所以，解得．
所以直线的方程为或．
33．（2024上·江苏苏州·高二统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆：（）的长轴长是短轴长的2倍，焦距为．
(1)求的标准方程；
(2)若斜率为的直线（不过原点）交于，两点，点关于的对称点在上，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意易得，结合即可得结果；
（2）方法一：联立直线与椭圆方程，由弦长公式求出，由对称性求出点的坐标，再求面积即可；方法二：得出直线方程，求出，其余同一．
【详解】（1）由题意，所以，
又因为，所以，，
所以的标准方程为．
（2）设直线：（），，，．
将代入：中，化简整理得，
于是有
所以
，
因为点关于的对称点为，所以解得
即
因为在上，所以，解得．
又因为点到直线的距离，
所以由对称性得
第二问法2：设：，：，则，
，，解得，则
代入：，得：，则
，则
故．
34．（2022上·新疆吐鲁番·高二校考期末）如图，过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，求

【答案】
【分析】由双曲线方程求出右焦点，进而得到直线方程，直曲联立，结合距离公式计算即可．
【详解】双曲线方程可化为，
所以，故，
所以直线的方程为，设，，
由得，，
所以，，
所以.
35．（2024上·四川泸州·高二统考期末）抛物线上的点到C的准线的距离为5．
(1)求C的方程；
(2)已知直线l与C交于A，B两点，若（O为坐标原点），交AB于点D．点E坐标为，证明的长度为定值，并求出该定值．
【答案】(1)
(2)证明见解析；该定值为2；
【分析】（1）根据抛物线定义可得点到C的准线的距离为，可求出C的方程；
（2）先根据条件联立方程可求得的值，再利用求出点D的坐标，最后求出的长度．
【详解】（1）根据题意利用抛物线定义可知，解得；
所以抛物线C的方程为；
（2）如下图所示：
设直线l的方程为，与抛物线方程联立整理可得，
设，则可得；
由于，所以可得，即，
可得，解得或（舍）；
又，所以可得直线的方程为，
联立，可得点D的坐标为；
又，所以可得
；
即的长度为定值2.
36．（2024·全国·高二假期作业）点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A,B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．
(1)求抛物线的方程；
(2)设C,D是抛物线上异于A,B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E,G,K三点共线．
【答案】(1)；
(2)证明见解析．
【分析】（1）根据题意易得，代入抛物线求得，即可得方程；
（2）由（1）得，准线为，，设应用点斜式分别写出直线AC,BD,AD,BC，求交点E,G坐标，利用斜率公式判断共线即可．
【详解】（1）由题意，得，因为，轴，
不妨设，代入抛物线，得，
所以抛物线的方程为；
（2）由（1）知：，准线为，，
设
直线AC为①，
直线BD为②，
联立①②，解得，即，
直线AD为③，
直线BC为④，
联立③④，解得，即，
直线EK的斜率，
直线GK的斜率，
则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线．
37．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，当平行于轴时，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为的中点为，证明：三点共线．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）当平行于轴时，设直线的方程为，设点、，利用抛物线的焦半径公式，可求得的值，由此可得出抛物线的方程；
（2）写出直线的方程，将代入直线的方程，求出的坐标，然后求出的方程，与抛物线的方程联立，结合韦达定理求出点的坐标，可得出、、三点共线．
【详解】（1）抛物线的焦点为，
当平行于轴时，设直线的方程为，设点、，
，解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）设直线的方程为，设点、，
联立可得，
由韦达定理可得，，
又因为直线的方程为，

将代入直线的方程可得，可得，即点，
所以，，
因为，则，
所以，直线的方程为，
联立可得，则，
故，则，
由的中点为，可得，
故、、三点共线．
38．（2023下·浙江杭州·高二统考期末）设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点，．当直线垂直于轴时，.

(1)求抛物线的标准方程．
(2)已知点，直线，分别与抛物线交于点，.
①求证：直线过定点；
②求与面积之和的最小值．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②.
【分析】（1）利用弦长求解p，即可求解抛物线方程；
（2）（i）设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；
（ii）利用面积分割法求出两个三角形面积表达式，然后利用二次函数求最值即可．
【详解】（1）由题意，当直线垂直于轴时，，代入抛物线方程得，则，所以，即，所以抛物线.
（2）（i）设，，直线，
与抛物线联立，得，因此，.
设直线，与抛物线联立，得，
因此，，则．同理可得.
所以.
因此直线，由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点.
（ii）因为，
，
所以，
当且仅当时取到最小值.
39．（2023·全国·统考高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可．
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
40．（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解．
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，
所以双曲线的离心率.
故选：A.
41．（2020·全国·统考高考真题）设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为（ ）
A．B．3C．D．2
【答案】B
【分析】由是以P为直角直角三角形得到，再利用双曲线的定义得到，联立即可得到，代入中计算即可．
【详解】由已知，不妨设，
则，因为，
所以点在以为直径的圆上，
即是以P为直角顶点的直角三角形，
故，
即，又，
所以，
解得，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能力，是一道中档题．
42．（2017·全国·高考真题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为
A．16B．14C．12D．10
【答案】A
【详解】设，直线的方程为，联立方程，得，∴，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知
，当且仅当（或）时，取等号．
点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握．考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决．此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为，则，则，所以
.
43．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若的面积为8，则的焦距的最小值为（ ）
A．4B．8C．16D．32
【答案】B
【分析】因为，可得双曲线的渐近线方程是，与直线联立方程求得，两点坐标，即可求得，根据的面积为，可得值，根据，结合均值不等式，即可求得答案．
【详解】
双曲线的渐近线方程是
直线与双曲线的两条渐近线分别交于，两点
不妨设为在第一象限，在第四象限
联立，解得
故
联立，解得
故
面积为：
双曲线
其焦距为
当且仅当取等号
的焦距的最小值：
故选：B.
【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属于中档题．
44．（2020·全国·统考高考真题）设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果．
【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目．
45．（2018·全国·高考真题）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N．若OMN为直角三角形，则|MN|=
A．B．3C．D．4
【答案】B
【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到，根据直角三角形的条件，可以确定直线的倾斜角为或，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得，利用两点间距离公式求得的值．
详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，
可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，
求得，
所以，故选B.
点睛：该题考查的是有关线段长度的问题，在解题的过程中，需要先确定哪两个点之间的距离，再分析点是怎么来的，从而得到是直线的交点，这样需要先求直线的方程，利用双曲线的方程，可以确定其渐近线方程，利用直角三角形的条件得到直线的斜率，结合过右焦点的条件，利用点斜式方程写出直线的方程，之后联立求得对应点的坐标，之后应用两点间距离公式求得结果．
46．（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
【答案】
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
47．（2021·全国·统考高考真题）已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为 ．
【答案】
【分析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解．
【详解】因为为上关于坐标原点对称的两点，
且，所以四边形为矩形，
设，则，
所以，
，即四边形面积等于.
故答案为：.
48．（2018·浙江·高考真题）已知点P(0，1)，椭圆 (m>1)上两点A，B满足，则当m= 时，点B横坐标的绝对值最大．
【答案】5
【分析】方法一：先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出．
【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质
设，由得
因为A,B在椭圆上,所以 ，即，与相减得：，所以，
，当且仅当时取最等号，即时，点B横坐标的绝对值最大．
故答案为：5．
［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理
由条件知直线的斜率存在，设，直线的方程为，联立得，根据韦达定理得，由知，代入上式解得，所以．此时，又，解得．
［方法三］：直线的参数方程+基本不等式
设直线的参数方程为其中t为参数，为直线的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得，设点A，B对应的参数分别为，则．由韦达定理知，解得，所以，此时，即，代入，解得．
［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质
设，因为，所以．
即 ①， ②，
又因为，所以．
不妨设，因此，代入②式可得．化简整理得．
由此可知，当时，上式有最大值16，即点B横坐标的绝对值有最大值2．
所以．
［方法五］：【最优解】仿射变换
如图1，作如下仿射变换，则为一个圆．
根据仿射变换的性质，点B的横坐标的绝对值最大，等价于点的横坐标的绝对值最大，则
．
当时等号成立，根据易得，此时．
［方法六］：中点弦性质的应用
设，由可知，则中点．因为，所以，整理得，由于，则时，，所以．
【整体点评】方法一：由题意中点的坐标关系，以及点差法可求出点的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；
方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；
方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；
方法四：利用题目条件硬算求出点的横坐标，再根据二次函数的性质解出；
方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；
方法六：利用中点弦的性质找出点的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法．
49．（2023·全国·统考高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．
(1)求C的方程；
(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上．
【答案】(1)
(2)证明见解析．
【分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程；
（2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上．
【详解】（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，
则由可得，，
双曲线方程为.
（2）由(1)可得，设，
显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，
与联立可得，且，
则，

直线的方程为，直线的方程为，
联立直线与直线的方程可得：
，
由可得，即，
据此可得点在定直线上运动．
【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键．
50．（2023·全国·统考高考真题）在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即可；
（2）法一：设矩形的三个顶点，且，分别令，，且，利用放缩法得，设函数，利用导数求出其最小值，则得的最小值，再排除边界值即可．
法二：设直线的方程为，将其与抛物线方程联立，再利用弦长公式和放缩法得，利用换元法和求导即可求出周长最值，再排除边界值即可．
法三：利用平移坐标系法，再设点，利用三角换元再对角度分类讨论，结合基本不等式即可证明．
【详解】（1）设,则，两边同平方化简得，
故.
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，

则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则，易知
则令,
令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
故,即.
当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,
得证．
法二：不妨设在上，且，

依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，
则联立得，
，则
则，
同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，
则，
，
但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故.
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,
从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
.
【点睛】关键点睛：本题的第二个的关键是通过放缩得，同时为了简便运算，对右边的式子平方后再设新函数求导，最后再排除边界值即可．
51．（2022·全国·统考高考真题）已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点．
(1)求E的方程；
(2)设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可；
（2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解．
【详解】（1）解：设椭圆E的方程为，过，
则，解得，，
所以椭圆E的方程为：.
（2），所以，
①若过点的直线斜率不存在，直线．代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到．求得HN方程：
，过点.
②若过点的直线斜率存在，设.
联立得，
可得，，
且
联立可得
可求得此时，
将，代入整理得，
将代入，得
显然成立，
综上，可得直线HN过定点
【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种：
①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
52．（2022·全国·统考高考真题）已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
【详解】（1）因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
53．（2021·全国·统考高考真题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用双曲线的定义可知轨迹是以点、为左、右焦点双曲线的右支，求出、的值，即可得出轨迹的方程；
(2)方法一：设出点的坐标和直线方程，联立直线方程与曲线C的方程，结合韦达定理求得直线的斜率，最后化简计算可得的值．
【详解】(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）[方法一] 【最优解】：直线方程与双曲线方程联立
如图所示，设,
设直线的方程为．

联立,
化简得.
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．
因为，所以．
[方法二] ：参数方程法
设．设直线的倾斜角为，
则其参数方程为，
联立直线方程与曲线C的方程，
可得，
整理得．
设，
由根与系数的关系得．
设直线的倾斜角为，，
同理可得
由，得．
因为，所以．
由题意分析知．所以，
故直线的斜率与直线的斜率之和为0．
[方法三]：利用圆幂定理
因为，由圆幂定理知A，B，P，Q四点共圆．
设,直线的方程为，
直线的方程为,
则二次曲线．
又由，得过A，B，P，Q四点的二次曲线系方程为：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四点共圆，则xy项的系数为0，即.
【整体点评】(2)方法一：直线方程与二次曲线的方程联立，结合韦达定理处理圆锥曲线问题是最经典的方法，它体现了解析几何的特征，是该题的通性通法，也是最优解；
方法二：参数方程的使用充分利用了参数的几何意义，要求解题过程中对参数有深刻的理解，并能够灵活的应用到题目中．
方法三：圆幂定理的应用更多的提现了几何的思想，二次曲线系的应用使得计算更为简单．
54．（2022·全国·统考高考真题）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求C的方程；
(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且．过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：
①M在上；②；③．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；
（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公式得到直线PQ的斜率，由②等价转化为，由①在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可．
【详解】（1）右焦点为，∴,∵渐近线方程为，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程为：；
（2）由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，
若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线的斜率存在且不为零；
若选①③推②，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；
总之，直线的斜率存在且不为零．
设直线的斜率为,直线方程为,
则条件①在上，等价于；
两渐近线的方程合并为,
联立消去y并化简整理得：
设,线段中点为,则,
设,
则条件③等价于,
移项并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,
∴由,
∴,
所以直线的斜率,
直线,即,
代入双曲线的方程,即中，
得：,
解得的横坐标：,
同理：，
∴
∴,
∴条件②等价于，
综上所述：
条件①在上，等价于；
条件②等价于；
条件③等价于；
选①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
选①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
选②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立．