河南省信阳市浉河区信阳高级中学2024届高三下学期三模数学试题

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11
B
C
A
A
A
D
D
B
BC
BC
ACD
12．
13．
14.16
15．(1)；(2)18
（1）因为，
由正弦定理可得，
则，
注意到，则，可得，
且，则，
可得，
则，
又因为，则，可知，
可得，，
所以.
（2）由（1）可得：，
因为，在中，可得，，
又因为，可得，
则，
在中，由余弦定理，
即，解得，可知，
所以的面积.
16．（1）；（2）证明见解析.
（1）由题意，函数，可得，
因为有两个极值点，
即方程在有两个不同的解，
即与的图象的交点有两个.
由，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，有极大值.
又因为时，；时，，
当时，即时有两个解，所以
（2）由函数
可得，则，所以在单调递增，
若时，
当时，.在上单调递减；
当时，.在上单调递增；
所以在处取得极小值
若，令，则；
令，则
所以在，有唯一解；
若，令，则，
令，则，所以在，有唯一解；
所以在有唯一解，
当时，，在单调递减；
当时，，在单调递增；
所以，
令，则，
由，可得，
当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，
所以，即的极小值不大于1.
17．(1)证明见详解；(2)或
（1）由题意可知：，，平面，
可得平面，
且，以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
可得，
设，
则，
若，则，，
由题意可知：平面的法向量，
因为，且平面，
所以∥平面.
（2）由（1）可得：，
设平面的法向量，则，
令，则，可得，
由题意可得：，
整理得，解得或，
所以或，即线段BF的长为或.
18．(1)；(2)；(3)证明见解析
（1）设“甲在第i轮活动中猜对成语”，“乙在第i轮活动中猜对成语”，
“甲乙在第i轮活动中都都猜对成语”，，
则
故
（2）由题意知，1，2，
由（1）知，
，
故X的信息熵
（3）第二轮甲猜对的概率为，
第二轮乙猜对的概率为，
所以，，
每一轮甲乙都猜错的概率为，
因此，
则①
所以，②
①②得，
所以.
关键点点睛：根据全概率公式公式得，，由期望公式可得的表达式，将其转化为数列求和，利用错位相减求数列的和是本题的关键所在.
19．(1)；(2)证明见解析；(3)存在点.
（1）由题意，得解得所以椭圆的方程为．
（2）
证明：设．
又，所以可设直线的方程为．
联立椭圆方程与直线的方程，得
消去，得．
又，所以，可得．
由根与系数的关系，得，则，
所以，同理，得．
从而直线的斜率．
又，
所以，即，为定值．
（3）由（2）可得直线的方程为．
由椭圆的对称性可知，若直线恒过定点，则此定点必在轴上，
所以令，得．
故直线恒过定点，且点的坐标为．
因为，垂足为，且，所以点在以为直径的圆上运动．
故存在点，使．