数学9.1.1 正弦定理导学案

这是一份数学9.1.1 正弦定理导学案，共15页。

古埃及时代，尼罗河经常泛滥，古埃及人为了研究尼罗河水运行的规律，准备测量各种数据．当尼罗河涨水时，古埃及人想测量某处河面的宽度(如图)，如果古埃及人通过测量得到了AB的长度，∠BAC，∠ABC的大小，那么就可以求解出河面的宽度CD．
思考：你知道古埃及人是如何利用这些数据计算的吗？
知识点1 三角形的面积公式
(1)S＝eq \f(1,2)aha＝eq \f(1,2)bhb＝eq \f(1,2)chc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)．
(2)S＝eq \f(1,2)absin C＝eq \f(1,2)acsin B＝eq \f(1,2)bcsin A．
(3)S＝eq \f(1,2)(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
1．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若A＝120°，b＝3，c＝8，则△ABC的面积等于( )
A．6 B．6eq \r(3) C．12 D．12eq \r(3)
B [由题意得，△ABC的面积S＝eq \f(1,2)bcsin A＝eq \f(1,2)×3×8sin 120°＝eq \f(1,2)×3×8×eq \f(\r(3),2)＝6eq \r(3)，故选B．]
知识点2 正弦定理
[拓展]
1．正弦定理的常用变形式
在△ABC中，若内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，其外接圆半径为R．则
(1)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A；
(2)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(3)eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)＝eq \f(a＋b＋c,sin A＋sin B＋sin C)＝2R；
(4)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(可以实现边到角的转化)
(5)sin A＝eq \f(a,2R)，sin B＝eq \f(b,2R)，sin C＝eq \f(c,2R)．(可以实现角到边的转化)
2．三角形中边角的不等关系
(1)若A＞B＞C，可得a＞b＞c，则sin A＞sin B＞sin C；
(2)若sin A＞sin B＞sin C，可得a＞b＞c，则A＞B＞C．
2．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．( )
(2)正弦定理不适用于钝角三角形．( )
(3)在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值．( )
(4)在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c．( )
[提示] 正弦定理适用于任意三角形，故(1)(2)均不正确；由正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正弦的比就确定了，故(3)正确；由比例性质和正弦定理可推知(4)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
知识点3 解三角形
(1)一般地，我们把三角形的3个角与3条边都称为三角形的元素．
(2)已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形．
利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
[提示] 需要两角和一边或两边和其中一边的对角．
3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( )
A．5eq \r(2) B．10eq \r(3) C．eq \f(10\r(3),3) D．5eq \r(6)
B [由正弦定理得，b＝eq \f(asin B,sin A)＝eq \f(10×\f(\r(3),2),\f(1,2))＝10eq \r(3)．]
知识点4 对三角形解的个数的判断
已知三角形的两角和任意一边，求另两边和另一角，此时有唯一解，三角形被唯一确定．已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．现以已知a，b和A解三角形为例，从两个角度予以说明：
(1)代数角度
由正弦定理得sin B＝eq \f(bsin A,a)，
①若eq \f(bsin A,a)>1，则满足条件的三角形个数为0，即无解；
②若eq \f(bsin A,a)＝1，则满足条件的三角形个数为1，即一解；
③若eq \f(bsin A,a)