人教B版高中数学必修第四册第9章章末综合提升学案

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类型1　利用正弦、余弦定理解三角形利用正弦、余弦定理解三角形的一般方法如下：(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b．(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a，b，c可应用余弦定理求A，B，C．【例1】　如图，在平面四边形ABCD中，AB＝2，BD＝eq \r(5)，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面积为2．(1)求AD的长；(2)求△CBD的面积．[思路探究]　(1)由面积公式求出sin∠ABD，进而得cos∠ABD的值，利用余弦定理可解；(2)由AB⊥BC可以求出sin∠CBD的大小，再由二倍角公式求出sin∠BCD，可判断△CBD为等腰三角形，利用正弦定理求出CD的大小，最后利用面积公式求解．[解]　(1)由S△ABD＝eq \f(1,2)AB·BD·sin∠ABD＝eq \f(1,2)×2×eq \r(5)×sin∠ABD＝2，可得sin∠ABD＝eq \f(2,5)eq \r(5)，又∠ABD∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以cos∠ABD＝eq \f(\r(5),5)．在△ABD中，由余弦定理知，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABD，可得AD2＝5，所以AD＝eq \r(5)．(2)由AB⊥BC，得∠ABD＋∠CBD＝eq \f(π,2)，所以sin∠CBD＝cos∠ABD＝eq \f(\r(5),5)．又∠BCD＝2∠ABD，所以sin∠BCD＝2sin∠ABD·cos∠ABD＝eq \f(4,5)，∠BDC＝π－∠CBD－∠BCD＝π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－∠ABD))－2∠ABD＝eq \f(π,2)－∠ABD＝∠CBD，所以△CBD为等腰三角形，即CB＝CD．在△CBD中，由正弦定理知，eq \f(BD,sin∠BCD)＝eq \f(CD,sin∠CBD)，得CD＝eq \f(BD·sin∠CBD,sin∠BCD)＝eq \f(\r(5)×\f(\r(5),5),\f(4,5))＝eq \f(5,4)，所以S△CBD＝eq \f(1,2)×eq \f(5,4)×eq \f(5,4)×eq \f(4,5)＝eq \f(5,8)． 类型2　利用正弦、余弦定理判断三角形形状判断三角形的形状，一般有以下两种方法：(1)将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；(2)将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．【例2】　在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．[解]　因为(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，所以b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，所以2b2sin Acos B＝2a2cos Asin B，即a2cos Asin B＝b2sin Acos B．法一：由正弦定理知a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，所以sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B，又sin Asin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B，所以sin 2A＝sin 2B．在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，所以2A＝2B或2A＝π－2B，所以A＝B或A＋B＝eq \f(π,2)．所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：由正弦定理、余弦定理，得a2b×eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝b2a×eq \f(a2＋c2－b2,2ac)，所以a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，所以(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，所以a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0．即a＝b或a2＋b2＝c2．所以△ABC为等腰三角形或直角三角形． 类型3　正弦、余弦定理在实际问题中的应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．【例3】　如图，在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇在A处发现在北偏东45°方向，相距12海里的B处水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10海里的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14海里的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．[思路探究]　假设经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，作出示意图，把实际数据转化到三角形中，利用正、余弦定理求解．[解]　如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x海里，BC＝10x海里，∠ABC＝120°．根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，解得x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(3,4)舍去))．故AC＝28海里，BC＝20海里．根据正弦定理得eq \f(BC,sin α)＝eq \f(AC,sin 120°)，解得sin α＝eq \f(20sin 120°,28)＝eq \f(5\r(3),14)．故红方侦察艇所需的时间为2小时，角α的正弦值为eq \f(5\r(3),14)．